电力负荷的谐波建模
摘 要： 电力负荷的谐波响应可以用其集总效应来描述。文章叙述了电力负荷谐波建模的研究现状；提出了通用谐波模型和利用系统辨识技术建立电力负荷谐波模型的新
方法。通过对星形和三角形不同联接方式下负荷模型的分析，导出了描述三相负
荷集总效应的数学表达式，并将单相负荷谐波的建模方法推广到三相负荷谐波建
模。用一虚拟算例说明了三相负荷谐波建模过程中应当注意的问题。
关键词： 电力负荷；系统辨识；集总效应；电力系统
1 引言
电力负荷谐波模型与变压器、发电机和输电线路等基本电气元件一样，对分析网络谐波具有重要意义。电力负荷的谐波特性最早是用无源阻抗模型来描述的，如国际大电网会议电磁兼容工作组（CIGRE WG 36-05）提出的负荷模型就是通过对基波等效阻抗的简单修正来模拟电力负荷的谐波响应[1]，曾应用于不少网络谐波分析程序[2~4]。但这种模型忽略了可能的负荷群谐波产生效应，因此非常不适用于现代电网中小容量非线性负荷不断增加的情况。
1989年，T. Hiyama提出了电力负荷的有源模型，并用于研究配电网的谐波扩散问题[5]。国际大电网会议于1996年阐明了建立负荷有源模型的必要性[6]。理论上通用的负荷谐波模型则是由E. A. Markram于1993年提出的[7]。1997年，S. A. Soliman等人提出了利用负荷电压和电流采样值进行模型参数辨识的时域状态估计技术[8]。1999年，E. Thunberg等人提出了配电网建模的诺顿等效法[9]，为电力负荷的有源模型找到了理论依据。
本文的工作是在S. A. Soliman等人研究成果的基础上进行的，主要讨论了负荷模型的基本结构和统一参数辨识方法，并尝试将其推广到三相电力系统负荷谐波建模。
2 单相负荷的谐波建模
2.1 负荷建模的状态估计算法
电力负荷是由阻、感、容性元件通过配电线路互连而构成的复杂的电网络，因此其集总效应可以利用一组并联的等效阻、感、容性元件进行模拟。非线性负荷的谐波产生效应，可用伴随的谐波注入电流源进行模拟。但是，为了提高网络计算的收敛性，常将电流源改写成诺顿等效电路的形式。建立电力负荷模型的困难常常反映在对各种负荷形式中阻性元件集肤效应和邻近效应的模拟。国际大电网会议谐波工作组对此已有具体描述[6]，但在具体建模过程中需要详细统计各种负荷类型的实际组成。一般来说，电力负荷的集总效应可以等效为图1所示的电网络。
图1中，u(t) 和i(t) 为配电母线电压和负荷电流的瞬时值；R、L 和C 为负荷中的阻性、感性和容性成分；i j(t) 为由谐波交叉耦合导致的谐波电流注入分量，这与文献[7]中定义的残余电流和非共次谐波电流有本质的区别。
根据图1可以得出
流中的阻、感、容性分量和非线性负荷的谐波交叉耦合效应。
可将式(1)写成以R、L、C 和i j(t) 等参数描述的形式。即
对上式两边求导，可得
式中A h 和B h 为谐波注入电流正弦分量和余弦分量的幅值。
对于一定的负荷群，参数A h 和B h可以被认为基本上是常数。显然，如果将这些参数也看成同R、L、C 一样描述负荷特性的物理参数，则通过端口电压和负荷电流的一组采样值，就能将这些参数识别出来。
假设母线电压和负荷电流的傅立叶级数的形式如式(5)和(6)所示，即
式中N 为所考虑的最高次谐波次数；U h 和I h 为h 次谐波电压和电流的幅值；a h 和B h为h 次谐波电压和电流的初相位。
式(3)可改写成矩阵形式
以一定的采样频率同时对母线电压和负荷电流的导数进行采样，则有
显然，只要在一个周期内的采样点数 足够多，状态矢量便可以被辨识出来。这就是负荷建模算法的基本思想。
2.2 数据集的最小二乘处理
将式(10)写成矩阵形式并考虑到量测噪声的影响，则有
式中 Z为由电流导数的采样值构成的量测矢量；H 为量测矩阵；X 为待定的状态矢量；
ε为量测噪声矢量。
为了获得更好的估计效果，实际建模过程中采样点数往往大于状态变量的个数，因此量测矩阵是一超定矩阵，上述的负荷建模问题最终也归结为一最小二乘问题。
根据最小二乘法的基本理论，此时状态变量的最优估计值为
由于量测矩阵的元素为系统运行参数或其导数的采样值，在电压、电流波形畸变不太严重的情况下，矩阵（H T H）-1 往往是奇异或接近于奇异的，因此采用常规方法求解式(12)时往往很难得到合理的计算结果。奇异值分解技术具有很高的可靠性，数值计算非常稳定，是求解矩形超定方程的有力工具。文献[10]介绍了这种技术在谐波分析方面的应用实例。关于利用奇异值分解技术求解最小二乘问题的具体方法，可以参见文献[11]。Matlab语言也提供了求解这类问题的函数。本文提出的理论和算法可以利用这一工具进行验证。
当采样频率很高时，电压、电流的导数可写成采样值的差分方程形式，因此式(7)可变为
式中l表示采样顺序。
由于上述方程的量测矢量仅同采样值有关，省略了中间复杂的求导运算，因此上述建模过程可以大为简化。
3 三相系统的负荷建模
3.1 三相负荷的数学模型
3.1.1 三角形联接方式下负荷的数学模型
图2为三角形联接方式下三相负荷的等效模型。对3个顶点列节点电压方程，则有
式(15)表示三相伴随电流源。
3.1.2 星形联接方式下三相负荷的数学模型
图3为星形联接方式下三相负荷的等效模型。对中性点列节点电压方程，则有
因此
根据图3可直接写出星形负荷的相坐标模型
当中性点对地绝缘时，则有
当中性点直接接地时，Y n为有限值，主要考虑大地回路的影响。
由式(14)和(19)可以看出，三相负荷的集总效应可用一对称的导纳矩阵和伴随的注入电流源来表达。即
显然，这一模型需用6个电气常数共18个电气元件（电阻、电感和电容各6个）和3个运行参数（伴随电流源）来描述。
3.2 三相负荷的谐波建模
将三相负荷中的电阻、电感和电容元件的集总效应分别用3个3*3 维的对称矩阵描述。即有
因此有
定义
