3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 平面向量练习题
一、选择题:
1. 已知平行四边形 ABCD ，O 是平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点， OA = a ， OB = b ， OC = c ，
则向量OD 等于
（
）
A. a + b + c
B. a + b - c
C. a - b + c
r r r D. a - b - c
r
2.
已知向量a 与b 的夹角为120o
， a = 3, a + b = 13, 则 b 等于(
)
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1
3. 设 a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( )
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则 a ⊥b
B ． 若 a ⊥b ， 则 |a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数 λ，使得 b ＝λa
D ．若存在实数 λ，使得 b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
4. 已知→a ＝(sin θ， 1＋cosθ)，→b ＝(1， 1－cosθ)，其中 θ∈(π 3π )，则一定有 （
）
，
2
A. →
a ∥→
b B. →
a ⊥→
b C ．→a 与→b 夹角为 45°
D ．|→
a |＝|→
b | 5 ． 已知向量→a ＝ (6 ，－ 4) ， →b ＝ (0 ， 2),→
c ＝ →a ＋λ→b ， 若 C 点在函数 y ＝
（ ）
π sin x 12
的图象上, 实数λ＝ 5 3 5 3 A ． B ． C ．－ D ．－
2 2 2 2 6. 已知k ∈ Z ， AB = (k ,1), AC = (2, 4) ，若 A B ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率为（
）
1 2
3 4
A ．
B ．
C ．
D ．
7
7 7 7 7. 将 y = 2 cos ⎛ x + π ⎫ 的图象按向量a = ⎛ - π，- 2 ⎫ 平移，则平移后所得图象的解析式为(
)
3 6 ⎪
4 ⎪ ⎝ ⎭ Ａ． y = 2 cos ⎛ x + π ⎫ - 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
Ｂ． y = 2 cos ⎛ x - π ⎫
+ 2
⎝ ⎭ Ｃ． y = 2 cos ⎛ x - π ⎫ - 2
Ｄ． y = 2 cos ⎛ x +
π ⎫ + 2
3 12 ⎪ 8. 在∆ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足
( )
3 12 ⎪
−AP →=2−P −M →,则 PA ⋅ (PB + PC ) 等于
4
（A ）
9 4
（B ）
3 （C ） - 4
3 (D) - 4
9
9. 已知O 是△ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且2OA + OB + OC = 0 ，那么（ ）
Ａ． AO = OD Ｂ． AO = 2OD Ｃ． AO = 3OD Ｄ． 2 AO = OD
10. △ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , b = 2, 则CD =（
）
a = 1 , （A ） 1 a +
3 2
b
（B ） 2 3 3 a + 1
3
b
（C ） 3 a + 4
5 5 b
（D ） 4
5 a + 3
b
5
1
10
OA OC 3 3
3 3 2 11. 已知| a |= 2 | b |≠ 0 ,且关于 x 的方程 x
2
+ | a | x + a ⋅ b = 0 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 (
)
2
A.[0, ]
B.[ ,]
C.[ , ]
D.[ ,] 6
3
3 3 6
12. 设非零向量a = (x ,2x ) , b = (-3x ,2) ,且a ,b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是（ ） （ A ） (- ∞, 0) （ B ） ⎛
4 , 0) （ C ） (- ∞, 0)
⎛
4 , 0)（ D ） ⎛- ∞, -
1
⎫
⎛- 1 , 0)
⎝ ⎛ 4
, + ∞) ⎝ ⎪
⎝ ⎝
⎭ ⎝ 13. 已 知 点 O 、 N 、 P 在 三 角 形
ABC 所 在 平 面 内 ， 且 =
= , NA + NB + NC = 0 ,则 PA • PB
= PB • PC = PC • PA 则点 O 、 N 、 P 依次是三角形 ABC 的 ( )
（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心 14. 设 A (a ,1) ， B (2, b ) ， C (4, 5) 为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为( )
（A ） 4a - 5b = 3 （B ） 5a - 4b = 3 （C ） 4a + 5b = 14 （D ） 5a + 4b = 14
15.（上海理 14）在直角坐标系 xOy 中， i , j 分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC
中， AB = 2i + j ， AC = 3i + k j ，则 k 的可能值有( )
A 、1 个
B 、2 个
C 、3 个
D 、4 个 二、填空题： 16. 四边形 ABCD 中， AB = (1, 2), BC = (-4, -1), C D = (-5, -3) 则四边形 ABCD 的形状是
r r r r 17. 已知 a , b 是两个非零向量，且 a = b = a - b ，则 a 与a + b 的夹角为
−→ −→ 1
−→ −→ 18. 已知∆OFQ 的面积为 S ，且 OF ⋅ FQ = 1，若 < S < ，则 O F , FQ 夹角的取值范围是
u u u r 2u u u r u u 2u r u u u r u u u r
19.
若 O 是V ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则V ABC 的形状为_
20 若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点， ∆ABC 所在平面内有一点 P ， 满足 PA + BP + CP = 0 ， 设
| u A u P u r | = ，则的值为
| PD |
→ → →
→ → → →
→ → →
→ →
→
→ →
→
21 下列命题中：① a ⋅ (b - c ) = a ⋅ b - a ⋅ c ；② a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c ；③ (a - b )2 =| a |2 →
→
→
→ →
→
→
- 2 r 2 r 2
2 | a | ⋅ | b | + | b | ；④ 若 a ⋅ b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 ；⑤若a ⋅ b = c ⋅ b , 则a = c ；⑥ a = a ；⑦
a ⋅
b b r r r r 2 r r r 2 r r r 2
r 2 a = r ；⑧ (a ⋅ b ) a = a ⋅ b ；⑨ (a - b ) →
= a - 2a ⋅ b + b 。其中正确的是
→
22 函数 y = sin 2x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 y = cos 2x + 1，则 a ＝
23. 设 a ,b 是两个不共线的向量， AB = 2a + kb ,CB = a + 3b ,CD = 2a - b ，若 A , B , D 三点共线，则 k 的值为
.
r 24. 已知 a =4, 是
.
r b =3,
(2a - 3b )g (2a + b ) =61.在V ABC 中， AB = a , CA = b , 则V ABC 的内角 A 的度数
2
OB
3
3
2 2
