江苏省通州高级中学2020-2021学年度第一学期高三年级 第五次阶段性测试 数学试卷及解析

江苏省通州高级中学2024-2025学年度第一学期高一第一次阶段性测试物理试卷一、单选题（本大题共14小题，每题3分，总计42分）1.在日常的驾车出行中，导航软件已经成为了重要的辅助工具。

下图是某导航A PP在导航过中的画面截图，根据图中提供的信息，下列说法正确的是（）A.在研究导航过程中车辆所处位置时不可以把车看作质点B.图中的“5公里”表示该车在当前路段仍需行驶的位移C.图中的“13：02”表示该车到达目的地所需的时间间隔D.图中的“区间车速80”表示该车经过特定区间的平均速率为80km/h2.某校高一的新同学分别乘两辆汽车去市公园游玩。

两辆汽车在平直公路上运动，甲车内一同学看见乙车没有运动，而乙车内一同学看见路旁的树木向西移动。

如果以地面为参考系，那么，上述观察说明（）A.甲车不动，乙车向东运动B.乙车不动，甲车向东运动C.甲、乙两车以相同的速度都向东运动D.甲车向西运动，乙车向东运动3.一个质点在x轴上运动,各个时刻的位置坐标如下表,则下列说法中正确的是()t/s01234x/m05-4-1-7A.前2s的位移为－9mB.第3s的位移为3mC.第2s的平均速度大小为2m/sD.前2s的平均速率为2m/s4.关于速度的描述，下列说法中正确的是（）A.图甲中，电动车限速20km/h，指的是平均速度大小B.图乙中，子弹出枪口时的速度大小为500m/s，指的是平均速度大小C.图丙中，某运动员百米跑的成绩是12s，则他冲刺时的速度大小一定为8.33m/sD.图丁中，京沪高速铁路测试时列车最高时速可达484km/h ，指的是瞬时速度大小5.一质点做加速度恒定的变速运动，初速度大小为2m/s ，3秒末速度大小变为4m/s ，则下列判断正确的是（）A.速度变化量的大小可能大于2m/sB.速度变化量的大小可能小于2m/sC.加速度大小一定等于22m /s 3D.加速度的方向一定与初速度方向相同6.一个物体做直线运动，其v t -图像如图所示，以下说法正确的是（）A.第4s 末位移达到最大值 B.5s 6s t <<内加速度方向与速度方向相反C.4~6s 内物体的速度一直在减小D.0~2s 内物体的加速度为21.5m /s 7.2024年3月28日小米SU7在北京发布，若该款汽车在平直道路上行驶时，从某时刻开始的一段时间内其位置与时间的关系是()2536m x t t =++，则以下说法正确的是（）A.初始时刻汽车在坐标原点B.1s 末汽车离坐标原点8mC.第一秒内平均速度为8m/sD.前两秒内平均速度为16m/s8.一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。

江苏省通州高级中学2020至2021学年“一市一所”教育联盟高一上学期12月第一次联测数 学 2020.12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝（ ）A.{0，1}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{0，2} 2．已知{260()=10x x f x x x -++<，，，，≥则[](7)f f 的值为 （ ) A ．20- B ．2 C ．7 D ．5 3．已知幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，，则(4)f 的值等于 （ ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．144．“a ＜1”是“函数f (x )=x a -在区间[1，+∞)上为增函数”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A B C D6．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为 （ ）A ．3B ．2C ．323+D ．57．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足1(lg )+lg 2(1)f a f f a ⎛⎫⎪⎝⎭≤，则a 的取值范围是 （ ）A ．11010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[)101010⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，D ．[)10e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，8．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为1S，扇形OAB的面积为2S，当1S与2S 51-时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为( ) A．514B51-C．35D52二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．）9．角α的终边上有一点()5P m，，且sin13mα=，则αtan＝（）A．125B．125-C．512D．010．已知函数2291()=41x ax xf xx a xx⎧-+⎪⎨++>⎪⎩，≤，，，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 411．下列命题正确的是（）A．132212313log222⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．191sin62π=-C．函数2sin1y x=-|2266x k x k kπ5π⎧⎫+π+π∈⎨⎬⎩⎭Z≤≤，D．42lg225lg5.02161.1230=++-+-12．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是 （ ）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b ++≤ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 13．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．14．函数12y x=-的定义域为 ▲ ． 15．如图（1）是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A 、B 、C 、D （视为点），并四等分圆弧（如图2）．小明从A 点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为θ弧度（0θ<<π），3分钟第一次到达劣弧CD 之间（不包括C 、D 点），15分钟时回到出发点A ，则θ的值为 ▲ ．16．已知0m >，函数2()log f x x m =-的零点分别为12x x ，（12x x <），函数24()log 1g x x m =-+的零点分别为34x x ，（34x x <），则2413x x x x --的最小值为 ▲ ．图1AB CD 图2四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 在“①A=∅R ，② A 恰有两个子集，③1A22⎛⎫≠∅ ⎪⎝⎭，”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．已知集合{}2210A x mx x =∈-+=R ，（1）若1A ∈，求实数m 的值；（2）若集合A 满足__________，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）命题p ：函数()2lg 2y x ax a =-+的定义域为R ，命题q ：函数()21xy a =-在R 上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 有且仅有一个真命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）（1）已知()tan 2απ+=，求()()2sin sin 2cos 3cos 2αααα5π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭3π⎛⎫3π++- ⎪⎝⎭的值； （2）已知0α<<π，且1sin cos 3αα+=-，求sin cos αα-的值．20．（本小题满分12分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123d d d d ，，，，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(]033.3v ∈，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]12k ∈，）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间0t10.8t =秒 20.2t =秒 3t距离010d =米1d 2d2320v d k=米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；（2）当k =2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？21．（本小题满分12分）设函数e ()e x x af x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）．（1）若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值； （2）若1a =-．① 判断并证明函数f (x )的单调性；② 若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）若函数()f x 与()g x 对任意1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使12()()f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；当()()f x g x =时，则称()f x 为区间D 上的“m 阶自伴函数”． （1）判断()22()log 1f x x =+是否为区间17⎡⎣，上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数1()4x f x -=为区间[]a b ，（0b a >>）上的“1阶自伴函数”，求22a bab+的最小值；（3）若4()=+2f x x 是22()=21g x x ax a -+-在区间[]02，上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．江苏省通州高级中学2020至2021学年“一市一所”教育联盟高一上学期12月第一次联测数 学 2020.12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝（ A ）A.{0，1}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{0，2} 2．已知{260()=10x x f x x x -++<，，，，≥则[](7)f f 的值为 （ B ) A ．20- B ．2 C ．7 D ．5 3．已知幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，，则(4)f 的值等于 （D ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．144．“a ＜1”是“函数f (x )=x a -在区间[1，+∞)上为增函数”的 （A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（B ）A B C D6．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为 （ C ）A ．3B ．2C ．323+D ．57．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足1(lg )+lg 2(1)f a f f a ⎛⎫⎪⎝⎭≤，则a 的取值范围是 （ A ）A ．11010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[)101010⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，D ．[)10e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，8．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为1S，扇形OAB的面积为2S，当1S与2S 51-时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为( B ) A．514B51-C．35D52二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．）9．角α的终边上有一点()5P m，，且sin13mα=，则αtan＝（ABD ）A．125B．125-C．512D．010．已知函数2291()=41x ax xf xx a xx⎧-+⎪⎨++>⎪⎩，≤，，，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的值可以是（BCD ）A. 1B. 2C. 3D. 411．下列命题正确的是（ABC）A．132212313log222⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．191sin62π=-C．函数2sin1y x=-|2266x k x k kπ5π⎧⎫+π+π∈⎨⎬⎩⎭Z≤≤，D．42lg225lg5.02161.1230=++-+-12．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x∈R，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]()f x x=称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f=，( 3.3)4f-=-.则下列正确的是（BCD）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b ++≤ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 13．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．{}135，， 14．函数12y x =-的定义域为 ▲ ．102⎛⎤⎥⎝⎦， 15．如图（1）是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A 、B 、C 、D （视为点），并四等分圆弧（如图2）．小明从A 点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为θ弧度（0θ<<π），3分钟第一次到达劣弧CD 之间（不包括C 、D 点），15分钟时回到出发点A ，则θ的值为 ▲ ．25π16．已知0m >，函数2()log f x x m =-的零点分别为12x x ，（12x x <），函数24()log 1g x x m =-+的零点分别为34x x ，（34x x <），则2413x x x x --的最小值为 ▲ ．8四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 在“①A=∅R ，② A 恰有两个子集，③1A22⎛⎫≠∅ ⎪⎝⎭，”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．已知集合{}2210A x mx x =∈-+=R ，（1）若1A ∈，求实数m 的值；（2）若集合A 满足__________，求实数m 的取值范围．图1ABC图2【答案】（1）1（2）选① 1m >选② 1m =或0m = 选③ 01m <≤18．（本小题满分12分）命题p ：函数()2lg 2y x ax a =-+的定义域为R ，命题q ：函数()21xy a =-在R 上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 有且仅有一个真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） ()01，（2）102⎛⎤⎥⎝⎦， 19．（本小题满分12分） （1）已知()tan 2απ+=，求()()2sin sin 2cos 3cos 2αααα5π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭3π⎛⎫3π++- ⎪⎝⎭的值； （2）已知0α<<π，且1sin cos 3αα+=-，求sin cos αα-的值．【答案】（1） 57-（2）1720．（本小题满分12分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123d d d d ，，，，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(]033.3v ∈，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]12k ∈，）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间0t 10.8t =秒 20.2t =秒 3t（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；（2）当k =2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？【解】（1）由题意得()0123d v d d d d =+++，所以()22100.80.2102020v v d v v v v k k=+++=++． 当2k =时，()21040v d v v =++，()101111240v t v v =++≥+=+=（秒）． 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒．（2）根据题意要求对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立，即对于任意[]1,2k ∈，2105020v v k++<，即2140120k v v <-恒成立， 由[]1,2k ∈，得111,204020k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以2140120k v v<-，即2208000v v +-<，解得4020v -<<． 所以020v <<，21．（本小题满分12分）设函数e ()e x x a f x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）． （1）若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；（2）若1a =-．① 判断并证明函数f (x )的单调性；② 若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1） 1± （2） ①增函数 ①1m ≥或2m -≤22．（本小题满分12分）若函数()f x 与()g x 对任意1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使12()()f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；当()()f x g x =时，则称()f x 为区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22()log 1f x x =+是否为区间1⎡⎣上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数1()4x f x -=为区间[]a b ，（0b a >>）上的“1阶自伴函数”，求22a b ab +的最小值； （3）若4()=+2f x x 是22()=21g x x ax a -+-在区间[]02，上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） 不是 （2） ①52 ①1m ≥或2m -≤。

江苏省通州市高级中学2020届高三数学期中考试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．已知{|1},M y y x ==+},1|),{(22=+=y x y x N 则集合N M I 中元素的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．多个 2．函数2|2sin 1|y x =-的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ）A ．―1B ．2C ．21D ．―1或2 4．已知n x x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项等于（ ） A ．15 B ．－15 C ．20 D ．－205．抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则a 的值为 ( ) A ．41 B ．41- C ．4 D ．－4 6．n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，已知51013S S =，那么1020SS = （ ）A ．19 B ．18C ．310D ．137．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 （ ）A ．2B ．262+ C ．22+ D ． 22+ 8．将4个不相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰好有2个和谐盒的概率为 （ ） A ．281 B ．481 C ．1281 D ．16819．若'(sin )cos x x =，'(cos )sin x x =-，设0()sin f x x =,'10()()f x f x =，'21()()f x f x =，…，'1()()n n f x f x +=，n N ∈，则2006()f x = （ ）A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下正确的是 （ ） A ．||||b a MO MT -=- B ．||||b a MO MT ->- C ．||||b a MO MT -<- D ．b a -与||||MO MT -大小不定二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题卷的横线上）11．若34)1(6)1(4)1()(234-+-+-+-=x x x x x f ，则)2(f ＝12．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = . 13．一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是__________________．14．已知12006321=⋅⋅x x x x Λ，且200621,,,x x x Λ都是正数，则)1()1)(1(200621x x x +++Λ的最小值是 ．15．已知三棱锥ABC O -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，y OB x OA x OC ===,,2 且3=+y x ，则三棱锥ABC O -的体积最大时，其外接球的体积为_____________. 16．对于集合N ={1, 2, 3,…, n }及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5. 当集合N 中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S 2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n =4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3、S 4，并根据其结果猜测集合N ={1, 2, 3,…, n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n = .(不必给出证明)三、解答题：（本大题共5个小题，共70分. 解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤.） 17．（本题满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，⋅=⋅. （1）求证：2a 、2b 、2c 成等差数列；A BDPCC 1D 1 A 1B 1（2）求角B 的取值范围及B B cos sin +的取值范围.18．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足14,454132=+=⋅a a a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）通过cn S b nn +=构造一个新数列{}n b ，是否存在一个非零常数c ，使{}n b 也为等差数列；（3）求*)()2005()(1N n b n b n f n n∈⋅+=+的最大值.19．（本题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090,2,ACB BC AC ∠===14AA =，D 为棱1CC 上的一动点，M 、N 分别为11,ABD A B D ∆∆的重心．（1）求证：MN BC ⊥；（2）若二面角C —AB —D的大小为， 求点C 1到平面11A B D 的距离；（3）若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，试判 断点C 1在11A B D ∆的射影是否为N ？并说明理由．20．（本题满分15分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，实轴长为2. 一条斜率为1的直线l 过右焦点F 与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与右准线交于,M N 两点. （1）若双曲线的离心率为2，求圆的半径；（2）设AB 的中点为H ，若163HM HN ⋅=-u u u u r u u u r ，求双曲线的方程.21．（本题满分15分）已知函数f x ()的定义域为I ，导数f x '()满足02<<f x '()且f x '()≠1，常数c 1为方程f x x ()-=0的实数根，常数c 2为方程f x x ()-=20的实数根.（I ）若对任意[]a b I ，⊆，存在()x a b 0∈，，使等式f b f a b a f x ()()()'()-=-0成立.求证：方程f x x ()-=0不存在异于c 1的实数根； （II ）求证：当x c >2时，总有f x x ()<2成立；（III ）对任意x x 12、，若满足x c x c 112111-<-<，，求证：f x f x ()()124-<.ABCDM NA 1B 1C 1[参考答案]1、A2、B3、B4、A5、B6、C7、D8、D9、B 10、A 11、4 12、3或31613、285个 14、22020 15、π2217 16、n .2n –1 17、（1）)()()()(+⋅-=+⋅-，即得2222c b b a -=- 则222,,c b a 成等差数列；（2）30π≤<B ；2cos sin 1≤+<B B . 18、（1）∵等差数列{}n a 中，公差0>d ，∴34495144514453232324132-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅⇒⎩⎨⎧=+=⋅n a d a a a a a a a a a a n .（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=2122341n n n n S n ，c n S b n n +=c n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212，令21-=c ，即得n b n 2=，数列{}n b 为等差数列，∴存在一个非零常数21-=c ，使{}n b 也为等差数列. （3）()()11()2005(2005)200512006nn b n f n n b n n n n+===+⋅++++<, ∵()0802079212005289442005200545<-=-=---，即442005200545-<-， ∴45=n 时，()n f 有最大值18860946205045=⨯。

江苏省南通市通州区高级中学2020-2021学年高三物理月考试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. （多选）甲、乙两物体从同一点开始做直线运动，其v－t图象如图所示，下列判断正确的是A．在ta时刻两物体速度大小相等，方向相反B．在ta时刻两物体加速度大小相等，方向相反C．在ta时刻之前，乙物体在甲物体前，并且两物体间距离越来越大D．在ta时刻之后，甲物体在乙物体前，并且两物体间距离越来越大参考答案：BC2. 下列诗句描绘的情景中，含有以流水为参考系的是()A．人在桥上走，桥流水不流 B．飞流直下三千尺，疑是银河落九天C．白日依山尽，黄河入海流 D．孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流参考答案：A3. 如图所示，质量20kg的小物块（可视为质点）以速度4m/s水平向右进入转送带，传送带向左传动、速率为3m/s，两皮带轮轴心间的距离是9m，已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.1。

对此，下列说法中正确是（）A.物体将从传送带的左边离开B.特体将从传送带的右边离开C.物块离开传送带的速度为3m/sD.传送带对物块先做负功、后一直做正功直至落下传送带参考答案：AC滑块先向右匀减速，对于向右滑行过程，根据牛顿第二定律，有μmg=ma，解得a=μg=2m/s2根据运动学公式，有0=v0-at1，x=解得t1=2s，x=4m<9m向左匀加速过程，根据运动学公式，有x1==m，t2==1.5s，最后m随传送带做匀速直线运动，离开传送带的速度为3m/s。

对整个过程，传送带对物块先做负功、后做正功直至与传送带同速（最后一段不做功）。

4. （单选）起跳摸高是学生经常进行的一项体育活动。

一质量为的同学弯曲两腿向下蹲，然后用力蹬地起跳，从该同学用力蹬地到刚离开地面的起跳过程中，他的重心上升了，离地时他的速度大小为。

下列说法正确的是A．该同学机械能增加了B．起跳过程中该同学机械能增量为C．地面的支持力对该同学做功为D．该同学所受的合外力对其做功为参考答案：B5. 我国于2010年1月17日成功发射的北斗COMPASS-Gl地球同步卫星是一颗静止地球同步轨道卫星．关于成功定点后的“北斗COMPASS-G1”地球同步卫星，下列说法中正确的是（）A．运行速度大于7.9km/sB．离地面高度一定，相对地面静止C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D．向心加速度比静止在赤道上的物体的向心加速度小参考答案：BC二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. （4分）若将气泡内的气体视为理想气体，气泡从湖底上升到湖面的过程中，对外界做了0.6J的功，则此过程中的气泡（填“吸收”或“放出”）的热量是 J。

江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足(1)2z i i -=-，则复数z 的模为（ ）A ．1BC ．2 D ．2 2．已知集合(){}2lg 4A x y x==-，{}03B x x =<<，则A B =（ ） A ．{|23}x x << B ．{|22}x x -<<C ．{|02}x x <<D ．R 3．已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ） A ．13 B ．25 C ．35 D ．215 4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A ．3sin θB ．3cos θC ．12sin θD ．12cos θ 5．2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”某校4名大学生到A ，B ，C 三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传则不同的安排方案共有（ ）A ．18种B ．36种C ．48种D ．72种 6．已知a 、b 为单位向量，且|2|3a b -=，则a ，b 的夹角为（ ） A ．6π或56π B ．6π C ．3π或23π D ．3π 7．已知4ln04a a -=<，3ln 03b b -=<，2ln 02c c -=<，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b << 8．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ）A ．31x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．1x ≠-二、多选题9．某高中积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校3000名学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ）A ．估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时B ．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%D ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人10．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是（ ）A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11a b +的最小值为D ．48a b +的最小值为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且2AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ）A ．90CFD ∠=︒B ．直线AB 的斜率为C ．AOB 的面积为2D ．CMD △为等腰直角三角形 12．已知函数()|sin 2|cos2f x x x =+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最小值为C ．()f x 的图象关于8x π=对称 D ．()f x 在,82ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题13．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知101a <<，其前n 项之积为n T ，且126T T =，则n T 取最小值时，n 的值是___________．14．写出一个图象关于直线1x =对称的奇函数()f x =________．15．若关于x 的不等式ln x e a x a -≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________．四、双空题16．已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO（O 为原点）的斜率为2，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．五、解答题 17．已知集合{}|2,A x x n n *==∈N ，{}|3,n B x x n *==∈N ，将A B 中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若27m a =，求m 的值；（2）求50S 的值．18．在①2cos 2a C c b +=，②23cos cos cos 24B C B C --=，③22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_____________．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长．20．今年疫情期间，许多老师进行抖音直播上课某校团委为了解学生喜欢抖音上课是否与性别有关，从高三年级中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是815． （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关？（2）若从这30人中的女生中随机抽取2人，记喜欢抖音上课的人数为X ，求X 的分布列、数学期望．附临界值表：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．已知函数()x f x ae x =-，a ∈R ． （1）若()f x 在0x =处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （2）若()f x 有两个不同的零点1x 、2x ．①求实数a 的取值范围；②证明：122x x +>．。

参考学校：江苏省通州高级中学；江苏省镇江第一中学；江苏省太仓高级中学；江苏省建湖高级中学；江苏省阜宁中学（考试时间：120分钟，满分：120分）说明：请将第I卷各题答案按要求填涂在答题卡上。

第I卷（三部分，共85分）第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What will the woman do about the dress？A. She’ll change it.B. She’ll return it.C. She’llbuy it.2. What are the speakers talking about？A. Buying DVDs.B. Borrowing DVDs.C. Sharing DVDs.3. What did the woman think of Dana’s speech？A. Boring.B. Important.C. Well-prepared.4. What does the man mean？A. He is unable to give help.B. He will carry the boxes later.C. He refuses to pay for boxes.5. When is Simon supposed to arrive？A. 7:30.B. 8:00.C. 8:10.第二节听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各个小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

江苏省通州高级中学高三周练试卷11.12一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知复数2a iz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈），则a =（ ） A ．2- B ．12- C ．12D ．22．已知集合(){}lg 2|3A x y x ==-，{}2|4B x x=≤，则=A B ⋃（ ）A ．322x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．{}2x x <C ．322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D {}2x x ≤ 3．已知点()1,0A ，(2,3)B ，,()2C m --，向量AC ，AB 的夹角为56π，则实数m = （ ） A ．23B ．3C ．0D ．3-4．2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的 周数（x ）12 3 4 5 治愈人数（y ）2 173693142由表格可得y 关于x 的二次回归方程为2ˆ6yx a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5 B ．4C ．1D ．05．过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，且3||||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF =（ ） A ．43 B ．34 C ．4 D ．546.3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为102cm ，母线与底面所成角的正切值为2．打印所用原料密度为1 g ／cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3．14，精确到0．1） A ．609．4 g B ．447．3 g C ．398．3 g D ．357．3 g7．设函数()2cos(2)||2f x x a πϕϕ⎛⎫=++<⎪⎝⎭在57,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像大致如图，则a 与ϕ分别为（ ）A ．1-和6π-B ．1和3π-C ．1和3π D ．1和6π 8．定义函数()348,1221,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()()6g x x f x =-在区间*[](1,2n n ∈N ）内的所有零点的和为（ ） A ．()3212n- B ．2nC ．3(21)4n- D ．n二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知23b =，π3B ∠=，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（ ） A ．3c = B ．7 2c =C ．4c =D ．92c =10．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,1]上单调递增，且(1)(1)f x f x -=+，则下列结论正确的是（ ） A ．直线3x =是()f x 的一条对称轴 B ．()f x 是周期为2的周期函数 C ．()f x 在()1,2上单调递减 D ．2x =是函数()f x 的一个零点11．下面的结论中，正确的是（ ）A ．若a R ∈，则323a a +≥B ．若0a >，0b >，11a b a b+=+，则2a b +≥ C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且|ln ||ln |a b =，则1ab =12．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图象的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56 B．函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =﹐则3334353637log log log log log a a a a a ++++的值为▲ .14．若二项式2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，则其常数项为 ▲ . 15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 中点，过点1D 作平面α，满足CP ⊥平面α，则平面α与正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为 ▲ .16.如图，在ABC ∆中，4||=AB ，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且53||=DE ，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC ∆的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且D C 、在直线AB 的异侧，在移动过程中，当||||CA CD -取得最大值时，ABC ∆的面积为 ▲ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分） 在①n n b na =，②2, log ,n n n a n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，③()()21221log log n n n b a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．问题：已知数列{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）记________，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．A 'BDEC图2F图1ADBEC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. （本小题满分12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =， 求ABC 的面积S ．19．（本小题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,22AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=．（1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45，求λ的值．20．（本题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，学生线上学习。

江苏省通州高级中学2020-2021学年度第一学期高三年级第五次阶段性测试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，，然后由交集的定义求解即可.【详解】由集合A中的函数，得到，解得：，集合, 由集合中的函数，，得到，集合，则．故选：B．【点睛】易错点睛：解答本题时应注意集合A中的元素，应是x而不是y.2. 设是虚数单位，若，且其对应的点位于复平面的第二象限，则位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义列出不等式，求出的范围，可得结论．【详解】∵对应的点位于复平面的第二象限，∴，∴在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查三角函数的定义，属于基础题．3. 下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用初等函数的奇偶性逐一分析选项，利用导数判断含有三角函数的单调性即可.【详解】解：A选项：为奇函数，在和上单调递减，故A错误；B选项：定义域为，但在定义域上不单调，故B错误；C选项：，定义域为且为奇函数，取，，取，，，，在上不单调增函数，故C错误；D选项：，定义域为且为奇函数，，故在上单调递增，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查判断已知函数的奇偶性和单调性，属于中档题.结论点睛：（1）奇函数加奇函数为奇函数；（2）偶函数加偶函数为偶函数；（3）奇函数乘奇函数为偶函数；（4）偶函数乘偶函数为偶函数；（5）奇函数乘偶函数为奇函数.4. 二项式展开式中存在常数项的一个条件是（）A. n=5B. n=6C. n=7D. n=9【答案】B【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可知有解，排除，可得答案.【详解】二项式展开式通项为，，要使展开式中存在常数，只需有解，因为，所以为偶数，故不正确.当时，，二项式展开式中第项为常数项. 故选：B【点睛】关键点点睛：根据二项展开式的通项公式得有解是解题关键.5. 已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题可依次判断“，”是否是“为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列，故“，”是“为递减数列”的充分条件，因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列，所以“，”不是“为递减数列”的必要条件，综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，考查推理能力，是简单题.6. 一个盒子里装有个大小、形状完全相同的小球，其中红球个，编号分别为，，，，黄球个，编号分别为，，，从盒子中任取个小球，其中含有编号为的不同取法有（）A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】先求得在7个小球中任选4个小球的取法，再求得在4个小球中没有编号为3的取法，可得选项. 【详解】根据题意，在7个小球中任选4个，有种取法，在4个小球中没有编号为3的取法有种取法，所以从盒子中任取个小球，其中含有编号为的不同取法有种取法，故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查排列组合的应用，可以使用间接法分析.7. 我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆，直线，若圆上任一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（）A. 一个离心率为的椭圆上B. 一条离心率为的双曲线上C. 一个离心率为的椭圆上D. 一条离心率为的双曲线上【答案】C【解析】 【分析】由题意直线必过圆的圆心，可得点必在椭圆上，进而求出离心率.【详解】依题意可知，直线过圆的圆心，则，所以点必在椭圆上，且该椭圆的离心率为．故选：C .【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率的常用方法：1.直接法；2.构造c 和a 的齐次方程求解.8. 在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ） AB. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面几何知识可知，当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点，再由切割线定理可求得点的横坐标.【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点.易得过、两点直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得2||||||224216AP AM AN =⋅=⨯=，所以，进而可得，点的横坐标为3.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是确定点的位置.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下列结论中，所有正确的结论有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 当时，D. 若，则【答案】CD【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AB 选项的正误，利用基本不等式可判断CD 选项的正误.【详解】A ．若，如，，则不成立，故A 错误；B ．，则，，取，则，故B 错误；C ．因为，则，由基本不等式可得4sin 4sin x x +≥=，当且仅当时，等号成立， 但，所以，，故C 正确；D ．由重要不等式可得22sin cos 2sin cos αβαβ+≥，所以，()()222222sin cos sin cos 2sin cos sin cos 1αβαβαβαβ+≥++=+=， 则，当且仅当时，等号成立，故D 正确．故选：CD .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）A. 此数列的第20项是200B. 此数列的第19项是182C. 此数列偶数项的通项公式为D. 此数列的前项和为【答案】AC【解析】【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A 正确；，B 错误；C 正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D 错．故选：AC ．【点睛】本题考查数列通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式．这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数之间的关系，归纳结论．有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论．11. 函数()cos()0,0,02⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为2B. 点为函数的一个对称中心C. 函数的图象向左平移个单位后得到的图象D. 函数在区间上是增函数【答案】BCD【解析】【分析】由函数的图象求得，即可求的最小正周期，的对称中心以及函数图象平移后的解析式，根据有且仅有3个极大值点得到的范围进而判断在上的单调性.【详解】由图知：且，即，所以，因为55cos 144f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以所以，，因为，所以，∴，对于A，函数的最小正周期为，故错误；对于B，由有，，则为的一个对称中心，故正确；对于C，函数的图象向左平移个单位，33()()cos()sin()2244g x f x x xπππππ=+=+-=-，故正确；对于D，在有且仅有3个极大值点知：，则，而在单调增，则在上是增函数，故正确故选：BCD【点睛】结论点睛：对于函数，最小正周期是原函数的一半；余弦函数的对称中心为；函数水平移动m，上下移动n可表示为.12. 设、是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列结论正确的是（）A.B. 以为直径的圆面积的最小值为C. 直线过抛物线的焦点D. 点到直线的距离不大于【答案】BCD【解析】【分析】考虑与轴垂直，设直线的方程为，根据题意求得的值，求出的值，可判断A选项的正误；可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由直线与的斜率之积为，求得的值，并求得的最小值，可判断B、C选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若与轴垂直，设直线为，则，，，，，，即、，此时，A选项错误；对于B、C选项，由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为，由，得，由，得，设点、，则，，2212121212121161644OM ON y y x x x x m k k x x x x ====-=-，， 此时直线的方程为，恒过定点，C 选项正确；因为()212414MN x x k =-==+≥， 所以，以为直径的圆面积的最小值为，B 选项正确；对于D 选项，点到直线的距离为，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查直线截抛物线所得弦长、直线过定点以及点到直线距离的计算，考查计算能力，属于中等题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列的前项为，若，，则_____________. 【答案】【解析】【分析】首先根据题意列出不等式组411511434463254551042S a d a d S a d a d ⨯⎧=+=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=+=⎪⎩，解不等式可得到，，再计算即可. 【详解】由题知：411511434463254551042S a d a d S a d a d ⨯⎧=+=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=+=⎪⎩， 解得：，..故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查学生的计算能力，属于简单题.14. 已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________．【分析】求得，设()()cos ,sin 02B αααπ≤<，由向量数量积的坐标表示，结合正弦函数的值域，可得所求范围.【详解】由题意可得，设()()cos ,sin 02B αααπ≤<，则()()0,1cos 1sin 1sin OA BA ααα⋅=-⋅---=+，， 由，取得最大值1，则取得最大值2；由，取得最小值，则取得最小值0；故取值范围是，故答案为：.15. 若函数满足以下三个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个满足上述条件的函数______.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】结合题目要求，写出满足题意的函数即可得解.【详解】若，则该函数的定义域是，且图象连续，由()()()()2211f x x x x x f x ⎡⎤-=--⋅-=-⋅=⎣⎦，为偶函数， 且有3个零点，所以函数满足题意.故答案为：（答案不唯一）.16. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.【答案】首先设为刍童外接球的球心，，分别为矩形，的中心，由球的几何性质可知：，，三点共线，连接，，，，，再分别计算得到，，根据，即可得到答案.【详解】设为刍童外接球的球心，，分别为矩形，的中心，由球的几何性质可知：，，三点共线，连接，，，，，如图所示：由题知：平面，平面，所以. 因为22111155522O G EF FG =+=+= 设， 在中，()2221115OG OO O G m =+=++ 因为222118242222O B AD AB =+=+= 在中，222228OB OO O B m =+=+设外接球的半径为，则，所以，解得.所以，.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，（1）求BC 的长度；（2）若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算得到，，利用余弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到，利用正弦定理计算得到答案.【详解】（1），，在中，，，，，又，，在中，，222=2cos BC CD BD CD BD BDC ∴+-⨯⨯⨯∠9355=1215⎛+-⨯ ⎝⎭ .（2）由（1）知AB =2，，，中，2222cos BE AB AE AB AE A =+-⨯⨯⨯42525422555=+-⨯⨯⨯， ， 在3525sin BDE DE BDE ∆=∠中，，sin sin DE BE DBE BDE =∠∠， sin 310sin DE BDE DBE BE ⨯∠∴∠==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.18. 在①，②，③三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面问题中，并加以解答．设等比数列的前项和为，，与满足 ．（1）求数列的通项公式；（2）记数列，数列的前项和，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用与的关系，分别分析条件①②③是否符合条件，并利用等比数列通项公式代入表示数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求解数列的前项和.【详解】解：（1）①不符合条件，若选①由已知①，当时，②，①②可得，当时，，可得，则．数列不是等比数列．选②，由已知①，当时，②，①②可得，当时，可得，满足．数列是首项为，公比为的等比数列．即可得．选③，由已知①当时，②，①②可得21212132232(2)n n n n a n +--=-=⋅≥． 当时，满足．数列是首项为，公比为的等比数列，即可得．（2）由（1）可得()()21212121212111321212121n n n n n n b --+-+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则212111111133992121n n n T -+⎛⎫=-+-+- ⎪++⎝⎭21211111111332193219++⎛⎫=-=-⨯< ⎪++⎝⎭n n ． 【点睛】给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式，注意验证是否符合通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.19. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据平面，结合，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，如图设正四棱锥的高为，，则，，，，，，．设平面的一个法向量，则取，则，所以．设平面的一个法向量，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+= 取，则，，所以．二面角的余弦值是， 所以cos ,332m n m n m n ⋅===⋅， 解得．点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用. 20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，椭圆的中心到直线的距离为. （1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点，对于椭圆上任意一点，若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，，再由椭圆的中心到直线的距离为，得到，联立求解.（2）由（1）可的直线的方程为，与椭圆的方程联立, 设，由，得到，再由点在椭圆上，代入椭圆方程整理得到22222211221212(4)(4)2(4)100x y x y x x y y λμλμ+++++=，再根据点在椭圆上，222211224100,4100x y x y ∴+=+=结合韦达定理，转化为利用基本不等式求解.【详解】（1），，.椭圆的中心到直线的距离为，，..椭圆的方程为.（2）由（1）可知，由题可知直线的方程为，与椭圆的方程联立，.设，则有.设，由得11221212(,)(,)(,)(,)x y x y x y x x y y λμλμλμ=+=++，又点在椭圆上，，221212()4()100x x y y λμλμ∴+++=，22222211221212(4)(4)2(4)100x y x y x x y y λμλμ∴+++++=.①点在椭圆上，222211224100,4100x y x y ∴+=+=.②12121212121244(5)30020x x y y x x x x x x x x +=+--=-++=.③将②③代入①可得，2222122555λμλμλμλμλμ++≥+=， ，当且仅当时取“”.的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由点在椭圆上，整理得到22222211221212(4)(4)2(4)100x y x y x x y y λμλμ+++++=后，能联系到点在椭圆上和韦达定理的应用，进而得到得解.21. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表注：参考数据5555111174.691312.76110.98040.457i i i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑，，，（其中z ＝lny ）．附：样本（x i，y i）（i＝1，2，…，n）的最小二乘法估计公式为()()()121ˆˆˆni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑，（1）根据表中数据判断，y＝a+bx与y＝ce dx（其中e＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】（1）选y＝ce dx；（2）；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【解析】【分析】（1）直接由表中数据可得选择回归方程y＝ce dx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对y＝ce dx两边取自然对数，得lny＝lnc+dx，转化为线性回归方程求解；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论．【详解】（1）选择回归方程y＝ce dx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对y＝ce dx两边取自然对数，得lny＝lnc+dx，令z＝lny，a＝lnc，b＝d，得z＝a+bx．由于，，，∵5152221540.45753 2.19655535i iiiix z x zbx x==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑0.752，2.1960.75230.060a zb x=-=-⨯=-．∴z关于x的回归方程为，则y 关于x 的回归方程为；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛．由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，则甲公司获胜的概率分别是：P （A ）131311113113111353523325345⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； P （B ）31311331139111535325523525⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； P （C ）131113112532355⎛⎫=-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭． 由于，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查了分析问题运算求解的能力，属于中档题．22. 设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．【答案】（I ） 见解析（II ）.【解析】【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a 进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.试题解析：（Ⅰ）2121()2(0).ax f x ax x x x--=>'= <0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时， <0，单调递减；当时， >0，单调递增.（Ⅱ）令=，=.则=.而当时，>0，所以在区间内单调递增.又由=0，有>0，从而当时，>0.当，时，=.故当>在区间内恒成立时，必有. 当时，>1.由（Ⅰ）有,从而，所以此时>在区间内不恒成立. 当时，令，当时，3212222111112121()20xx x x xh x ax e xx x x x x x x--+-+ =-+->-+-=>> '，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时，，即恒成立.综上，.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．。

通州区2020—2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷2021年1月第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA =A ．{}2,5B ．{}3,5C ．{}4,5D ．{}1,2,3,4,52．抛物线24y x =的准线方程是A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x = 3．已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是A ．x ∀∈R ，20x < B ．x ∀∉R ，20x ≥ C ．0x ∃∈R ，200x ≥ D ．0x ∃∈R ，200x <4. 已知数列{}n a 为等差数列，且11a =，59a =，则数列{}n a 的前5项和是A ．15B ．20C ．25D ．355．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A ．20B ．25C ．30D ．55 6．已知a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是A ．11a b >B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33a b > D ．22log log a b >7．已知角α的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos2α= A ．2425-B ．725-C ．725D ．16258．在ABC △中，2AB =，3AC =，且3AB AC ⋅=-，则AC AB-λ()∈R λ的最小值是 A ．32BCD ． 9．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是（结果精确到0.1m ）（1.412.24≈2.65）A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．如图，等腰直角ABC △中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，π2PBA ∠=，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ；③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是A ． ①③B ．①④C ．②③D ．②④第二部分卷 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．复数1ii-（i 是虚数单位）的虚部是 ． 12．在6()2x -的展开式中，3x 的系数是 ．CBAPBA13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()4,0，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．14．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>，()0,πϕ∈． 统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同． 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.15．已知函数()4e,0,e ,0.x x x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本题13分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.FED 1C 1B 1A 1DC BA17．（本题13分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为ABC S △，已知c =为已知，求a 与sin C 的值. 条件①：3b =；条件②：2ABC S =△cos B =．注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本题14分）某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有职工对两款APP 是否使用相互独立.（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率、该企业女职工使用A 款APP 的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04﹪、女性占47.96﹪；B 款APP 的用户中男性占38.92﹪、女性占61.08﹪.试分析该企业职工使用A 款APP 的男、女用户占比情况和使用B 款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.19．（本题15分）已知函数()11f x x=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()ln g x f x t x =+，当1t ≤时，求()g x 零点的个数.20．（本题15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且4AB =，椭圆C 离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.21．（本题15分）已知数列n A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （2n ≥）满足：①11a =；②12k ka a +=（1k =，2，⋅⋅⋅，1n -）. 记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）直接写出()3S A 的所有可能值； （Ⅱ）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （Ⅲ）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.通州区2020-2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷参考答案及评分标准2021年1月二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 1- 12. 160- 13.240x y +-=14. ()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈， 15. 24e ,0⎡⎤-⎣⎦ 三．解答题：本大题共6小题，共85分.16．（本题13分）解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点G ，连接FG ，BG . …………………… 1分因为F 是1DC 的中点，所以1FG CC ∥，112FG CC =. 因为E 是1BB 的中点，所以1EB CC ∥，112EB CC =.所以FG EB ∥，FG EB =. 所以四边形FGBE 是平行四边形.所以EF BG ∥.…………………… 5分因为EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . …………………… 6分（Ⅱ）因为底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，所以DA DC ⊥，1DD DA ⊥，1DD DC ⊥. …………………… 7分以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .…………………… 8分 因为1DA =，12DC DD ==，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,2,1E ，()10,2,2C . 所以()1,0,0DA =，()1,2,1DE =，()10,2,2DC =. 设平面EAD 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00 即,.x x y z =⎧⎨++=⎩020 令1y =，则2z =-. 所以()0,1,2n =-. …………………… 11分所以1cos ,DC n ==所以直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值10. …………………… 13分17．（本题13分）解（一）：选择条件①：3b =；条件②：ABC S△. 因为3b =，c =ABC S△， 所以1sin2bc A13sin 2A⨯=所以sin A =. …………………… 4分因为ABC △是锐角三角形， 所以cos A = (7)由余弦定理可得29723a =+-⨯ 所以2a =. （负值舍去） …………………… 10分由正弦定理可得sin sin c AC a⋅=.所以sin C =. …………………… 13分所以2a =，sin C .解（二）：选择条件①：3b =；条件③：cos B =因为cos B =，所以sin B =. …………………… 4分由正弦定理可得sin sin c BC b⋅=.所以sin C . …………………… 8分由余弦定理可得2972a a =+-⋅. 所以2a =. （负值舍去） (13)分所以2a =，sin C .解（三）：选择条件②：ABC S △cos B ．因为cos B =，所以sin B =. (3)因为3b =，ABC S △所以1sin 2ac B =，即12a ⋅. 所以2a =. (7)分由余弦定理可得24722b =+-⨯ 所以3b =. （负值舍去） …………………… 10分由正弦定理可得sin sin c BC b⋅=.所以sin C =. …………………… 13分所以2a =，sin C . 18．（本题14分）（Ⅰ）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205=； 同理，女职工使用A 款APP 的概率约为4011203=. …………………… 3分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2. …………………… 4分所以()22405315P X ==⨯=；()322181535315P X ==⨯+⨯=；()3112535P X ==⨯=. (7)分所以X 的分布列为…………………… 9分X 的数学期望481140121515515EX =⨯+⨯+⨯=. …………………… 11分（Ⅲ）样本中，A 款APP 的男、女用户为7240112+=（人），其中男用户占7264.3112≈﹪；女用户占4035.7112≈﹪. 样本中，B 款APP 的男、女用户为6084144+=（人），其中男用户占6041.7144≈﹪；女用户占8458.3144≈﹪. 所以该企业职工使用B 款APP 的情况与官方发布的男、女用户情况更相符.…………… 14分19．（本题15分） 解：（Ⅰ）因为()11f x x=-，所以21()f x x . 所以()10f =，(1)1f .所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是1yx ，即10x y .…………………… 3分（Ⅱ）因为()()ln g x f x t x =+， 所以()1ln 1g x t x x=+-()0x >. 所以2211()t tx g x x xx . (4)分①当0t ≤时，()0g x ≤. 所以()g x 在()0,+∞上单调递减. 因为(1)0g ，所以()g x 有且仅有一个零点. …………………… 6分 ②当01t 时，令()0g x ，得1xt，令()0g x ，得1xt. 所以()g x 在10,t 上单调递减，在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. …………………… 7分 因为(1)0g ，所以()g x 在10,t上有且仅有一个零点. ……………………8分因为110gg t，11ett，且111e 0et tg ，所以01,x t ，使得0()0g x .所以()g x 在1,t⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. 所以当01t时，()g x 有两个零点. (12)分 ③当1t 时，21()x g x x . 令()0g x ，得1x ，令()0g x ，得1x .所以()g x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以当1x时，()g x 取得最小值，且(1)0g .所以()g x 有且仅有一个零点. …………………… 14分综上所述，当0t ≤或1t时，()g x 有且仅有一个零点；当01t时，()g x 有两个零点. (15)分20．（本题15分）解：（Ⅰ）因为4AB =，椭圆C 离心率为12， 所以22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ 解得24a =，23b =. 所以椭圆C 的方程是22143x y +=. ……………………3分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+， 直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上. …………………… 5分②若直线l 的斜率存在时，如图. 设斜率为k . 所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120k x k x k+-+-=. (6)分显然0∆>. 不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+. …………………… 8分所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162yy x =+. 直线BN 的方程是()2222y y x x =--. 令4x =，得2222yy x =-. (10)分所以12126222y y x x -+-()()1212612122k x k x x x --=-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦2222824402432234k k k k k ⎛⎫--++= ⎪+⎝⎭ 0=. ……………………15分所以点Q 在直线4x =上. 21．（本题15分）解：（Ⅰ）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7. ………………… 3分（Ⅱ）充分性：若0n a >，即12n n a -=.所以满足12n n a -=，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++≥21122212n n ---⋅=-+-1=.所以()0n S A >. …………………… 6分必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-=-<≤，与已知()0n S A >矛盾.所以()0n S A >. …………………… 8分综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()0n S A >可得0n a >. 所以12n n a -=.因为数列1:n A a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （2n ≥）中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列1:n A a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （2n ≥）有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前1n -项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. …………………… 15分。