导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
一．洛必达法则：
法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a
g x →=； (2)在点a 的去心内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；
(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；
(2)在点a 的去心内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；
(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
○
1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．
○2洛必达法则可处理00，∞
∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞
，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
○
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解
1. 函数2()1x f x e x ax =---．
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．
2. 已知函数x
b x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x
>+-，求k 的取值范围．
3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,
0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数x
x x f cos 2sin )(+=。 （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）如果对0≥∀x ，都有ax x f ≤)(，求实数a 的取值范围．
5. 设函数()1x f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当1->x 时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤
+，求实数a 的取值范围． 6.已知函数2)1()(ax e x x f x --=。
（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 时有极值，求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．
总结：通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的问题应满足：
1． 能够分离变量；
2． 用导数能够确定分离变量后另一侧所得新函数的单调性；
3． 出现“
00”、“ ∞∞”型式子。
