第一章 傅里叶分析
第一章内容为傅里叶光学课程的数学基础。
主要介绍了δ函数的定义及其相关性质，由δ函数引申出梳状函数。
介绍了其他一些常用函数：阶跃函数、符号函数、矩形函数、三角形函数、sinc 函数、高斯函数和圆域函数等，主要用于表述振幅透过率或者光强分布等。
重点讲解了以上常用函数的傅里叶变换以及傅里叶变换的主要性质。
另一个重要内容是卷积与相关性，它们在后续的学习中均有十分重要的应用。
δ函数：常用于描述点质量、点电荷、点光源等在某一坐标系中高度集中的物理量。
○
1筛选性：()()()0000,,d d ,x x y y x y x y x y δφφ∞
--=⎰⎰ ○2比例变换性：()()1,,ax by x y ab
δδ= ○
3与普通函数乘积：()()()()000000,,,,f x y x x y y f x y x x y y δδ--=--
梳状函数：常用于对其他函数作等间距抽样。
○
1()()n comb x x n δ∞=-∞
=-∑ ○2()1
n x comb x n δτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ○3与普通函数乘积：()()()1
n x f x comb f n x n τδτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑
卷积：()()()(),,,,d d f x y h x y f h x y ξηξηξη∞
*=--⎰⎰
○
1展宽：一般卷积的宽度等于被卷积函数宽度之和； ○
2平滑化：被卷积函数经卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除。
相关：包括自相关与互相关。
互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度；自相关是同一函数自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。
对于周期函数（满足狄里赫利条件），可以将其展开为傅里叶级数形式，包括三角傅里叶级数和指数傅里叶级数；它的傅里叶系数是频率的函数，称为频谱函数，是离散的。
对于非周期函数，可以作傅里叶变换，它的频谱函数是连续的。
主要讨论傅里叶变换：
空间域 ()()(),,exp 2d d x y x y x y g x y G f f j xf yf f f π∞⎡⎤=
+⎣⎦⎰⎰ 频域 (
)()(),,exp -2d d x y x
y G f f g x y j xf yf x y π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 卷积定理：()(){}()()()(){}()(),,,,,,,,x y x y
x y x y
g x y h x y G f f H f f g x y h x y G f f H f f *==*
常见傅里叶变换对：见课本p39。
