第六章面波-Love波

2. 洛夫波
n 洛夫波的频Leabharlann Baidu方程
1/ 2 2 c -1 1 c2 2 c '2 s kh 2 1 arctan 2 n ， n=0,1,2,...... c cs c2 1 s 无穷个解！
2. 洛夫波
n 波函数
面波的振幅是 x3 的函数
自由表面
u f ( x 3 ) exp[i ( kx1 t )]
连续边界条件
u ' g ( x3 ) exp[i (kx1 t )]
k /c
面波的波数，待求
2. 洛夫波
n 波函数
u f ( x 3 ) exp[i ( kx1 t )]
p 任意一个洛夫波的速度c（ cs c c 's ），对应无穷多个 kh的值；频散关系隐含在以上的方程中 p 每一个kh值都对应一种类型的洛夫波，称为“简正振 型”。n表示简正振型的阶数，比如n=0表示基阶洛夫波， n=N表示N阶振型洛夫波。 p N阶振型的洛夫波，相速度频散曲线由上式决定
2. 洛夫波
自由表面
u ' g ( x3 ) exp[i (kx1 t )]
必然满足波动方程：
连续边界条件
2u 2u 1 2u 2 2 2 2 x1 x3 c s t
2 u' 2 u' 1 2 u' 2 2 2 2 x1 x3 c' s t
c ' 2 c 's '
d2 f 2 2 k p f 0 2 dx 3
自由表面
连续边界条件
d g 2 2 k q g0 2 dx3
2
f CI exp(ikpx3 ) C exp(ikpx3 ) g C ' exp(ikqx3 ) C ' exp( ikqx3 )
(振幅表达式)
u C exp(ikpx3 ) C exp( ikpx3 )expi ( kx1 t ) u ' C ' exp( ikqx 3 ) C ' exp( ikqx 3 )expi ( kx1 t )
2. 洛夫波
n 位移分布
u ' C cos(kph) exp k ( x3 h) exp i (kx1 t )
p 介质1中，洛夫波的振幅随深度x3 增加呈周期性变化，类似于驻波； 在自由表面处永远是水平振动的 波腹 p 介质2中，振幅随着深度x3增加呈 指数衰减 p 在两层介质中传播的速度都是c沿 着x1方向传播的非均匀波
1. 体波与面波
2. 洛夫波
• 洛夫波分析、推导思路 n 声学边界条件（应力、位移） n 写出波函数（应力、位移）表达 式 n 将波函数带入边界条件 n 求解频散方程（瑞利方程） n 分析位移分布
2. 洛夫波
n 声学边界条件
法向应力为零 切向应力为零
连续边界条件 自由表面
各应力分量相等 各位移分量相等
x3 0
无穷远处位移为零！
自由边界条件（1）+连续边界条件（2）：
x3 0
0
u3 u2 )0 x2 x3
u
x3 h
u '
x3 h
23
x3 h
23 '
x3 h
2 23 (
C exp(ikph ) C exp( ikph ) C ' exp( kh )
n 洛夫波的频散方程
1/ 2 2 c -1 1 c2 2 c '2 s kh 2 1 arctan 2 n ， n=0,1,2,...... c cs c2 1 s 无穷个解！
u C c o s ( k p x 3 ) e x p i ( k x1 t )
cs =2000m / s, 2000kg / m3 c 's =3000m / s, 2500kg / m3 h 200m f 25.3Hz
2. 洛夫波
n 洛夫波的频散方程
u ' C ' exp( k x 3 ) exp i ( kx1 t )
无穷远处位移为零！
u ' C cos(kph) exp k ( x3 h) exp i (kx1 t )
u C cos( kpx3 ) exp i ( kx1 t )
2 1/ 2
'
p
c2 c2 1 1 2 2 c 's cs
p 洛夫波的速度或者波数与频率有关； p 如果扰动不是单频的，不同频率成分的传播速度不同； 其波形在传播过程中将发生变化，产生频散！ p 洛夫波是频散波，它的整体传播速度用群速度表征
2. 洛夫波
n 洛夫波的频散方程
u C cos( kpx3 ) exp i ( kx1 t )
c2 p 2 1 cs
c2 1 2 c 's
2. 洛夫波
n 位移分布
u ' C c o s ( k p h ) e x p k ( x 3 h ) e x p i ( k x1 t )
在弹性半空间上覆盖一有限厚度的介质层的情 况下存在的SH型面波称之为洛夫波（Love wave） 1911年，Augustus Edward Hough Love (A. E. H. Love) 发展了Love波的理论，从数学上给出 了面波类型之一Love波的解释。
1. 体波与面波
1. 体波与面波
ipC exp(ikph) C exp( ikph) ' C ' exp( kh )
C C
2. 洛夫波
n 带入声学边界条件
C ' II 0 C C C exp(ikph ) C exp( ikph ) C ' exp( kh )
Love波及其特性
唐跟阳
课堂内容
• 体波与面波
• 上覆盖层+半空间中的面波：洛夫波(Love Wave) – 分析、推导思路 – 洛夫波位移场 – 洛夫波频散方程 – 洛夫波的特征总结
• 洛夫波的应用举例
1. 体波与面波
• 体波：在无限大弹性体（如地球介质）内 • 面波：沿着（弹性）半无限空间的表面传
播的弹性波，如瑞利波（Rayleigh wave） 和洛夫波（Love wave） 部传播的弹性波（如地震体波 body wave， 纵波和横波）
1911：历史上的问题
1. 体波与面波
面波：沿着（弹性）半无限空间的表面传播
的弹性波，如瑞利波（Rayleigh wave）和洛 夫波（Love wave）
x3 h
其他应力位移分量为零 自然相等
0 无穷远处也是一个边界条件
2. 洛夫波
n 带入声学边界条件
23
x3 0
0
x3 h
自由表面
u
u'
x3 h
u '
0
23
x3 h
23 '
x3 h
连续边界条件
x3
由于 x3 时，u' 0
无穷远处位移为零！
u ' C ' exp( ikqx 3 ) C ' exp( ikqx 3 )expi ( kx1 t )
q必然为虚数
q i
c 1 c ' 2 s
2 1/ 2
2. 洛夫波
u ' C ' exp( ikqx 3 ) C ' exp( ikqx 3 ) exp i ( kx 1 t )
令 C 2 C ， 则 C C cos( kph ) exp( k h )
'
2. 洛夫波
n 带入声学边界条件
令 C 2 C ， 则 C ' C cos( kph ) exp( k h )
连续边界条件 自由表面
u C exp( ikpx3 ) C exp( ikpx3 ) exp i ( kx1 t )
2. 洛夫波
n 声学边界条件
法向应力为零 切向应力为零 各应力分量相等 各位移分量相等
自由表面
连续边界条件
无穷远处位移为零！
由于洛夫波是SH型波，所以在X1OX3平面内传播要求：
23
x3 0
0 其他应力分量自然为零，不存在
x3 h
u
u'
x3 h u '
x3
23
x 3 h 23 '
c ' 2 c 's '
2 s
d2 f 2 2 ( k k )f 0 s 2 dx3
d 2g 2 2 ( k ' k )g 0 s 2 dx3
2. 洛夫波
n 波函数
d2 f 2 2 ( k k )f 0 s 2 dx3
自由表面
连续边界条件
d 2g 2 2 ( k ' k )g 0 s 2 dx3
ipC exp(ikph) C exp( ikph) ' C ' exp( kh )
连续边界条件 自由表面
无穷远处位移为零！
exp(ikph) exp(ikph)C exp(kh)C' 0 ipexp(ikph) exp( ikph)C ' exp( kh )C ' 0
exp(ikph) exp(ikph)C exp(kh)C' 0 ipexp(ikph) exp( ikph)C ' exp( kh )C ' 0
C1，CII取非零解
p
c2 c2 1 1 2 2 c 's cs
exp(ikph ) exp( ikph ) exp( kh ) 0 iexp(ikph ) exp( ikph )p ' exp( kh )
令： k 2 p 2 k s2 k 2 k 2 ( c 2 1)
cs 2 2 2 2 2 2 c k q k ' s k k ( 2 1) c' s
2
d2 f 2 2 k p f 0 2 dx3
d 2g 2 2 k q g 0 2 dx3
2. 洛夫波
n 波函数
1 c 2 ' c 's tan(kph) 2 c 2 1 p c s
2 1/ 2
'
p
c2 c2 1 1 2 2 c 's cs
以上方程存在实数解 c的条件： cs c c 's
1/ 2 2 c 1 c2 c '2 s kh 2 1 arctan 2 n ， n=0,1,2,...... c cs c2 1 s 无穷个解！ 1 2
2 s
2. 洛夫波
n 波函数
u f ( x 3 ) exp[i ( kx1 t )]
自由表面
u ' g ( x3 ) exp[i (kx1 t )]
必然满足波动方程：
连续边界条件
2u 2u 1 2u 2 2 2 2 x1 x3 c s t
2 u' 2 u' 1 2 u' 2 2 2 2 x1 x3 c' s t
1 c 2 ' c 's tan(kph) 2 c 2 1 p c s
2 1/ 2
'
2. 洛夫波
n 洛夫波的频散方程
1 c 2 ' c 's tan(kph) 2 c 2 1 p c s
u C exp( ikpx 3 ) C exp( ikpx 3 ) exp i ( kx 1 t )
n 带入声学边界条件
q i 1 c ' 2

s
自由表面
q必然为虚数

c
2
1/ 2
连续边界条件

C 'II 0
23
23