圆锥曲线的双切线问题初探
蓝 婷
深圳市第二高级中学； 广东深圳 518055
【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。
【关键词】：圆锥曲线 ； 双切线 ； 切点弦方程
一、研究背景
圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。
二、定理证明
为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：
220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。
引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=。 证明：在圆锥曲线方程2
2
0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得：
220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C
y Ex By D
++'=-
++
则切线方程为：0000002()2Ax Ey C
y y x x Ex By D
++-=-
-++
得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++-
化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=
整理得：000000(
)()()0222
x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 定理：设()00,P x y 不在圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上，过点P 引该圆锥曲线的两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 的方程为：
000000(
)()()0222
x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 证明：设切点坐标()(),,,a a b b A x y B x y ，由引理可得：
直线AP 方程：(
)()()0222a a a a a a x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 直线BP 方程：()()()0222
b b b b b b x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=
因为()00,P x y 在直线AP 且在直线BP 上，所以：
000000(
)()()0222a a a a a a x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++= 000000()()()0222b b b b b b x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=
以上两式说明：点()(),,,a a b b A x y B x y 均满足方程：
000000(
)()()0222
x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 所以切点弦AB 方程为：000000()()()0222x x y y y x x y
Ax x By y C D E F ++++++++=。
三、定理应用
例1、（2007年浙江省高中数学竞赛）若P 、Q 为圆2
2
1x y +=的两动点，且满足圆内一点
10,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得2PAQ π∠=，求过点P 、Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程。
解：设()00,M x y 、()11,P x y 、()22,Q x y ，根据定理，则切点弦PQ 的方程为：001x x y y += 联立方程：0022
1
1
x x y y x y +=⎧⎨
+=⎩，得：2222
0000()210x y x x x y +-+-=
则：01222002x x x x y +=+，201222001y x x x y -=+，01222002y y y x y +=+，2
1222
00
1x y y x y -=+ 因为：2
PAQ π
∠=
，所以PA PB ⊥，即：1PA PB k k =-
则：121211()()022
x x y y +--=，即：22
00033480x y y ++-=
所以M 的轨迹方程为：22
33480x y y ++-=
例2、（2008年江西高考14题）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆
221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
解：根据定理，则切点弦AB 的方程为：1
1102
x y ⋅+⋅-=，即：22y x =- 由题可知：直线22y x =-过点(,0)c 和(0,)b
所以1c =，2b =
，则a =22
154
x y +=。
例3、（2008年江西高考21题）设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线2
2
1x y -=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点1
(,0)M m
。 （1）求证：三点A 、M 、B 共线；
（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在曲线方程。 解：（1）因为P 在直线x m =上，则0(,)P m y ，根据定理，则切点弦AB 的方程为：
010,xm yy --=即：00
1m y x y y =
- 将点1
(
,0)M m
代入直线AB 的方程，有00110m y m y =⋅-成立，
所以点M 在直线AB 上，所以A 、M 、B 三点共线。
（2）略。
例4、（2013年广东高考22题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线
:20l x y --=
，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其
中A ，B 为切点；
（1）求抛物线C 的方程；
（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值。 解：（1）易得抛物线C 方程：2
4x y =。 （2）根据定理，则切点弦直线AB 的方程为：
004(
)0,2y y xx +-=即：002
x
y x y =-，又因为P 在直线l 上，则002y x =-
