欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解
第11章极限论及实数理论的补充
11.1复习笔记
一、Cauchy收敛准则及迭代法
1．基本数列
（1）基本数列的定义
若，即对每个，都能找到一个自然数N，对一切n，m≥N成
立不等式
称{x n}为（Cauchy）基本数列．
（2）引理1
若{x n}收敛，则{x n}必是基本数列．
2．数列极限的Cauchy收敛准则
（1）引理2
基本数列必有界．
（2）Cauchy收敛准则
是基本数列．
3．实数系的完备性
由实数所组成的基本数列{x n}必存在实数极限，这个性质称为实数系的完备性．
注意：有理数域不具有完备性．
4．函数极限的Cauchy收敛准则
Cauchy收敛准则的两种叙述
（1）设f在点a某个去心邻域有定义，则极限存在且为有限
（2）ε-σ定义设f在点a某个去心邻域有定义，，当
时，
5．压缩映射原理
（1）不动点的定义
设是定义在[a，b]上的一个函数，方程的解称为的不动点．
（2）不动点的存在性
①不动点存在的必要条件
取，递推式为，设一切，如果
是连续函数且存在且为有限，则在式子两边令，可得．从而知
是的一个不动点．
②不动点存在的充分条件
a．压缩映射的定义
如果存在一个常数k，满足，使得对一切成立不等式
则称是[a，b]上的一个压缩映射，显然，压缩映射必连续．
b．压缩映射原理
设是[a，b]上的压缩映射且由递推公式定义的[a，
b]，n＝0，1，2，…，则在[a，b]上存在惟一的不动点，且．
（3）不动点的惟一性
设是[a，b]上的压缩映射且，则在[a，b]上存在惟一的不
动点．
6．牛顿迭代法
（1）牛顿迭代公式
设y＝f（x）于[a，b]上可微，f'（x）≠0且f（a）f（b）＜0，则f（x）在[a，b]上存在一实根，记为．同时，设x
是根的一个近似值，x n下一步的近似值x n＋1，则
这个求近似值的迭代公式称为牛顿迭代公式．
（2）压缩映射原理的推论
若
①f（x）于[a，b]两次可微且f'（x）≠0；
②存在一个数，对一切，成立
③存在，使得一切
则f（x）在[a，b]上存在惟一实根，且
二、上极限和下极限
1．上（下）极限的定义
若数列{x
}的极限不存在且存在子列，其中a是有限数或或
}的一个极限点．数列{x n}的最大（最小）极
（不包括不定号无穷大），则称为a数列{x
限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为
2．上（下）极限的存在性
每个数列{x
}的上极限和下极限必存在且惟一（有限或或），且
3．上（下）极限和极限的关系
（1）根据上（下）极限的定义，有
}存在极限（包括或{x n}的上极限和下极限相同，即极限
（2）定理{x
点惟一，当条件满足时，
三、实数系基本定理
1．有限开覆盖定理
（1）覆盖的定义
[a，b]是一个给定的有界闭区间，{Oα}是一族开区间，若
则称开区间族{Oα}覆盖了[a，b]．
（2）有限开覆盖定理
若开区间族{Oα}覆盖了有界闭区间[a，b]，则从{Oα}必可挑出有限个开区间Oα1，…，Oαn同样覆盖了[a，b]：
2．实数系基本定理小结
（1）确界存在定理；
（2）单调有界数列极限存在定理；
（3）闭区间套定理；
（4）Bolzano-Weierstrass定理；
（5）Cauchy收敛准则；
（6）有限开覆盖定理．
以上这些定理是相互等价的．
3．实数系的一种引进法
（1）QD10函数
在有理数集Q上定义的、值域为1，0两值的单调减少函数称为QD10函数，用R表示所有QD10函数所组成的集合，该集合中每个元素就是一个QD10函数．譬如，对每个有理数r，函数
注意：①R中的元素可分两部分一类元素（见上）及余下其他元素；
②在R中引进与函数相等概念稍不同的等于“＝”概念：，称α＝β，若函数
α＋（t）＝β＋（t），，显然这等价于α－（t）＝β－（t），在这种等于的概念下，r＋＝r－（称为有理数），它们可与有理数r等同起来．
③引进“≤”概念：若α＋（t）≤β＋（t），（等价于α－（t）≤β－（t），，则称是指且．显然关系式α＜β，α＝β，α＞β有且仅有一
个成立．
（2）确界存在定理
R中非空、上有界集A必存在上确界supA．
11.2名校考研真题详解
1．设为[0，1]上的一个连续函数列，若对任意的是有界数列．用闭区间套定理证明存在[0，1]的一个长度不为0的子区间及常数C，使得
[南京理工大学2006研]
证明：反证法假设在任何（非空）子区间上都不一致有界，则存在及
的某个闭子区间上，恒
使得又因连续，根据保号性，在含x
有
在上仍不一致有界，所以存在及，使得．根据连
续保号性，存在闭子区间使得上恒有如此继续下去，便得一串闭区
间
在上恒有．利用闭区间套定理知，存在从而
所以在处无界，与已知条件矛盾，结论得证．
2．用有限覆盖定理证明有界性定理：闭区间上的连续函数必有界．[天津工业大学2006
研]
证明：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，要证明f（x）在[a，b]上有界．
由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数使得
考虑开区间集。
