由参数引起的案——
含参导数问题
、已知两个函数 f (x) 8x 2 16x k ， g(x) 2x 3 5x 2 4x ，按以下条件求 k 的范围。
1)对于任意的 x [ 3,3] ，都有 f (x) g(x) 成立。 (构造新函数，恒成立问题)
2)若存在 x 0 [ 3,3]，使得 f(x 0) g(x 0)成立。
3)若对于任意的 x 1、x 2 [ 3,3]，都有 f (x 1) g(x 2).
5)若对于任意 x 0 3,3 ,总存在相应的 x 1,x 2 3,3 ,使得 g(x 1) f (x 0) 与( 4)相同)
12
、已知函数 f x aln x x 2 (1 a)x ， a R
2
(1)函数 f(x)在区间 (2, ﹢∞ )上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ,
(2)函数 f(x)在区间 (2, 3)上单调，则实数 a 的取值范围是
4) 对于任意的 x 1 [ 3,3]，总存在 x 0
[ 3,3],使得g(x 0) f (x 1) 。
注意：哪个函数的值域含于哪个函
数的值域取决于：谁的
x 是任意取的，谁
的 x 是总存在
的。 )
与恒成立问题区别看待)
注意 x 1,x 2可以不是同一个 x )
g(x 2) 成立；
三、设函数f(x) 3x ax3( a R ) ，若对于任意的x 1,1 都有f (x) 1成立，求实数a 的取值范围
四、含参数导数问题的三个基本讨论点
求导后，考虑导函数为零是否有实根 (或导函数的分子能否分解因式) ，从而引起讨论求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。
求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) , 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
1
3 2 2
1x32ax23a2x a(a
3
例1、设函数f(x) R) .求函数f (x)的单调区间和极值；
可因式分解，比较两根大
小，注意别丢两根相等情况)
解：f (x) x2 4ax-3a2 (x a)(x 3a) ???????????5 分
a 0 时，f (x) 0 ，( , ) 是函数的单调减区间；无极值；?????6 分
a 0时，在区间( , a),(3 a, ) 上，f (x) 0；在区间(a,3a)上，f (x) 0，
因此( ,a),(3a, ) 是函数的单调减区间，(a,3a) 是函数的单调增区间，
43
函数的极大值是f (3a) a ；函数的极小值是f (a) a a3；??????8 分
3
a 0时，在区间( ,3 a ),( a, )上，f (x) 0 ；在区间(3a,a)上，f (x) 0，
因此( ,3a),( a, ) 是函数的单调减区间，(3a,a) 是函数的单调增区间
43 函数的极大值是f (a) a a3，函数的极小值是f(3a) a ??????10分
3
2
例1变式．若f '(x) x2 (a 1)x a，若x (0, ),讨论f (x)的单调性。(比较根大小，考虑定义域)
例 2、已知 a 是实数，函数 f x x x a 。（不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起 讨论） 求函数 f x 的单调区间； （主要看第一问，第二问选
看）
设 g a 为 f x 在区间 0,2 上的最小值。
i ） 写出 g a 的表达式；（ ii ）求 a 的取值范围，使得 6 ga 2。
解：（Ⅰ）函数的定义域为 0, ，
xa
x x
2 x
3x a 2x
0 ，由 f (x) 0 得
a x 。 3 a
考虑 3是否落在导函数 f '（x ）的定义域 0, 内，需对参数
a 的取值分 a 0 及 a 0两种情况进行讨
论。
1
）
当 a 0 时，则 f '(x) 0 在 0, 上恒成立，所以 f x 的单调递增区间为 0, 。
2
）
当 a 0 时， 由 f '
(x)
0 ，得 x a ；由 f
3
(x) 0 ，得 0
a x 。 3
因此，当 a 0 时， f x 的单调递减区间为
0,a 3 ， f x 的单调递增区间为 a ,
3
所以 0,2 ， 即0
6 时， f
x 在 0,a 3 上单调递减，
在
a
,2 上单调递增，
3
2a a 2a 3a
。
9
当a 3
2,
，即
6 时， f
在 0,2 上单调递减，所以 ga a 。
综上所述，
0,
a0
ii ）令
①若 a 0 ，无
解；
②若 0 a 6 ，由
2a 3 22a a 3,0 a ,a ~6
2
。
6 23a
3a
2 解得
3 a 6 ；
③ 若a 6
，由 6 2 2 a 2解得6 a 2 3 2 。 综上所述，
a 的取值范围为 3 a 2 3 2 。 例 3 已知函数 f
2
2ax a 2 1
x
2ax
2 a 1 x R 其中 a R 。当 a 0时，求函数 f x 的单调区间与极值。 x 2 1
1
' 2a x 2 1 2x 2ax a 2 1
2a x a x
a 解： 由于 a 0 ，所以 f ' x 2 2 a 。
22
x 2 1 x 2 1
II ) 设
a 1.
如果对任意
x 1,x 2 (0, )，| f(x 1) f(x 2) 4|x 1 x 2 |，求 a 的取值范围。
a1 f '(x) 2ax x
当a 0时， f '(x)>0，故 f ( x )在( 0， +∞)单调增加； 当 a
1时， f '(x) <0，故 f (x) 在( 0， +∞)单调减少；