5.1频率特性-5.2典型环节的极坐标图-5.3Nyquist图的绘制

T 1
( ) arctan T
A 1

0 1/2T 1/T 2T
jV
0
0.89 -26.6°
0.707 -45° 0.45 -63.5°

A

0
… ∞
… 0
… -90°

U
采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
第五章 系统的频率特性分析 应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
对数频 对数幅频特性 20logG( j) dB 率特性 曲线 G( j) () 相频特性 纵坐标均按线性分度
按 lg 分度 横坐标是角速率
L( )
( )
（3）对数幅相曲线（尼柯尔斯图） 横坐标：对数相频特性的相角 纵坐标：对数幅频特性的分贝数
第五章 系统的频率特性分析
5.2 极坐标图
频率ω从0→∞特性曲线由虚轴的 －∞趋向原点。
0
第五章 系统的频率特性分析 3 微分环节
微分环节的频率特性
微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。 传递函数分别为：
G( s) s G( s) 1 s G(s) 2 s 2 2 s 1
ui (t ) U sin t
所以有
U U i (s) 2 s 2
1 U U o (s) 2 Ts 1 s 2
将其进行部分分式展开后再拉氏反变换
t UT T U uo (t ) 2 2 e sin(t ) T 1 T 2 2 1
G ( j ) 1 jT A( )e
1 ( ) arctanT 1 jT
• 频率特性 G ( j ω )：上述电路的稳态响应与输入正弦信 号的复数比，且G(jω) = G(s)|s=jω 。 • 幅频特性A(ω)：输出信号幅值与输入信号幅值之比。 • 相频特性(ω)：输出信号相角与输入信号相角之差。
e j (t G ( j )) e j (t G ( j )) R | G ( j ) | 2j R | G ( j ) | sin(t G ( j )) Ac sin(t )
式中，稳态输出的振幅和相位分别为
e j e j sin 2j
U () jV ()
U(ω)和V(ω)分别称为实频特性和虚频特性。 取横坐标U(ω) ，纵坐标表示 V(ω) ，也可得到系 统的幅相曲线(实虚频图)。
第五章 系统的频率特性分析 1 例：G ( s ) 1 G ( j ) 1 A( ) Ts 1 jT 1 2T 2 1
A()e
j ( )
| G( j) | e
jG ( j )
G( j)
第五章 系统的频率特性分析
X o ( j ) 1 1 X o ( s) 1 G( j ) G( s) 比较 X i ( j ) 1 RCj 1 Tj X i ( s) 1 RCs
计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大； 对于高阶系统十分不便，难以确定解析解； 不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以
确定主要因素；
不能直观地表现出系统的主要特征。
第五章 系统的频率特性分析
2. 频率响应、频率特性和频域分析法 – 频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分 量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦 信号的合成） – 频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系， 它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 – 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系 统响应的性能。研究其的数学基础是 Fourier 变换。 – 频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统 的方法。
第五章 系统的频率特性分析 2. 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
设系统的传递函数为 G ( s)
X o (s) U (s) X i (s) V (s)
已知输入 xi (t ) R sin( t ) 其拉氏变换 则系统输出为
Hale Waihona Puke Baidu
X i ( s)
R s2 2
U (s) R U ( s ) R X o (s) G (s) X i (s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n ) s 2 2 V (s) s 2 2
出振幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。
Ac | G( j ) | R A( ) | G( j ) | Ar R
• 相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用
(ω)表示。
() [t G( j)] t G( j)
• 幅频A(ω)和相频 (ω)统称幅相频率特性。
第五章 系统的频率特性分析
5.1 频率特性
1. 引例——RC电路 对于图4-1所示的RC电路，其传递函数为
U o ( s) 1 （Cs) 1 U i ( s) R 1 (Cs) Ts 1
式中，T=RC 。
+ ui(t) 图4-1 RC电路
R + C uo(t) -
第五章 系统的频率特性分析 设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为
G( s ) K
比例环节的奈氏图
G( j ) K
G( j) K U jV A e j
式中 U ( ) K －实频特性；
V ( ) 0 －虚频特性；
A( ) K －幅频特性； ( ) 0 －相频特性；
Im
第五章 系统的频率特性分析 2 Im Re[ G ( j )] 1
0

Re
Im[G( j)]
Imag Axis
-1
G ( j )
3
( )
-2
2
1
0
-2 -1 0 Real Axis
-3
-4
-5 -3
1
2
3
但它不能清楚地表明开环传递函 数中每个因子对系统的具体影响
图5-25 极坐标图

K
Re
比例环节的极坐标图为实 轴上的K点。
积分环节的奈氏图 第五章 系统的频率特性分析 2 积分环节 j 1 1 1 G( j ) e 2 G (s) s j
U ( ) 0
A 1
V ( )
1

( )

2
Im

Re 积分环节的极坐标图为负虚轴。
第五章 系统的频率特性分析 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； ()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。
x( t ) x(t), y1(t), y2(t) y2 ( t ) y1 ( t )
0
t
1() 2()
第五章 系统的频率特性分析 4. 频率特性的表示法 （1）幅相频率特性曲线（极坐标图或奈奎斯特图） （2）对数频率特性曲线（伯德图）
arctan T
第五章 系统的频率特性分析 • uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态 分量。显然上述RC电路的稳态响应为
lim uo (t )
t
U
2 2
1 T 1 1 U sin t 1 jT 1 jT
sin(t )
• 结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态 响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和 输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变 化取决于ω。
第五章 系统的频率特性分析
• 若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并 求其复数比，可以得到 1 j ( ) • 式中
1 1 A( ) 1 jT 1 T 2 2
p1 , p2 , pn
对稳定系统
G(s)
(4-1) 的极点 (4-2)
X o ( s)

i 1
n
bi a a s pi s j s j
a, a 和bi (i 1,2,n)
待定系数
第五章 系统的频率特性分析
X o ( s)

i 1
n
bi a a s pi s j s j
在极坐标图上，以横轴为实轴，纵轴为虚轴， 且正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋 转来定义的。
第五章 系统的频率特性分析
奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐 述了反馈系统稳定性 。
将G(jω)分为实部和虚部(代数表示)，即
G( j) G( j) e
j ( )
第五章 系统的频率特性分析 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域 分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
第五章 系统的频率特性分析
引言
1. 为什么要对系统进行频域分析？ – 时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统 的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：
极坐标图(Polar plot)，又称幅相频率特性曲线或 奈奎斯特曲线。
G ( j ) 可用幅值 G( j) 和相角 ( ) 的向量表示。
当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G ( j ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面 上移动的轨迹称为幅相频率特性曲线（简称幅相曲线 或Nyquist曲线）。画有 Nyquist曲线的坐标图称为极 坐标图或Nyquist图。
频率特性与传递函数具有十分相似的形式 G ( j ) G ( s ) s j
s
p
j
微分 方程


p
d p dt
传递 函数
系统
频率 特性
s j
第五章 系统的频率特性分析 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复
平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的
第五章 系统的频率特性分析 5.2.1 典型环节的极坐标图
• 用频域分析法研究控制系统的稳定性和动
态响应时，是根据系统的开环频率特性进
行的，而控制系统的开环频率特性通常是
由若干典型环节的频率特性组成的。
• 本节介绍六种常用的典型环节。
第五章 系统的频率特性分析 5.2.1 典型环节的极坐标图 1 比例环节
jt jt x ( t ) ae a e o (4-2)

i 1
n
bi e pi t
(4-4)
因此，系统的稳态响应为：
t 趋向于零
xos (t ) ae jt ae jt
a G (s) R s2 R s2 2 ( s j ) s j G ( j ) 2 R R ( s j ) s j G ( j ) ( s j )(s j ) 2j R R ( s j ) s j G ( j ) ( s j )(s j ) 2j
(4-5)
a G(s)
( s j ) s j G ( j )
G ( j ) 是一个复数向量，因而可表示为
(4-6)
j G ( j )
G( j ) G( j ) e
j
G ( j )
G( j ) G( j ) e
(4-7)
第五章 系统的频率特性分析 jt jt xo s (t ) ae ae
Ac R | G( j) |;
G( j)
由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出的稳态值 是和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅 的|G(jω)|倍，输出相位与输入相位相差∠G(jω)度。
第五章 系统的频率特性分析 3. 频率特性的定义 • 幅频特性： LTI 系统在正弦输入作用下，稳态输