高中物理：运动学专题（自招）
一．知识点
1．参考系的转换
2．图像法处理问题
3．数学建模（数列、极限、微元、积分、小量分析）
4．牵连运动
二．典例解析
1．参考系的转换
【例1】从离地面同一高度h，相距L的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直向上抛，另一个石块以速度v2正对着前一个石块同时水平抛出，求这两个石块在运动过程中它们之间的最短距离。
2．图像问题
【例2】（2007复旦）一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，当速度为v时将加速度反向，大小恒定。为使该物体在相同的时间内回到原处发点，则反向后的加速度应为多大？回到原出发点时的速度多大？
【例3】如图所示，AC为光滑竖直杆，ABC为构成直角的光滑L形轨道，B
处有一小圆弧连接可使小球顺利转弯，并且A、B、C三点正好是圆上三点，而AC正好是该圆的直径，如果套在杆上的小球自A点静止释放（图中小球未画出），分别沿AB、BC轨道和AC直轨道运动到C点，如果沿ABBC轨道运动的时间t1是沿AC直轨道运动所用时间t2的1.5倍，求AC与AB夹角α的值
3．建模问题（数列与极限，微元与积分，小量分析法）
【例4】线段AB长s，均分成n等分，一质点从A点由静止出发以加速度a向B点做分段匀
加速直线运动，当质点到达每一等分点的末端时，它的加速度便增加a
n
，求质点运动到B点
时的速度。如果质点的加速度随位移是连续变化的，加速度和位移的关系满足
x ax
a a
s
=+，其中a x为物体从A点出发经过x位移时的加速度，则质点到达B点时的速度为多大？
【例5】（2005同济）老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度为v1，试求：
（1）老鼠行进到离洞穴距离为d2的乙处时速度有多大？
（2）从甲处到乙处要用去多少时间？
【例6】一只蜗牛从地面开始沿竖直电线杆上爬，它上爬的速度v与它离地面的高度h之间满
足的关系是0
lv v l h
=+。其中常数l =20cm ，v 0=2cm/s 。求它上爬20cm 所用的时间。
【例7】已知一质点做变加速运动，初速度为v 0，其加速度随位移线性减小的关系及加速过程中加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a 0-ks ，式中a 为任意位置处的加速度，求当位移为s 是瞬时速度
【例8】如图所示，竖直平面上有一条光滑的四分之一圆弧轨道AB ，它的圆心O 与A 点等高，A 到B 又有一条光滑的直线轨道．小球从A 点自静止出发沿圆弧轨道AB
到达B 点所需时间记为t 圆，沿直线轨道到B 点所需时间记为t 直，试比
较t 圆与t 直哪一个小?
4．牵连运动问题
【例9】距离河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以1r/min 的转速水平转动．若河岸看成直线，当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速率为
A ．52.3m/s
B ．69.8m/s
C ．666.7m/s
D ．4 180m/s
A
B
O
【例10】（2011华约）如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的小环M运动。运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将
A、逐渐增大
B、先减小后增大
C、先增加后减小
D、逐渐减小
【例11】在图所示平面里，两直线AB 和CD 以相同的角速度ω分别绕固定点A 和C 作同方向匀速转动，A 、C 两点相距为d ，当转至图示位置时，A 、C 两点与两线交点P 构成一底角为θ的等腰三角形，求P 点在任意时刻的速度和加速度
【例12】如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h ，轨道上有两个物体A 和B ，它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物体A 在下面的轨道上以匀速率v 运动，在轨道间的绳子与轨道成30o 角的瞬间，绳子BO 段中点处有一与绳相对静止的小水滴P 与绳子分离，设绳长BO 远大直径，求： （l ）小水滴P 脱离绳子时速度的大小和方向； （2）小水滴P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间
【例13】一只狼沿半径为 R 的圆形边缘按道时针方向匀速跑动，如图所示，当狼经过A 点时，
一直线上，问猎犬沿什么轨道运动？在何处追上？
图1-18
A
【例14】A、B、C三个芭蕾演员同时从边长为L的正三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A，试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
1【答案】1
min 22
12
v s l
v v =+ 或 22min 2
122()h h s l v v g g
=++ 2【答案】反向加速度为-3a ，大小为3a ，回到出发点的速度为-2v ，大小为2v 。
3【答案】53°（利用等时圆模型）
4【答案】1
(3)B v as n
=-
1
lim (3)3B n v as as n
→∞=-=
5【答案】(1) 1212
d
v v d =
(2) 22
2111
2d d t d v -=
6【解析】因蜗牛运动的时间是由每一小段时间累加而成。即
，故可作出
图象。利用图象面积可得时间t 。由
，得
，故
图象为一
条直线，如图8
所示。图中阴影部分面积即为所求的时间，即
。
代入数据得t=15s 。
7【解析】方法一：（分离变量法） 方法二：（由简谐运动解析——求导法） 方法二：（图像法——a-s 图）
【答案】2
20
02v v a s ks =+- 8【答案】t 圆 < t 直 (小量分析法) 9【答案】B 10【答案】A
11【答案】sin 2p d v ω
θ
= 2
2sin 2p d a ωθ=
12【答案】
（1）p v 与BO 的夹角313arctan
,;612
p v v α== B
O
B ′
θ
∆θ
2θ 2∆θ
v 弧2sin 2gR θ∆t 12sin 22sin 2R
g gR θθ
θ
∆;
v 直22tan g R θ∆t 222cos cos sin 2cos 22tan R
R g g R θ
θθθθθ
θ
∆∆。 θ
