三反证法与放缩法
1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)
2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)
[基础·初探]
教材整理1反证法
阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()
A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数
C．至少一个是偶数
D．恰有一个是偶数
【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．
【答案】 C
教材整理2放缩法
阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，
从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是()
【导学号：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2h
C．|a－b|＜h D.|a－b|＞h
【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用反证法证“至
多”“至少”型命题
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.
【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．
【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，
∴f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1
2，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)
又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|
≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，
∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．
故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[再练一题]
1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．
【证明】a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假设错误，
故a，b，c，d中至少有一个是负数．
即a，b，c，d中至多有三个是非负数.
利用放缩法证明不等
式
已知a n＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1
a1＋
1
a2＋…＋
1
a n＜
3
2.
【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】∵当n≥2时，a n＝2n2＞2n(n－1)，
∴1
a n＝
1
2n2＜
1
2n(n－1)
＝
1
2·
1
n(n－1)
＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
n－1
－
1
n，
∴1
a1＋
1
a2＋…＋
1
a n＜1＋
1
2
1
1×2
＋
1
2×3
＋…＋
1
n(n－1)
＝1＋1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1－
1
2＋
1
2－
1
3＋…＋
1
n－1
－
1
n
＝1＋1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
n＝
3
2－
1
2n＜
3
2，
即1
a1＋
1
a2＋…＋
1
a n＜
3
2.
1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．
2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
[再练一题]
2．求证：1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n≥2，n∈N＋)．
【证明】∵k2＞k(k－1)，
∴1
k2＜
1
k(k－1)
＝
1
k－1
－
1
k(k∈N＋，且k≥2)．
分别令k＝2,3，…，n得
1 22＜
1
1·2＝1－
1
2，
1
32＜
1
2·3＝
1
2－
1
3，…，
1
n2＜
1
n(n－1)
＝
1
n－1
－
1
n.
