压轴题精选
1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点
A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点
B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A
时间为t 秒． ⑴求直线AB 的解析式；
⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？
2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数x
y 1
的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴
和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=3
1
∠AOB ．要
明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1
,(b
b R ，求直线OM 对应
的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．
（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在
直线OM 上，并据此证明∠MOB=3
1
∠AOB ．
x
O
P
B
3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4，0)，顶点G 坐标为(0，2)．将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A ．
（1）判断△OGA 和△OMN 是否相似，并说明理由； （2）求过点A 的反比例函数解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式； （4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由．
4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x
轴的正半轴相交于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且
OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，
90OPM MQN ∠=∠=。试求：
（1）AN ∶AM 的值；
（2）一次函数y kx b =+的图象表达式。
5、（本题满分10分）当x =6时,反比例函数y =x
k
和一次函数y =-x －7的值相等. (1)求反比例函数的解析式；
(2)若等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上,顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上,且BC ∥AD ∥y 轴,A 、B 两点的横坐标分别是a 和a +2(a >0),求
a 的值.
6、 如图，一人工湖的对岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好. 站在完好的桥头A 测得路边的小树D 在它的北偏西30°，前进32米到断口B 处，又测得小树D 在它的北偏西45°，请计算小桥断裂部分的长(结果用根号表示).(7分)
7、(本题6分)如图，点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,若DB AC CD ⋅=2.
求∠APB 的度数．
（第7题图）
A
B
C D
P
8、如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作
EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =；
（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1
4
DG DA =，并说明理由．
9、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，
垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ． （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；
A
B
C D F
E
M
（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x ），
四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；
②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．
10、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．
⑴ 求证：CE ＝CF ；
⑵ 在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？
⑶ 运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝
12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．
A
B
C
D E
F
P ·
B C
11、如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动。点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式。 （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？
12、已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，
速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<）
，解图1
图2
B C
A D
E
