数值分析-第七章第一部分 (1)

f ( x) f ( x h) f ( x) h
向后差商公式
向前差商公式
f ( x)
xh
x
x h (h 0)
f ( x) f ( x h) f ( x h) 中心差商公式
2h
3
差商型求导公式的截断误差：
向前：f ( x)
f ( x h) h
f (x)
O(h)
h 2
f ( )
f
(b)
梯形公式 15
将区间[a, b]二等分,
x0
a,
x1
a
2
b
,
x2
b
相邻节点间的距离记为h b a , 2
L2( x) l0( x) f ( x0 ) l1( x) f ( x1 ) l2( x) f ( x2 )
b
a l0 ( x)dx
b ( x x1 )( x x2 ) a ( x0 x1 )( x0 x2 )
a
2
梯形公式
记L1( x)是f ( x)关于x0 a和x1 b的一次插值多项式
梯形公式是用一次插值多项式的积分近似f ( x)的积分
b
b
a f ( x)dx a L1( x)dx
一般地，可以用插值多项式的积分近似函数的积分 12
插值型求积公式
设Ln ( x)是f ( x)的n次Lagrange插值多项式
f ( x h)
f ( x) hf ( x)
h2 2!
f ( x)
h3 3!
f ( x)
h4 4!
f (4) (2 )
5
1.2插值型求导公式： 用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即
f ( xi ) Ln ( xi )
由f ( x) Ln( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
Ak只与节点有关，与f ( x)无关
13
插值型求积公式的截断误差:
b
b
Rn( f ) a f ( x)dx a Ln( x)dx
b
a [ f ( x) Ln( x)]dx
b a
f (n1) (n
( x
1)!
)
n1
(
x
)dx
考虑用积分区间[a, b]的等分点为插值节点的情形
14
2.2 Newton－Cotes求积公式
8
行星运行轨道:开普勒定律 行星在两点之间的运行距离
x y
r1 r2
cos sin
L b dx2 dy2 a
2 1
(r1 sin d )2 (r2 cos d )2
2 1
(r1 sin )2 (r2 cos )2 d
9
下列情况下，需要用数值积分
1.被积函数的原函数不能用初等函数表示
第七章 数值微分与数值积分
习题
P257 4(2), 8, 10(1), 11, 12, 13(1) 16, 19, 21(3点公式)
1
§1数值微分
问题： 若已知函数在一些节点上的值，如何近似节点处的导数？
f ( x)
xh
x
x h (h 0)
2
1.1差商型求导公式：
f ( x) f ( x) f ( x h) h
Baidu Nhomakorabea
近似函数的导数或二阶导数。
f ( x) S( x)
f ( x) S( x) 误差估计:
x (a,b)
R(k)( x) f (k)( x) S(k)( x) O(h4k ) (k 1, 2)
7
§2 Newton－Cotes求积公式 定积分的图形表示
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
f ''( x)
h2
二阶导数的中心差商公式的截断误差：
f
''( x)
f ( x h) 2 f ( x) h2
f ( x h)
O(h2 ) h2
12
f (4) ( )
f ( x h)
f ( x) hf ( x)
h2 2!
f ( x)
h3 3!
f ( x)
h4 4!
f (4)(1 )
积分区间的左右端点为插值接点，x0 a, x1 b
xb
xa
L1( x)
ab
f (a) ba
f (b)
b
b
a f ( x)dx a L1( x)dx
b xb
b xa
f (a)a
dx ab
f (b)a
dx ba
b a [ f (a) f (b)] 2
b
a
f
( x)dx
ba
2
f
(a)
未知，若取 a, b, a b 有
2
b
f ( x)dx f (a)(b a)
左矩形公式
a
b
f ( x)dx f (b)(b a)
右矩形公式
a
b
ab
f ( x)dx f ( )(b a)
中矩形公式
a
2
11
若用梯形的面积近似有
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
向后 : f ( x) f ( x) f ( x h) O(h) h f ()
h
2
中心 :
f ( x)
f ( x h)
f ( x h)
O(h2 )
h2
f ( )
2h
6
由Taylor公式推得，例如中心差商的误差阶
f ( x h)
f (x)
hf ( x)
h2 2!
f ( x)
b
b
bn
f ( x)dx
a
a Ln ( x)dx
[
a
f ( xk )lk ( x)]dx
k0
n b
( a lk ( x)dx) f ( xk ) k0
记Ak
b a
lk
(
x
)dx,
则
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk ) 插值型求积公式
k0
xk为求积节点，Ak为求积系数
h3 3!
f (1 )
f ( x h)
f ( x) hf ( x) h2 2!
f ( x) h3 3!
f (2 )
f ( x h) f ( x h) 2h
f
(
x
)
h2 12
[
f
(1
)
f (2 )]
f ( x) h2 6
f ()
4
二阶导数的中心差商公式：
f ( x h) 2 f ( x) f ( x h)
e x2 , 1 , sin x ,
ln x
x
2.被积函数只有图形或者数据表,没有解析式
3.被积函数的原函数的求解过程复杂
1 ,
4 x2 arcsin x 2
x (1 x)3 ,
问题：如何构造数值积分公式？
10
2.1 数值积分的基本思想
积分中值定理:
b
a f ( x)dx f ( )(b a)
n1
(
x
)得，
f ( xi ) Ln ( xi )
f (n1) ( )
(n 1)!
n
( xi x j )
j0
ji
等距节点下的常用公式,见课本
6
1.3利用样条插值函数求数值微分
设S( x)为f ( x)的三次样条插值函数， 由三次样条插值函数的性质(定理5.5)， 可用三次样条插值函数的导数或二阶导数，