专题函数常见题型归纳
本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。
考点一 分段函数求值问题
【例1】 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x >0，x ＋1，x ≤0. 若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )
【解析】 由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3 【例2】设f (x )＝⎩⎨⎧ lg x ，x ＞0，
10x
，x ≤0，
则f (f (－2))＝________.
【解析】 f (x )＝
⎩⎨⎧
lg x ，x >0，
10x
，x ≤0，
－2<0，∴f (－2)＝10－2；10－2>0，
∴f (10－2
)＝lg10－2
＝－2.
【解题技巧点睛】求f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.
考点二 函数性质的基本应用
【例3】下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 【答案】B
【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2
＋1是偶函数，但在()0，＋∞上
是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故
选B.
【例4】若函数f (x )＝
x 2x ＋1
x －a
为奇函数，则a ＝( )
【解析】 法一：由已知得f (x )＝x
2x ＋1x －a 定义域关于原点对称，由
于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠－
1
2且x ≠a ，知a ＝1
2，故选A.
法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x
2x 2
＋
1－2a x －a
，
则
－x 2x 2
－1－2a
x －a ＝
－x
2x 2
＋1－2a x －a
,因函数的定义域内恒成立，可得
(12)12,120,a a a --=-∴-=a ＝1
2
.
【例5】函数1
1y x
=-的图像与函数2sin y x π=（24x -≤≤）的图像所有交点的
横坐标之和等于( )． A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.
考点三 基本函数的性质与图像
【例6】已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15
,5
,,5a b c ⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
则( )．
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >> 【答案】C
【解析】根据对数函数的运算性质可知：3
2210log log 3.4
log 3.6
3
5,5
,5
,a b c ===再由指
数函数
()5x f x =为单调递增函数，因为22log 3.6log 41<=．22log 3.4log 21>=，
3
310log log 313>=，且3221010
log log log 3.433
<<，所以a c b >>． 【例7】 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨
⎧
a ，a －
b ≤1，b ，a －b >1.
设函数f (x )
＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
【解析】本题考查二次函数的性质和图像。 f (x )
＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2，x 2
－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2
>1＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2，－1≤x ≤3
2，x －x 2
，x <－1，或x >32，
则f ()x 的图象如图：
∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点， 由图象知c ≤－2，或－1 . 考点四 函数图像的应用 【例8】 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )
