2016年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合{}
0342<+-=x x x A ，{}
032>-=x x B ，则=B A
（A ）（3-，23-
） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（2
3
-，3）
（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a
（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97
（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站
的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31
（B ）
21 （C ）32 （D ）4
3 （5） 已知方程1322
2
2=--+n
m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）
（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
径．若该几何体的体积是
3
28π
，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
（7） 函数x
e x y -=2
2在[]22，
-的图象大致为
（A ） （B ） （C ） （D ）
（8） 若1>>b a ，10<<c ，则
（A ）c c b a < （B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <
（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输
出y x ,的值满足
（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）y （10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 点．已知24=AB ，52=DE ，则C （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平
面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为
（A ）
23 （B ）22 （C ）33 （D ）3
1
（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤
>，4π-=x 为)(x f 的零点，4
π
=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)36
5,18(
π
π单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。
第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13） 设向量)1,(m a =，)2,1(=b ，且2
22
b a b a +=+，则=m ．
（14） 5)2(x x +
的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）
（15） 设等比数列{}n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a ⋯21的最大值为 ． （16） 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件A 需要甲材料1.5kg,乙材料
1kg ，用5个工时；生产一件B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件A 产品的利
润为2100元，生产一件B 产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12分）
ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2.
（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=c ，ABC △的面积为
2
3
3.求ABC △的周长.
（18） （本小题满分12分）
如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，︒=∠90AFD ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60°. （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值.
（19） （本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X 表示2台机器三年内
共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）若要求5.0≥≤）（n X P ，确定n 的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？
（20） （本小题满分12分）
设圆01522
2
=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
（21） （本小题满分12分）
已知函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x
有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x .
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，OAB △是等腰三角形，︒=∠120AOB .以O 为圆心，OA 2
1
为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）点D C ,在⊙O 上，且D C B A ,,,四点共圆，证明：
CD AB ∥.
（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧+==,
sin 1,
cos t a y t a x (t 为参数，0>a ).在以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρcos 4=.
（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在
3C 上，求a .
（24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数321)(--+=x x x f .
（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集.
2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析
一、选择题 【答案】
（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B （11）A （12）B 【解析】
（1）{}{
}
310342<<=<+-=x x x x x A ，{}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>
=>-=23032x x x x B ，∴ ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<=323x x B A ．
（2）∵yi x i +=+1)1(即yi xi x +=+1∴⎩⎨
⎧==y x x 1，解得：⎩⎨⎧==1
1y x ，∴22
2=+=+y x yi x ． （3）∵2792292)(955919==⨯=+=
a a a a S ∴35=a ，∵810=a ∴15
105
10=--=a a d ，∴989010100=+=d a a ．
（4）如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟， 根据几何概型，所求概率2
1
401010=+=
p ． （5）1322
2
2=--+n
m y n m x 表示双曲线，则0)3)((22>-+n m n m ，∴223m n m <<-， ∵⎩⎨
⎧=-++==2
2224)3()(4
2m
n m n m c c 解得12
=m ，∴31<<-n ．
（6）原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积是7/8的球面面积和三个扇形面积之和，
8:208:107:507:408:308:007:30
∴πππ1724
1
3248722=⨯⨯+⨯⨯=
S （7）08.288)2(2
2
>->-=e f ，排除A ； 17.288)2(2
2
<-<-=e f ，排除B ；
0>x 时，x e x x f -=22)( ，x e x x f -='4)(，当)41,0(∈x 时，044
1
)(0=-⨯<'e x f ∴
)(x f 在)4
1
,0(单调递减，排除C ；
故选D
（8）对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c
a b a b >>⇔>，A 错误；
对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减， ∴1
11c c c c a b a
b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误
对C ：要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b
和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln c
a a ，只需ln
b b 和ln a a 构造函数
()()
ln 1f x x x x =>，则
()'ln 110
f x x =+>>，()
f x 在
()1,+∞上单调递增，因此
()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b
>>⇔>>⇔
<
又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c
b c a c a a b b
<⇔<，C 正确
对D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln c
b
而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故11
1ln ln 0ln ln a b a b a b
>>⇔>>⇔<
又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c
c c a b >⇔>，D 错误
故选C ．
【2°用特殊值法，令21
,2,3===c b a 得212123>，排除A ；21
213223⨯>⨯，排除B ；
2log 221log 332
<，C 正确；2
1
log 21log 23>，排除D ；∴选C 】 （9）如下表：
输出2
3
=
x ，6y =，满足4y x =，故选C ． （10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为22y px =()
0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：
设(
)0,22
A x ，,
52
p D ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， 点
(
)0,22
A x 在抛物线2
2y
px =上，∴082px =……①
点,52p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上，∴2
2
52p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②
点
(
)0,22
A x 在圆2
22x
y r +=上，∴2
208x r +=……③
联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．
2°【如图，设抛物线方程为2
2y px =，圆的半径为r ,
,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐
标为22，则A 点横坐标为4p ，即4
OC p
=，由勾股定
理知2222DF OF DO r +==，2222
AC OC AO r +==，
即222
24(5)()(22)()2p p
+=+，解得4p =，即C 的
焦点到准线的距离为4】
（11）如图所示：
∵11CB D α∥平面，∴若设平面11
CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥
又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =
∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥
故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．
F
α
A
A 1
B
1
D
C
1
D 1
而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113
CD B π
∠=
，即11sin CD B ∠．
（12）由题意知：
12
π
+π 4ππ+π+
42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z
()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪
⎝⎭
单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤
接下来用排除法 若
π
11,4ωϕ==-
，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭
递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫
⎪⎝⎭
单调；
若
π
9,4ωϕ==
，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减
二、填空题 【答案】
（13）-2 （14）10 （15）64 （16）216 000 【解析】
（13） 由已知得)3,1(+=+m b a ,∴2
222222222113)1(+++=++⇔+=+m m b a b a ，解
得2-=m ．
2°222b a b a +=+得b a
⊥，∴0211=⨯+⨯m ，解得2-=m ．
（14）
5(2x
的展开式的通项为5552
5
5
C (2)
2
C r r r
r r
r x x
-
--=(0r =，1，2，…，5)，令532
r
-
=得4r =，所以3x 的系数是4
52C 10=．
（15） 设等比数列{}n a 的公比为)0(≠q q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=+⇔=+=+510510
3
112114231q a q a q a a a a a a ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧==2181q a ，故4
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=n n a ，∴⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⋯+-+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⋯4492721)7(2
1
4)2()3(212
212121n n n n n a a a ）
（∴当
43或=n 时，n a a a ⋯21取得最大值6426=．
（16） 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造
线性规则约束为 **1.50.5150
0.3905360000x y x y x y x y x N y N ⎧+⎪
+⎪⎪+⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥
目标函数2100900z x y =+
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)
在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=
三、解答题 （17）解：
（I ）由已知及正弦定理的，
C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+，
即C B A C sin )sin(cos 2=+， 故C C C sin cos sin 2=， 可得21cos =
C ，∴3
π=C ． （II ）由已知，
2
33sin 21=C ab ， 又3
π
=
C ，∴6=ab ，
由已知及余弦定理得，7cos 222=-+C ab b a ， 故1322=+b a ，从而25)(2
=+b a ， ∴ABC △的周长为75+
（18）解：
（I ）由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，∴AF ⊥平面EFDC ．
又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ． （II ）过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(Ⅰ)知DG ⊥平面ABEF ，
以G 为坐标原点，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，|GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz ．
由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角D −AF −E 的平面角，故∠DFE =60°，
则|DF |=2，|DG |=√3，可得A(1,4,0)，B(−3,4,0)，E(−3,0,0)，D(0,0,√3)， 由已知，AB ∥EF ，∴AB ∥平面EFDC ，
又平面ABCD ⋂平面EFDC =CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ，
由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，∴∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF =60°，从而可得C (-2,0,√3),
∴EC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,0)， 设n =(x,y,z)是平面BCE 的法向量，则{n ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +√3z =04y =0 ,∴可取n =(3,0,−√3)，
设m 是平面ABCD 的法向量，则{m ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，同理可取m =(0,√3,4)，
则cos 〈n ，m 〉=n⋅m
|n |⋅|m |=−
2√19
19
，故二面角E -BC -A 的余弦值为−
2√19
19
. （19）解：
（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率
分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而 P (X=16)=0.2×0.2=0.04， P (X =17)=2×0.2×0.4=0.16，
P (X =18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24， P (X =19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24， P (X =20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2， P (X =21)=2×0.2×0.2=0.08， P (X =22)= 0.2×0.2=0.04， 所以X 的分布列为
（II ）由(Ⅰ)知P (X ≤
18)=0.44，P (X ≤19)=0.68，故n 的最小值为19．
（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），
当n =19时，EY =19×200×0.68+(19×200+500) ×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3×500) ×0.04=4040．
当n =20时，EY =20×200×0.88+(20×200+500) ×0.08+(20×200+2×500) ×0.04=4080． 可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20时所需费用的期望值，故应选n=19．
（20）解：
（I ）∵|AD |=|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD =∠ACD =∠ADC ．
∴|EB |=|ED |，故|EA |+|EB |=|EA |+|ED |．
又圆A 的标准方程为16)1(2
2
=++y x ,从而|AD |=4，∴|EA |+|EB |=4．
由题设得A (-1,0)，B (1,0)，|AB |=2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：）（0 13
42
2≠=+y y x ．
（II ） 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为）
（0 )1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N ． 由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=134)
1(2
2y x x k y ，得01248)34(2222=-+-+k x k x k ． 则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x ；∴3
4)1(12122212
++=-+=k k x x k MN ．
过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：)1(1
--
=x k y ，A 到m 的距离为
1
22+k ， ∴13
44)1
2
(42222
22
++=+-=k k k PQ ． 故四边形MPNQ 的面积3
41
112 212++==
k PQ MP S ． 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38 12(，
． 当l 与x 轴垂直时，其方程为8,3,1===PQ MN x ，四边形MPNQ 的面积为12．
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为），38 12[
（21）解：
（I ）)2)(1()1(2)1()(a e x x a e x x f x
x
+-=-+-='．
（i ） 设0=a ，则x
e x x
f )2()(-=，)(x f 只有一个零点．
（ii ）设0>a ，则当)1(，-∞∈x 时，0)(<'x f ；当)1(∞+∈，x 时，0)(>'x f ．
∴)(x f 在)1(，-∞单调递减，在)1(∞+，单调递增． 又a f e f =-=)2()1(，，取b 满足0<b 且2
ln
a
b <，则
0)2
3
()1()2(2)(22>-=-+->
b b a b a b a b f ， 故)(x f 存在两个零点．
（iii ）设0<a ，由0)(='x f 得1=x 或)2ln(a x -=．
若2
e
a -
≥，则1)2ln(≤-a ，故当)1(∞+∈，x 时，0)(>'x f ，因此)(x f 在)1(∞+，单调递增．又当1≤x 时，0)(<x f ，∴)(x f 不存在两个零点； 若2
e
a -
<，则1)2ln(>-a ，故当))2ln(1(a x -∈，时，0)(<'x f ；当))2(ln(∞+-∈，a x 时，0)(>'x f ．因此)(x f 在))2ln(1(a -，单调递减，在))2(ln(∞+-，a 单调递增．又当1≤x 时，0)(<x f ，∴)(x f 不存在两点零点． 综上，a 的取值范围为)0(∞+，．
（II ） 不妨设21x x <，由(Ⅰ)知，)1(1，-∞∈x ，)1(2∞+∈，x ，)1(22，-∞∈-x ，)(x f 在)
1(，-∞单调递减，∴)2()(22121x f x f x x ->⇔<+，即0)2(2<-x f ． ∵22222)1()2(2
-+-=--x a e x x f x ，而0)1()2()(22222=-+-=x a e x x f x ， ∴22
)2()2(2222x x e x e x x f -+-=--．
设x x
e x xe
x g )2()(2--+-=-，则)( )1()(2x x e e x x g --='-．
∴当1>x 时，0)(<'x g ，而0)1(=g ，故当1>x 时0)(<x g ． 从而0)2()(22<-=x f x g ，故221<+x x ．
（22）解：
（I ）设E 是AB 的中点，连结OE ．
∵OA =OB ，∠AOB =120°，∴OE ⊥AB ，∠AOE =60°． 在Rt △AOE 中，OE =1
2AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，∴AB 与⊙O 相切．
（II ） ∵OA =2OD ，∴O 不是A ,B ,C ,D 四点所在圆的圆心．设
O '是A,B,C,D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′．
由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，∴OO ′⊥AB ． 同理可证，OO ′⊥CD ．∴AB ∥CD ．
E
O'
D
C
O B
A
（23）解：
（I ）消去参数t 得到1C 的普通方程2
2
2
)1(a y x =-+．1C 是以（0,1）为圆心，a 为半径的圆．
将θρθρsin cos ==y x ，代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为
01sin 222=-+-a θρρ．
（II ） 曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩
⎨⎧==-+-θρθρρcos 40
1sin 222a ，
若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos 162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去）
，1=a ． 1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上．
∴1=a ．
（24）解：
（I ）⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
>+-≤<---≤-=234231 231 4)(x x x x x x x f ，，，，)(x f y =的图像如图所示．
（II ） 由)(x f 得表达式及图像，当
1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ；
当1)(-=x f 时，可得3
1
=
x 或5=x ；
故1)(>x f 的解集为{}
31<<x x ；
1)(-<x f 的解集为
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧><531x x x 或丨． ∴1)(>x f 的解集为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧><<<53131x x x x 或或丨．。
