圆锥曲线的双切线问题初探

例谈圆锥曲线中的同构思想圆锥曲线中，同构结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构特征，往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手. 一．双切线同构.显然，从已知曲线外一点),(001y x A ,向二次曲线C 引两条切线3121,A A A A ，记切点为),(),,(223112y x A y x A ，那么这两条切线的地位是相同的,这样，我们就可按照下列方式来构造同构方程：第1步：分别写出切线3121,A A A A 的方程（注意斜率）；第2步：联立3121,A A A A 与曲线C 的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以1A 的0x 或0y 坐标为参数，进一步构造32,A A 点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断32A A 与曲线的位置关系，或完成其他问题. 其中，圆的双切线可以用几何方法解决，而圆锥曲线的双切线则只能使用韦达定理判别式来解决.例1．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标； （2）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S ､T 两点，求||ST 的最小值. 解析：（1）所以直线AB 过定点5(,0)3.（2）设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d =，即228610k kt t ++-=（*），设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则它们为（*）式的解，即1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，1212|()||∣∴=+-+=-=ST k t k t k k∴当0=t时，ST取得最小值2.例2．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为)（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点),(yxP为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．注：椭圆22221x ya b+=的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：2222x y a b+=+．解析：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点P的坐标是(,)a b±，或(,)a b±-满足要求．当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标为()00,x y（x a≠±，且y b≠±），因此设过点P的切线方程为()00y y k x x-=-（0k≠），由()2222001x ya by y k x x⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b+--+--=．因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a--+-=-≠．因为,PA PBk k是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以2222pA pBy bk kx a-⋅=-，因此2222001A Bp pk k x y a b⋅=-⇔+=+．进而可得2222x y a b+=+．二．割线同构比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.例3. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．设AB中点M，证明：PM垂直于y轴.解析：显然，PB PA ,均是等价的，那么它们的中点也是等价的，将其中点坐标代入抛物线的方程后，就可以得到关于参数的同构方程，进而求解.设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，即满足：22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭所以1y ，2y 为方程22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．例4.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解析：设过点A 的直线方程为1)2(+-=x k y ，直线l 的方程为m x k y +=0，联立解得00002,12k k mk k kk y k k k m x P P -+-=--+=，代入双曲线C 的方程1222=-y x 中，整理得0]4)1[(])2()1[(4]2)2(24[202000220=--++++-+-+-k m k k m k k m k m k ，这是关于k 的一元二次方程，方程的两根21k k 、分别为直线AQ AP 、的斜率.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即021=+k k ，所以0)2()1(000=+++-k m k k m ，整理后分解得0)12)(1(00=-++m k k .因为直线l 不经过点A ，所以120≠+m k ，从而10-=k ，即l 的斜率为1-.点评：AQ AP ,的等价地位就意味着Q P ,等价，则Q P ,的坐标一定是曲线方程的同构解，此时若我们用PQ 的参数来表示Q P ,的坐标，再利用同构解来求得PQ 的斜率，这就是整个问题的基本思路. 三．同构方程过定点例5.（2019年全国三卷）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=， 当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.习题演练．（2021全国甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．解析：（1）M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x =-，又131********A A y y k y x x y y -==∴=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--， M 到直线23A A2123|2|y -+=22121111y y +===+， 所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切。

圆锥曲线的双切线问题初探蓝 婷深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。

【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程一、研究背景圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。

我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。

笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。

二、定理证明为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。

引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=。

证明：在圆锥曲线方程220Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得：220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey Cy Ex By D++'=-++则切线方程为：0000002()2Ax Ey Cy y x x Ex By D++-=--++得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++-化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=整理得：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 定理：设()00,P x y 不在圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上，过点P 引该圆锥曲线的两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 的方程为：000000()()()0222x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 证明：设切点坐标()(),,,a a b b A x y B x y ，由引理可得：直线AP 方程：()()()0222a a a a a a x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 直线BP 方程：()()()0222b b b b b b x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=因为()00,P x y 在直线AP 且在直线BP 上，所以：000000()()()0222a a a a a a x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 000000()()()0222b b b b b b x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=以上两式说明：点()(),,,a a b b A x y B x y 均满足方程：000000()()()0222x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 所以切点弦AB 方程为：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=。

专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=.2.过椭圆22221x y a b +=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点,抛物线:和直线: (1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线.当点在抛物线内时,直线与抛物线相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ） A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设，由题意得，过点B 的切线l 的方程为： 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥当且仅当11112x yy x =，即111,x y ==时等号成立，所以OCD. 故选：C【反思】过椭圆上一点作切线，切线方程为：该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-= D ．3100x y --=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为注意不要带错，通过对比本题信息，将这些数字代入公式，可求出切线，再利用直线垂直的性质求解. 3．（2022·江苏南通·一模）过点作圆的切线交坐标轴于点、则_________. 【答案】2- 【详解】 圆的圆心为，因为，则点在圆上，所以，所以，直线AB 的斜率为1AB k =-，故直线AB 的方程为()11y x -=--，即20x y +-=， 直线20x y +-=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，因此，故答案为：另解：过圆:上一点的切线方程为.可知，代入计算得到过点作圆的切线为：整理得：直线交轴于点，交轴于点， 所以，因此， 故答案为：【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。

圆锥曲线中的双切问题### English Answer:Problem: Double Tangent Problem for Conic Sections.Detailed Answer:In mathematics, particularly in geometry, the double tangent problem for conic sections involves finding the number of tangents that can be drawn from an external point to a given conic section. It is a classical problem that has intrigued geometers for centuries.For a given conic section and an external point, the number of tangents that can be drawn to the conic depends on the relative positions of the point and the conic. In general, an external point can have up to four tangents to a conic section. Moreover, these tangents can be eitherreal or complex.The double tangent problem is to find the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. This problem has been extensively studied, and various methods and formulas have been developed to solve it.One of the most common and useful methods to solve the double tangent problem is to use the concept of pole and polar with respect to a conic section. The pole of a line with respect to a conic is the point where the line intersects the conic. The polar of a point with respect to a conic is the line that joins the points of contact of the tangents drawn from the point to the conic.Using pole and polar, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the polar of an external point passes through the point itself. This leads to a system of equations that can be solved to determine the coordinates of the external point that has exactly two real tangents to the conic section.Another method to solve the double tangent problem isto use the concept of cross-ratio. The cross-ratio of four points on a line is a measure of how the points are distributed along the line. Using cross-ratio, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the cross-ratio of the four points of contact of the tangents drawn from an external point to a conic section is equal to -1.The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics. It is used in the study of projective geometry, algebraic geometry, and differential geometry. It also has applications in optics, computer graphics, and robotics.In Summary:The double tangent problem for conic sections is a classical problem in geometry that involves finding the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. Various methods and formulas have been developed to solve this problem, including the use of pole and polar and the concept ofcross-ratio. The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics, as well as in optics, computer graphics, and robotics.### 中文回答：问题，圆锥曲线中的双切问题。

运用联想探究圆锥曲线的切线方程甘肃省陇西县第二中学张 红 霞我们把“由某人或某事想起其他的人或事，由某概念引起其他相关的概念”称之为联想。

联想是一种心理活动，也是一种思维过程。

联想是认知事物、探求知识的一种不可缺少的方法和途径。

联想用之于数学研究，效果亦佳。

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+，那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点),(00y x M 切线方程为12020=+by y ax x ；（2）当),(00y x M 在椭圆12222=+by ax 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+by y ax x证明：（1）22221x y ab+=的两边对x 求导，得22220x yy ab'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20002()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y abab+=+= 。

（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。

由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、12222=+b yy a x x 。

又因),(00y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、122202=+b y y a x x 。

观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+byy a x x 。