乘法公式的综合应用

乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。

先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。

摊主正在算着成本和利润。

他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。

那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。

这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。

还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。

比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。

如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。

乘法公式在代数运算中更是大显身手。

比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。

先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。

是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。

这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。

乘法公式在几何图形中也有出色的表现。

比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。

20242024用乘法公式乘法公式是数学中非常重要的一个概念，它给出了将两个数相乘的方法。

在这篇文章中，我们将详细介绍乘法公式以及它的应用。

文章将包含以下内容：1.乘法公式的定义2.乘法运算的基本原理3.乘法公式的应用举例4.乘法公式的扩展及推广一、乘法公式的定义乘法公式是数学中一种用来表示两个数相乘的方法，它是一种简单而直观的推理，我们可以利用它来完成复杂的乘法运算。

乘法公式通常使用乘号"×"表示，表示两个数的乘积。

二、乘法运算的基本原理在乘法运算中，我们常常使用乘法表来进行计算。

乘法表是一种由数字1到10组成的表格，可以用来帮助我们进行乘法运算。

在乘法表中，每一行表示被乘数，每一列表示乘数，交叉点处的数值表示乘积。

乘法运算的基本原理是将被乘数分解成若干个部分，然后分别与乘数相乘，最后将这些部分的乘积相加得到最终的乘积。

这一原理可以通过以下公式表示：被乘数×乘数=乘积三、乘法公式的应用举例乘法公式在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们通过几个具体的例子来说明乘法公式的应用：1.计算面积和体积：乘法公式可以用来计算各种图形的面积和立体形状的体积。

以矩形为例，矩形的面积可以通过将长和宽相乘得到。

面积=长×宽类似地，计算长方体的体积也可以使用乘法公式。

体积=长×宽×高2.财务计算：乘法公式在财务计算中也经常使用。

例如，计算折扣后的价格，可以通过将原价格与折扣率相乘得到。

折扣后价格=原价格×折扣率同样地，计算税后价格也可以使用乘法公式。

税后价格=原价格×(1+税率)3.概率计算：乘法公式在概率计算中也经常使用。

例如，计算两次独立事件发生的概率，可以将每个事件发生的概率分别相乘得到。

综合概率=第一次事件发生的概率×第二次事件发生的概率四、乘法公式的扩展及推广乘法公式不仅适用于两个数相乘的情况，还可以通过推广应用于更多的数。

人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时，是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式的基础上进行教学的。

本课时主要让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，对公式有一定的理解，但在运用公式解决实际问题时，往往会因为对公式的理解不够深入而出现错误。

此外，学生的逻辑思维能力和创新思维能力还有待提高，因此，在教学中，需要引导学生深入理解乘法公式的结构特征，培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生独立解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性，培养学生的团队协作精神和积极进取的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。

2.教学难点：如何引导学生深入理解乘法公式的结构特征，如何培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.自主学习法：引导学生独立思考，自主探究，提高学生的独立解决问题的能力。

2.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的团队协作精神。

3.启发式教学法：教师通过提问、设疑，引导学生深入思考，激发学生的创新思维。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要对乘法公式有深入的了解，以便在教学中引导学生深入理解乘法公式的结构特征。

2.学生准备：学生需要预习平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，以便在课堂上更好地理解和运用。

人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时，是在学生掌握了平方差公式和完全平方公式的基础上进行学习的。

本课时主要让学生了解和掌握乘法公式的综合应用，进一步培养学生的运算能力和解决问题的能力。

教材通过具体的例题和练习，引导学生运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题，从而提高学生对乘法公式的理解和运用。

二. 学情分析学生在学习本课时，已经具备了一定的代数基础，对平方差公式和完全平方公式有一定的了解。

但是，对于如何灵活运用这些公式解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，针对不同程度的学生给予适当的引导和帮助，使他们在原有基础上得到提高。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的综合应用，能够灵活运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。

2.过程与方法：通过例题和练习，培养学生运用乘法公式进行运算的能力，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：乘法公式的综合应用。

2.难点：如何灵活运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生掌握乘法公式的运用。

2.实例分析法：教师通过具体的例题，讲解乘法公式的运用，使学生能够更好地理解并掌握。

3.练习法：学生通过大量的练习，巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有例题和练习的教学PPT，以便于展示和讲解。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学素材：收集一些生活中的实际问题，用于引导学生运用乘法公式解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾平方差公式和完全平方公式，为新课的学习做好铺垫。

知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。

最经典的乘法公式综合应用与拓展分析乘法公式是数学中常用的公式之一，它们在各个数学领域中都有广泛的应用。

本文将从学生和教师两个角度综合分析乘法公式的最经典的应用与拓展。

首先，对于学生而言，乘法公式是他们掌握数学知识的基础。

学生在学习数学的过程中，会接触到很多与乘法相关的知识，如乘法口诀、乘法逆元等。

通过乘法公式的学习，学生可以更好地理解和应用乘法的原理和方法。

比如，在解决乘法运算中的复杂问题时，学生可以灵活运用乘法公式，提高解题的效率和准确性。

其次，对于教师而言，乘法公式是他们教学的重要工具。

教师在教授数学知识时，可以通过乘法公式来引导学生掌握乘法的基本操作和运算规则。

此外，乘法公式还可以作为教师讲解和解决数学问题的案例，帮助学生从实践中理解乘法的原理和应用。

例如，在教授高中数学中的二次方程时，教师可以通过乘法公式来引导学生求解方程的根，帮助学生加深对乘法公式的理解和运用。

乘法公式还有很多拓展应用，以下是一些经典的拓展案例：1.方阵乘法：方阵乘法是线性代数中的常用运算，通过乘法公式可以方便地计算两个方阵的乘积。

在实际应用中，方阵乘法广泛用于图像处理、数据压缩等领域。

2.应用于几何图形：通过乘法公式可以计算图形的面积和周长。

例如，计算矩形的面积可以使用乘法公式的形式：面积=长度x宽度。

3.二项式展开：二项式展开是代数中常用的运算，通过乘法公式可以方便地展开一个二项式。

在高中数学中，二项式展开广泛应用于排列组合、概率等问题的求解中。

4.概率与统计：乘法公式在概率和统计中有广泛的应用。

例如，计算多事件的概率时，可以使用乘法公式计算独立事件的联合概率。

此外，在统计学中，乘法公式也被用于计算随机变量的期望和方差等。

总而言之，乘法公式作为数学中的重要工具，在学生和教师的学习和教学中都起到了至关重要的作用。

通过乘法公式的学习和应用，学生可以提高解题的效率和准确性，教师可以引导学生更好地掌握乘法的原理和应用。

此外，乘法公式还有许多拓展应用，可以在其他数学领域中发挥重要作用。

S3



∵ S1＋ S2＝ a2＋ b2－ ab ＝28，

∴ S3＝ ×28＝14.

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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式进行简便运算
2. 利用乘法公式进行简便运算.
(1)1 007×993＋49；
解：原式＝(1 000＋7)(1 000－7)＋49＝1 0002－49＋49＝106.
(2)2 0232－2 024×6＋15.
解：原式＝(2 024－1)2－2 024×6＋15＝2 0242－2 024×8＋16＝(2 024
2×4]2－2×42＝257.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式对数式的关系进行探究
6. [发现] 两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
[验证]如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整
第十四章
整式的乘法与因式分解
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
乘法公式的应用
1. 计算：
(1)( x2＋1)2－4 x2；
解：原式＝ x4＋2 x2＋1－4 x2＝ x4－2 x2＋1.
(2)[( a ＋2 b )(2 b － a )]2.
解：原式＝(4 b2－ a2)2＝16 b4－8 a2 b2＋ a4.

乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。

一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。

例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。

例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。

例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。

例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。

例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。

例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。

例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。

例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。

例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。

（2）撰写研究报告，分享研究成果。
（3）在课堂上进行汇报，其他小组进行评价、提问。
作业布置注意事项：
1.作业量适中，难度适中，确保学生能在课后有效巩固所学知识。
2.鼓励学生在完成作业时积极思考，遇到问题主动寻求帮助。
3.教师在批改作业时，要及时给予反馈，关注学生的进步和问题所在，为后续教学提供依据。
3.拓展题：鼓励学有余力的学生参加拓展题的挑战，培养其逻辑思维能力和创新精神。
例如：
（1）已知一个数的平方比这个数大10，求这个数。
（2）已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体对角线的长度。
4.小组作业：分组进行课题研究，探讨乘法公式在其他学科领域的应用，例如物理学、几何学等。
要求：
（1）每组选取一个主题，进行深入研究。
4.对于完成作Leabharlann 有困难的学生，教师要给予个别辅导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
（3）教师强调本节课的重难点，提醒学生加强课后练习。
（4）布置课后作业，要求学生在作业中运用乘法公式解决问题，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对乘法公式综合应用的理解和掌握，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本相关练习题，要求学生在规定时间内独立完成，旨在巩固平方差公式、完全平方公式的运用。
例如：
（3）学生互评，交流解题心得。
（4）教师针对学生的练习情况进行点评，强调解题方法和技巧。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
对本节课所学内容进行总结，帮助学生巩固知识点，形成体系。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的平方差公式、完全平方公式及其应用。
（2）学生总结自己在乘法公式综合应用方面的收获和不足。

2
2



（４） a 3b a 3b （５）
2
x 2 y 3 x 2 y 3
使用公式进行运算时要注意：
１、两个多项式相乘，只要两项一样,一项符号 相同，另一项符号相反，就可以用平方差公式。 ２、用平方差公式计算，直接用相同项的平方减 去相反项的平方。 ３、用完全平方公式时，应注意“首平方，尾平 方，首尾乘积两倍在中央”，最后运算结果有三 项。 ４、公式中ａ，ｂ可代表多项式，要能够把一些 项结合起来看作一项进行运算。如（５）
２、会用公式简化一些数的运算。 ３、学会了灵活运用公式求一些 式子的值。
１、已知
x 3x 1 0, 求
2
1 x 2 x
2
的值。
2
２、若 a b
2, a c 1,
试求
2a b c .
３、已知两个两位数的平方差为220，且它们的十 位数字相同，一个数的个位是6，另一个数的个位 是4，求这两个数。
2
2
x 2 xy y _______ 6xz 6 yz 9z
2 2
2
２、计算：
（１）
4a 2b 2b 4a
1 1 （２） a b a b a 2 b 2 2 2
（３）


3x 5 y
2
2
（４） 2a 3b c
１、填空：
2a 3 2a 3 4a 2 9 _____
2
2 2
5x 2 5x 2 ________ 25 x 4
2
x y 3z
2 y x x 2 y _____ x 4y 2 3x 4 y 9x 24xy 16 y _____

2、若x -y =6，x+y=-3，则4（x-y ）=______3、若9x +4y =(3x +2y )+M ，则M =______.4、+2a=+2b （）25、.8.、已知，求和ab 的值专题：因式分解1、十字相乘法分解因式：(1)x 2+3x +2(2)x 2−3x +2(3)x 2+2x −3(4)x 2−2x −3(5)x 2+5x +6(6)x 2−5x −6(7)x 2+x −6(8)x 2−x −6(9)x 2−5x −36(10)x 2+3x −182、分解因式：(1)2a +2a 2+4a 3(2)5x 3y −5xy (3)a 2+b 2+2ab −16(4)4x 3−8x 2+4x(5)(x +y )2−2x −2y +1(6)(m 2−2m )2n +2n (m 2−2m )+n(7)(x 2+y 2−1)2−4x 2y 2(8)a (2a −b )+2a (b −2a )2−a (b −2a )3.3、已知有理数a ,b 满足a (a +1)−(a 2+2b )=1,求a 2−4ab +4b 2−2a +4b 的值。

4、已知x 2−y 2=20,求[(x −y )2+4xy ][(x +y )2−4xy ]的值。

5、已知：a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且2a 2+2b 2+2c 2=2ab +2ac +2bc ，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论。

运用平方差公式计算。

①(3a+b)(3a−b)②9(−x+2y)(−x−2y)③(12a−b)(−12a−b)④59.8×60.2⑤(2x−3y)(3y+2x)−(4y−3x)(3x+4y)运用完全平方公式计算①(−xy+5)2②(−x−y)2.先化简，再求值：（ x ＋2 y ）（ x －2 y ）－（2 x － y ）·（－2 x － y ），其中 x ＝8， y ＝－8．已知x+1x=3,求①x 2+1x2;②x4+1x4.：对任意正整数n，求证：(3n+1)(3n−1)−(3−n)(3+n)的值是10的倍数。

乘法公式的综合应用乘法公式是数学中常见的一个工具，它可以在各种实际问题中得到广泛的应用。

本文将介绍乘法公式的几个重要应用，包括比例关系、面积和体积计算、概率问题等。

第一部分：比例关系的应用乘法公式在比例关系的建立和求解中起着关键作用。

比例关系是两个或多个量之间的等比关系，常用形式为a:b=c:d。

乘法公式可以用来求解未知量或进行比较。

例子1：若一辆汽车每小时行驶60公里，则2小时行驶的里程是多少？解：根据题意可知，汽车的行驶速度为60公里/小时，行驶时间为2小时。

我们可以用乘法公式来求解问题。

令行驶里程为x公里，则60公里/小时乘以2小时等于x公里，即60*2=x。

通过计算可得，x=120公里。

例子2：一桶水中液位每分钟下降0.5厘米，若桶里的水先后下降了10厘米和15厘米，则这两段时间的时间差是多少？解：设时间差为t分钟，根据题意可得水面下降的速度为0.5厘米/分钟。

利用乘法公式，可以得到0.5厘米/分钟乘以t分钟等于水位下降的总高度，即0.5t=25、通过计算可得，t=50分钟。

第二部分：面积和体积的计算乘法公式在计算面积和体积时也起到重要的作用。

对于不规则图形和立体图形，乘法公式可以通过将各个边长或高度相乘得到最终的结果。

例子3：一个长方形花坛的长为5米，宽为3米，求其面积是多少？解：面积可以通过将长和宽相乘得到，即5米*3米=15平方米。

因此，该花坛的面积为15平方米。

例子4：一个正方体的边长为2厘米，求其体积是多少？解：体积可以通过将边长相乘三次得到，即2厘米*2厘米*2厘米=8立方厘米。

因此，该正方体的体积为8立方厘米。

第三部分：概率问题乘法公式在概率问题中也发挥着重要的作用。

通过乘法公式，可以计算得到事件发生的概率。

例子5：有一个有15个白色球和10个红色球的箱子，从箱子中随机抽取两个球，不放回。

求抽出两个白色球的概率。

解：首先计算抽出第一个白色球的概率，为15/25；然后计算抽出第二个白色球的概率，为14/24、通过乘法公式，可以得到两个白色球同时被抽出的概率为(15/25)*(14/24)=7/20。

知识总结典型例题1已知2若3当4已知知识总结典型例题5若6若7若8填空：9已知10请回答下列各题：1112若13如果我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．14已知15已知16已知实数17已知18当19已知20关于多项式21当22已知23阅读材料：把形如。

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。

2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。

例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。

2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。

x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。

学习乘法公式的十个层次乘法公式是初中数学中极其重要的公式，应用十分广泛．解题时，若能根据题目特点灵活运用，则能达到迅速解题的目的．下面谈谈学习乘法公式的十个层次．一、对号入座，直接套用公式分清题中哪些数或式可以看作公式中的a、b，对号入座，直接套用公式．例1 计算：(－85＋13x2)(－85－13x2)．分析两个因式中的－85完全相同，而13x2与－13x2互为相反数，因而可运用平方差公式计算．解原式＝（－85）2－（13x2）2＝7225－169 x2．二、连续运用乘法公式例2 化简：(a－1)(1＋a)(1＋a2)(－1－a4)．分析观察式子的结构特征，若将（－1－a4）变为－(1＋a4)，可连续运用平方差公式．解原式＝－（a2－1）(a2＋1)（a4＋1）＝－（a4－1）（a4＋1）＝－（a8－1）＝1－a8．三、符号变形后连续运用乘法公式例3 化简：(a－2)(－2－a)(4＋a2) (16＋a4)．分析观察式子的结构特征，发现将（－2－a）变为－（a＋2）后，连续运用平方差公式既简单又快捷．解原式＝－(a＋2)(a－2)(a2＋4) (a4＋16)＝－（a2－4)(a2＋4)(a4＋16)＝－（a4＋16）（a4－16）＝256－a8．四、拆项变形后运用乘法公式例4 化简：（7x－5y＋3）（－7x－5y－9）．分析若将本题两个因式中的项分别进行拆项变形：前一因式的“3”拆成“－3＋6”，后一因式的“－9”拆成“－3－6”，再通过合理分组，即符合平方差公式的特征，从而巧用公式，简捷求解．解原式＝(7x－5y－3＋6)(－7x－5y－3－6)＝[(－5y－3)＋(7x＋6)][(－5y－3)－（7x＋6）]＝（－5y－3）2－（7x＋6）2＝25 y2－49x2＋30y－84x－27．五、添项变形运用乘法公式在不改变原式值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．例5 计算：[3(22＋1](24＋1)(28＋1)－216]2018．分析将“3”写成(22－1)，如此变形后即可连续运用平方差公式．解原式＝[(22－1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)－216 ) 2018＝[(24－1)(24＋1) (28＋1)－216] 2018＝[(28－1) (28＋1)－216]2018＝[ (216－1)－216]2018＝(－1)2018＝1．六、分组结合后逆用乘法公式例6 计算：20202－20192＋20182－20172＋…＋10002－9992＋…＋1002－992＋982－972＋…＋22－12．七、变形后逆用乘法公式例7 求满足方程5x2－12xy＋10y2－6x－4y＋13＝0的x、y的值．分析观察到，通过配方并逆用完全平方公式将方程左边化成三个完全平方式和的形式，再利用非负数的性质即可．解通过拆项、配方原方程可化为(4x2－12xy＋9y2)＋(x2－6x＋9)＋(y2－4y＋4)＝0，即(2x －3y)2＋(x－3)2＋(y－2)2＝0．八、正逆联用乘法公式根据题设条件和待求式的结构特征，乘法公式既可顺用，又可逆用．例8 已知14（b －c ）2＝(a －b)(c －a)，且a ≠c ，求b c a+的值． 分析 欲求b c a +的值，则需b ＋c 与a 之间的等量关系，而条件等式正好是a 、b 、c 之间的关系式，因此运用完全平方公式和多项式乘法将原式变形，再逆用完全平方公式即可达到求值目的．九、综合运用乘法公式例9 正数x 、y 、z 满足xy ＋yz ＝1022，求x 2＋5y 2＋4z 2的最小值．十、乘法公式变式的应用乘法公式常见的变形有：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ；a 2＋b 2＝()()222a b a b ++-； ()()()22222a b a b a b ++-=+；()()221144ab a b a b =+-- 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()224ab a b a b =+--这些变形公式，在解题中有着广泛的应用．在运用公式时，不应拘泥于公式的形式需要深刻理解、灵活运用． 例10 已知a ＋b ＝70，c 2＝ab －1225，求a 、b 、c 的值．分析 此题运用积化和差公式ab 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解题过程极为简捷． 解 ∵ab 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而a ＝b ，c ＝0．代入已知式，解得a ＝b ＝35，c ＝0．。

四年级数学上册典型例题系列期末典例专练15：乘法的实际应用综合1．妈妈每分钟用电脑打106个字，她从19：05到19：55用电脑能打完5000个字吗？【答案】能【分析】先用打字结束时间减去打字开始时间，求出打字时间，再乘妈妈每分钟打字的个数，最后和要打字的总个数进行比较即可。

【详解】19时55分－19时5分＝50分钟106×50＝5300（个）5300＞5000答：能打完。

2．商场里一台收音机的售价是168元，一台电视机的售价是它的15倍，这台电视机售价多少元？【答案】2420元【分析】求一个数的几倍是多少，用这个数乘倍数即可。

【详解】168×15＝2520（元）答：这台电视机售价2520元。

3．学校开展节约用电活动，前5个月共节约用电530千瓦时。

照这样计算，一年（12个月）能节约用电多少千瓦时？【答案】1272千瓦时【分析】530除以5等于1个月节约的用电量，再乘12即等于一年能节约的用电量，据此即可解答。

【详解】530÷5×12＝106×12＝1272（千瓦时）答：一年（12个月）能节约用电1272千瓦时。

【点睛】本题是归一问题应用题，先计算出1个月节约用电的千瓦时数是解答本题的关键。

4．学校购进136包图书，每包25本，分给一年级学生326本，还剩多少本书？【答案】3074本【分析】用学校购进图书的包数乘每包图书的本数，即可求出学校购进图书的总本数，再减去分给一年级的本数即可算出还剩的本数。

【详解】136×25＝3400（本）3400－326＝3074（本）答：还剩3074本书。

5．东风小学篮球队有28名队员，每套运动服上衣118元，裤子82元，每人购买一套这样的运动服，一共要付多少钱？【答案】5600元【分析】上衣的价钱加裤子的价钱等于一套运动服的价钱，再乘买的套数即等于一共要付的钱。

【详解】（118＋82）×28＝200×28＝5600（元）答：一共要付5600元钱。

七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。