抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。

A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。

A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。

5、环Z8的零因子有 -------------- 。

&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。

9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。

《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。

抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。

第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。

解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。

要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。

我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。

第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。

解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。

例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。

第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。

解答：首先证明K[x]是整环。

然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。

再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。

通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。

希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！。

贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。

注：本试题共三个大题，16个小题。

满分100 分。

一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。

每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是( )。

(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。

2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是( ) 。

(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G关于H的所有右陪集；(D) H的所有共轭g(1Hg。

3、设是环同态, 则同态的核( ) 。

(A) Ker(()={a(S: (b(R, ((b)=a}；(B) Ker(()={a(R: ((a)=a}；(C) Ker(()={a(R: ((a)=1}；(D) Ker(()={a(R: ((a)=0}。

4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是( ) 。

(A) ；(B) ；(C) (2；(D) 。

5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是( ) 。

(A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;(C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3;商环R/I一定是特征为3的域。

二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。

三、解答题11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1(Z2[x],(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)={a(G: (g(G, ga=ag}是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群;(2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。

抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的元素满足的运算性质不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 恒等元答案：C2. 以下哪个不是环的基本性质？A. 加法和乘法的封闭性B. 加法的结合律C. 加法和乘法的交换律D. 乘法对加法的分配律答案：C3. 向量空间的基具有什么性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 可以是任何一组向量D. 包含向量空间中所有向量答案：A4. 以下哪个不是群同态的性质？A. 保持群的运算B. 保持群的恒等元C. 保持群的逆元D. 保持群的子群答案：D5. 有限群的拉格朗日定理表述了什么？A. 群的阶数等于其任意子群的阶数B. 群的任意子群的阶数能整除群的阶数C. 群的任意子群的阶数等于群的阶数D. 群的阶数能整除其任意子群的阶数答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个群G的元素a的阶是最小的正整数n，使得______。

答案：a^n = e2. 如果环R中任意两个元素a和b满足ab=ba，则称R为______。

答案：交换环3. 向量空间V的一个子集W，如果W非空且对向量加法和数乘封闭，则称W为V的一个______。

答案：子空间4. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，都有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)且T(cv) = cT(v)，则称T为______。

答案：线性的5. 一个群G的所有子群构成的集合，在包含关系下构成一个______。

答案：格三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述群的同态和同构的定义。

答案：群的同态是指两个群之间的函数，它保持群的运算。

具体来说，如果有两个群(G, *)和(H, ·)，函数f: G → H是一个同态，当且仅当对于所有a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) · f(b)。

同构是指一个双射同态，即同态f既是单射也是满射，这意味着G和H在结构上是相同的。

1.在群论中，如果一个群G的运算满足结合律，那么对于所有a,b,c∈G，下列哪个等式总是成立的？o A. (a⋅b)⋅c=a⋅(b+c)o B. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)o C. a⋅(b⋅c)=(a+b)⋅co D. a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)参考答案：B解析：群论中的结合律保证了(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)对于群G中的所有元素a,b,c都成立。

2.设R是一个环，如果R中存在一个元素e，对于所有a∈R，都有e⋅a=a⋅e=a，那么e被称为R的什么？o A. 零元o B. 逆元o C. 单位元o D. 生成元参考答案：C解析：在环R中，满足e⋅a=a⋅e=a的元素e被称为单位元。

3.在域F中，如果a,b∈F且a≠0，那么下列哪个选项总是成立的？o A. a⋅b=b⋅ao B. a+b=b+ao C. 存在c∈F使得a⋅c=1o D. 所有选项都成立参考答案：D解析：域F的定义包含了交换律、结合律、分配律以及每个非零元素都有乘法逆元的性质。

4.设G是一个群，如果G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为？o A. 无限群o B. 有限群o C. 循环群o D. 阿贝尔群解析：如果群G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为有限群。

5.在群G中，如果对于所有a,b∈G，都有a⋅b=b⋅a，那么G被称为？o A. 非交换群o B. 交换群o C. 循环群o D. 阿贝尔群参考答案：B 或 D解析：满足a⋅b=b⋅a的群被称为交换群或阿贝尔群。

6.设R是一个环，如果R中存在一个元素a，对于所有b∈R，都有a⋅b=b⋅a=0，那么a被称为R的什么？o A. 单位元o B. 零元o C. 逆元o D. 零因子参考答案：B解析：在环R中，满足a⋅b=b⋅a=0的元素a被称为零元。

7.在域F中，如果a∈F且a≠0，那么下列哪个选项描述了a的性质？o A. a没有乘法逆元o B. a有唯一的乘法逆元o C. a有多个乘法逆元o D. a的乘法逆元是a本身参考答案：B解析：域F中每个非零元素都有唯一的乘法逆元。

班号学号姓名成绩《抽象代数》期末考试卷注意事项：1、请大家仔细审题2、千万不能违反考场纪律题目：一、判断题（每小题2分，共20分）(⨯) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。

(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。

(√) 3、任何群都与一个变换群同构。

(√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。

(√) 5、素数阶群必为循环群。

(⨯) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。

(√) 7、环的理想构成其子环。

(⨯) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。

(⨯) 9、格保序映射必为格同态映射。

(√) 10、设A⊆S，则< P(A)，⊆ > 是格< P (S)，⊆ > 的子格。

二、填空题（10分）1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。

2、设〈G，*〉为群且a∈G。

若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；并且 a k = e 当且仅当__n | k3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。

4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+25、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。

对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。

三、计算题（40分，每小题8分）1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。

解：所有子群是：<{1}, •11 ><{1, 3, 4, 5, 9}, •11 ><{1, 10}, •11 >< N11—{0}，•11 >2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。

解：设f 为群 < N 7 ，+7 > 的自同态，则：f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 73、设有置换：试求 P 2 和Q ︒ P 。

菏泽学院成人高等教育数学与应用数学专业《抽象代数》（本科）试卷 〖B 卷〗参考答案★考试时间共100分钟★一、（正确的打√，错误的打×，每小题3分,共15分）1、√2、√3、×4、×5、×二、填空（每小题3分,共15分）1、abx ac c ++2、-43、6n4、111c b a ---5、1x a b -=三、选择题(每小题3分,共15分)1、D2、D3、D4、A5、A四、（8分)证明：首先，新运算是G 的代数运算；……………………………………………1分其次，结合律成立，,,,a b c G ∀∈有()()()()()()a b c aub c aub uc au buc au b c a b c =====……………………… 3分 再次，设u 原来运算作用下G 中的逆元为1u -，e 为单位元，则1111a u auu ae a u ua u a ----=====，1u -∴是新运算作用下G 中的单位元………………………………………5分 最后，111,a G b u a u ---∀∈∃=，有1111111a b auu a u u u a u ua b a -------====111b u a u ---∴=是新运算作用下a 的逆元……………………………………7分 故G 对新运算),(,G b a aub b a ∈∀= 也作成一个群………………………8分五、（12分）解：(1)((1))(3)1,(2)((2))(4)5,AB A B A AB A B A ======(3)((3))(1)2,(4)((4))(5)4,(5)((5))(2)3AB A B A AB A B A AB A B A =========12345(253)15243AB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭………………………………………………………4分 同理：12345(142)41325BA ⎛⎫== ⎪⎝⎭……………………………………………8分 同理：212345(132)31245A ⎛⎫== ⎪⎝⎭……………………………………………12分六、（9分）证明： x 为环R 的幂零元，*,n N ∴∃∈有0n x =… ……………………………2分于是根据环R 为交换环，有123221221()()()()n n n n n n n n n e e x e x e e x e x ex x e x e x x x x -------=-=-+++++=-+++++ 221()()n n e x x x x e x --=+++++-………………………………………………7分∴221n n e x x x x --+++++是e x -在R 的逆元 即e x -在R 中可逆………………………………………………………………9分七、（8分）解：设b 是G 的单位元，则,a G ∀∈有b a a b a ==，即4a b a ++=，4b ∴=- …4分设c 是2在G 中的逆元，则224c c ==-，即244c ++=-，10c ∴=-， ∴2在G 中的逆元为-10. ………………………………………………………8分八、（18分）证明：首先，由二阶单位矩阵1001E ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R 知，R 是非空集合………… ……2分其次，22,,a b c d R b a dc ⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222(),a b cd a c b d R b a d c b d a c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222(),2a b c d ac bd bc ad R b a d c bc ad ac bd ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴矩阵的普通加法和乘法是R 的两种代数运算…………………………5分再次，R 对加法作成一个群222,,,a b c d e f R b a dc f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由矩阵的加法满足结合律知，R 对加法满足结合律； 易知0000⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 的零元；2a b R b a --⎛⎫∈ ⎪--⎝⎭是2a b b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的负元………………7分 再次，R 对乘法满足结合律222,,,a b c d e f A B C R b a dc f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22()2(2)2()2(2)2()()2()(2)(2)2()ac bd ad bc e f e ac bd f ad bc f ac bd e ad bc AB C ad bcac bd f e e ad bc f ac bd e ac bd f ad bc ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2)22()()2(2)2()2()2(2)(2)()2()(2)(2)2()2(2)2()()(2)(2)a b ce df fc de A BC b a fc dece df a ce df b fc de a fc de b ce df b ce df a fc de b fc de a ce df e ac bd f ad bc f ac bd e ad bc e ad bc f ac bd e ac bd ++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭++++++⎛⎫= ⎪++++++⎝⎭++++++=+++++2()f ad bc ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()()AB C A BC ∴=…………………………………………………………………11分 最后，乘法对加法满足分配律222,,,22()()2()2()2()()()()2()2()22222222a b c d e f A B C R b a d c f e a b c e d f a c e b d f a d f b c e A B C b a d fc e b c e ad f b ce a df ac bd ad bc ae bf fa be ad bc ac bd fa be b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++⎛⎫=+ ⎪+++⎝⎭AB AC f ae ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭同理：乘法对加法满足右分配律……………………………………………14分容易验证R对乘法满足交换律，二阶单位阵是R的单位元………………17分综上所述：R对矩阵的普通加法和乘法作成一个有单位元的交换环………18分。

运城学院 抽象代数试题+答案一、填空题（每空3分，共30分）1、在群G 中元素a 和b 满足条件1）对任意的x ∈G ，有ax=xa=x ；2）存在y ∈G ，使b=yy -1。

则a 、b 的关系为 a=b 。

2、设σ=(1 4 7 3 6)是一个轮换，则σ的逆为 (6 3 7 4 1) 。

3、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a n =e ，那么m 与n 间的关系为 n m 。

4、已知群G 中的元素a 的阶等于30，则a 9的阶等于 10 。

5、一个阶大于1，有单位元，无零因子的 交换环 称为整环。

6、规定实数集R 上的运算×为a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。

7、实数集G 关于乘法·：a · b = a + b + 4是群，那么G 中的单位元是 –4 。

8、H 是群G 的正规子群，商群H G 的单位元为 H 。

9、6阶循环环R={0,e,2e,3e,4e,5e}(e 2=e)的单位群是 {e,5e} 。

10、设a 、b 、c 和x 都是群G 中的元素，且x 2a = bxc -1，acx = xac ，那么x = bc -1a -1 。

二、简答题（每小题10分，共40分）11、设G 是一个群，若对任意的a, b ∈G ，皆有(ab)2 = a 2b 2，证明G 是交换群。

证明：对任意的a, b ∈G ，由(ab)2 = a 2b 2得abab = aabb ，两边同时左乘a -1，右乘b -1得a -1ababb -1 = a -1aabbb -1，即ba = ab ，所以G 是交换群。

......10分12、证明群G 是交换群当且仅当映射1:-→→x x GG ϕ是G 的自同构。

证明：(=>)对任意x ∈G ，有x -1∈G ，且φ(x -1) = (x -1)-1 = x ，所以φ是满射，......2分对任意的x, y ∈G ，若φ(x) = φ(y)，即x -1 = y -1，则x = y ，所以φ是单射，......2分又对任意的x, y ∈G ，φ(xy) = (xy)-1 = y -1x -1 = φ(y)φ(x) = φ(x)φ(y)，所以φ是自同构。

抽象代数考试试题及答案第一题：考虑以下四个集合及其关系：- A = {1, 2, 3, 4}- B = {2, 4, 6}- C = {3, 6, 9, 12}- D = {4, 8, 12, 16}试判断以下命题是否成立，并给出理由：1. A ⊂ B2. B ⊂ C3. C ⊂ D4. D ⊂ A解答：1. 命题1不成立，因为集合A中元素1不属于集合B。

2. 命题2不成立，因为集合C中的元素9不属于集合B。

3. 命题3成立，因为集合C中的元素都属于集合D。

4. 命题4不成立，因为集合D中的元素8不属于集合A。

第二题：设G为一个群，H为G的一个子群。

证明以下性质：1. H的恒等元是G的恒等元。

2. H中任意元素在G中也是元素。

3. G中任意元素的逆元在H中也是元素。

解答：1. 由于H为G的子群，H中的恒等元存在且唯一，记为e_H。

而G 中的恒等元存在且唯一，记为e_G。

由于H是G的子群，H的恒等元必须满足群的恒等元的性质，即对于任意的元素h∈H，有h·e_G = h。

因此，H的恒等元e_H也必须满足上述性质，即e_H = e_G。

2. 由于H是G的子群，H中的任意元素在G中也是元素，即对于任意的元素h∈H，有h∈G。

3. 对于任意的元素g∈G，其逆元记为g⁻¹。

由于H是G的子群，g∈G，所以g⁻¹∈G。

因此，g的逆元在H中也是元素。

通过以上证明可以得出结论，子群H的恒等元是群G的恒等元，H 中任意元素在G中也是元素，G中任意元素的逆元在H中也是元素。

第三题：考虑以下线性变换：T: ℝ^n -> ℝ^m其中，n和m是正整数且n < m。

证明T是一个满射但不是一个单射。

解答：首先，我们来证明T是一个满射。

满射意味着对于任意的向量b∈ℝ^m，存在向量a∈ℝ^n，使得T(a) = b。

由于n < m，说明向量a的维度低于向量b的维度。

根据线性变换的定义，T将n维的向量a映射为m维的向量b。

浙江大学2004–2005学年夏季学期《抽象代数》课程期末考试试卷开课学院：理学院，考试形式：闭卷，允许带___________入场考试时间：2005年7月 5日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号：专业： ________一 . Mark each of the following true or false（确定对错）(2%×10=20%.)( )1.The dual module of every free module is a free module. 自由模的对偶模是自由模。

( )2. Every group G has a normal subgroup N such that the quotientgroup G/N is a simple group.任何群G都存在正规子群N使得G/N是单群。

( ) 3.Every homomrphic image of a noncommutative ring is anoncommutative ring . 非交环的同态像为非交换环。

( )4. Let R be a ring with identity. Then R is a division ring if and only ifevery unitary module over R is a free module. R 是有单位元的环，它是除环的充分必要条件是其上的所有幺模都是自由模.( ) 5. The characteristic of any simple ring is either infinite or a primenumber.任何单环的特征为无限或是素数.( ) 6. Every set is a proper class. 每个集合都是真正的类.( ) 7. Every submodule of a free module is a free module. 自由模的任何子模还是自由模.( ) 8. Every maximal ideal of every commutative ring with identity is aprime ideal.带有单位元的交换环的任何极大理想是素理想.( ) 9. Every module is a submodule an injective module and ahomomorphic image of a projective module. 任何模都是内射模的子模，也是投射模的同态像.( ) 10. If N is a nonempty subset of a left R module M, then N is asubmodule of M if and only if the following conditions hold: (1) x+y isin N for any element x,y in N; (2) rx is in N for any r in the ring R, andany x in N.假设 N 是左模的非空子集合, 那么N 是子模的充分必要条件是,对N 中的任何两个元素x,y有 x+y 还在 N 中, 对R 任何元素r 和N 的元素x有 rx还在N 中.二. （10%） Prove that there only two distinct groups of order 4（ up to isomorphism）， namely Z4 and Z2⊕Z2证明在同构的意义下，四阶群只有两个，即Z4和 Z2⊕Z2.三.（10%） Let G be a finite group and H a subgroup of G of order n. IfH is the only subgroup of G of order n, then H is normal in G. 假设 H 是G中唯一一个阶等于n的子群, 证明H是G正规子群.四. （10%）Suppose R is a ring with identity. Prove that a unitary projective M R module is flat, i.e., for any left R module exact sequence: 0→L→N→P→0, the following sequence is exact: 0→M⊗R L→M⊗R N→M⊗R P→0 .假如R是有单位元的环，证明任何幺投射模M R是平坦模.五.（10%） A nonzero module M over a ring R is called simple if the only submodule N of M is either 0 or M itself. Prove that the endomorphic ring of any simple module is a division ring.假如非零模 M的子模仅有零子模和自身, 那么称M为单模, 证明单模的自同态环为除环.六（15%） (i)Determine all prime and maximal ideals in the ringF[x]/(f(x)), where F is a field, and f(x) is a polynomial in the ring F[x] with degree n and n>0. F是域, f(x)是环F[x]中的次数大于零的多项式, 确定环F[x]/(f(x))所有素理想和极大理想.(ii) Decompose F[x]/(f(x)) into direct sum of local rings and prove your conclusion. 将F[x]/(f(x)) 分解成局部环的直和, 并证明你的结论.七. （15%）Let Z ×Z ={(n.m)|m,n are integral numbers}. Define (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc). Then (1) Z ×Z is a commutative ring.(2) S={(a,0)|a is positive integral number} is amultiplicative set of Z ×Z.(3) S -1 (Z ×Z) is isomorphic to the ring b a a b a ,0⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛ arerational numbers }.假如Z ×Z ={(n.m)|m,n 是整数}, S={(a,0)|a 是正整数}, 证明(1)Z ×Z 关于(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)构成交换环.(2) S 是它的乘法集.(3) S -1(Z ×Z)同构于环b a a b a ,0⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为有理数}.八.（10%） Describe the snake lemma, and prove the short five lemma using the snake lemma.叙述蛇形引理, 并用它来证明短五引理.Suppose h is a homomorphism from a group G to a group H. Prove that h is an isomorphism if and only if h-1h(X)=X and hh-1(Y)=Y for any subgroup group X of G and any subgroup group Y of H. 假如h 是从群G到群 H的群同态. 证明h是同构的充分必要条件是对G 任何子群 X 有 h-1h(X)=X, 和对 H的任何子群Y有hh-1(Y)=Y.。

抽象代数考核练习题答案抽象代数考核练习>> 在线答题结果单选一、单选1、设映射f：A→B和g：B→C，如果gf是双射，那么g是（）。

（分数：2 分）A. A、单射B. B、满射C. C、双射D. D映射标准答案是：C。

您的答案是：C2、设M是数域F上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A～B 等价于A的秩=B的秩（A，B 属于M），那么M的所有不同的等价类为（）。

（分数：2 分）A. A、100个B. B、101个C. C、102个D. D 103个标准答案是：B。

您的答案是：B3、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。

（分数：2 分）A. A、｛1，－1，i , －i｝B. B、｛1，－1｝C. C、｛1，－1，i｝D. D｛1｝标准答案是：C。

您的答案是：C4、设G是一个100阶的交换群，H是 G的子群， H 的阶=10，则 G/H中10阶元的个数为（）。

（分数：2 分）A. A、9B. B、4C. C、1D. D 5标准答案是：B。

您的答案是：B5、6阶非交换群的所有子群的个数是（）。

（分数：2 分）A. A、2B. B、3C. C、6D. D 4标准答案是：C。

您的答案是：C6、在模100的剩余环中，零因子的个数是（）（分数：2 分）A. A、58B. B、59C. C、60D. D 57标准答案是：D。

您的答案是：D7、在6次对称群S6中，=（16）（23）（456）的阶为（）。

（分数：2 分）A. A、6B. B、12C. C、4D. D 8标准答案是：B。

您的答案是：B8、设N是G的不变子群，f:G--G/N,g--gN, 那么kerf=（）。

（分数：2 分）A. A、G/NB. B、GC. C、ND. D 空集标准答案是：C。

您的答案是：C9、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]>∩<[18]>=（）。

（分数：2 分）A. A、<[6]>B. B、<[36]>C. C、<[-24]>D. D、<[6]>标准答案是：B。

抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪个条件？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项答案：D2. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 结合律C. 分配律D. 交换律答案：D3. 向量空间中的线性无关性意味着什么？A. 向量可以表示为其他向量的线性组合B. 向量之间存在非平凡的线性组合等于零向量C. 向量之间不存在非平凡的线性组合等于零向量D. 向量空间的维数等于向量的数量答案：C4. 以下哪个是有限域的特征？A. 域中元素的数量是有限的B. 域中元素的数量是无限的C. 域中存在乘法单位元D. 域中存在加法单位元答案：A5. 以下哪个是理想的定义？A. 环中的一个子集，对加法封闭B. 环中的一个子集，对乘法封闭C. 环中的一个子集，对加法和乘法封闭D. 环中的一个子集，对减法封闭答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个群G中存在元素a，使得对于所有g∈G，有gag^{-1}=g，则称a是G的一个________。

答案：单位元2. 一个环R中，如果对于任意的a, b∈R，都有ab=ba，则称R是一个________。

答案：交换环3. 向量空间V的一组基是V中的一组向量，它们________。

答案：线性无关且张成V4. 一个域F的特征是指最小的正整数n，使得n⋅1_F=0，其中1_F是F的乘法单位元。

如果不存在这样的n，则称F的特征为________。

答案：05. 一个环R的理想I，如果对于任意的r∈R和i∈I，都有ri∈I和ir∈I，则称I是R的一个________。

答案：主理想三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是群的同构，并给出一个例子。

答案：群的同构是指两个群之间存在一个双射同态映射，这个映射保持群的运算结构。

例如，整数加法群（ℤ，+）和模n整数加法群（ℤ_n，+）是同构的，因为它们之间存在一个保持加法运算的双射映射。

《抽象代数》课程考试试题学年第学期班级时量：100分钟总分100分考试形式闭卷一、（40分）判断题（认为对的，在括号内打“J”，错的打“X”）1、同一个群G的所有子群的单位元都相同。

（）2、设修、“2是群G的子群，则MDH2 一定是G的子群。

（）3、有理数集对于数的乘法构成一个群。

（）4、在一个群中逆元等于自身的元有且只有该群的单位元。

（）5、若而=e在群中成立（其中C是单位元），则出? =。

4。

（）6、若N是G的一个不变子群，则对Wa ∈G, DneN,有（）7、一个有限群不可能与它的真子群同构。

（）8、在一个群中，若有两个元〃、b的逆元相同，则（）9、阶相等的两个循环群同构。

（）10、一个循环群的任意子群都是不变子群。

（）二、（24分）填空题：1、置换（≡;）表示成循环置换的乘积为上一2、设G=（4）的阶为15的循环群，则G的生成元有② 个,它们是③3、无限循环群G中只有④个生成元。

4、己知交换群G中的元素〃、b的阶分别是10与12,则元素的阶是草5、3次对称群力的子群有个，它们是_⑦6、若群G的阶为n, G的不变子群N的阶为m,则商群G/N的阶为⑧7、若循环群（。

）是无限群，那么（"） = （"）的充要条件是⑨8、n次对称群S“中，元素（必昌）’=⑩三、（12分）证明：实数域上一切有逆的nXn矩阵构成的集合对于矩阵乘法作成一个群。

四、（12分）假设群G的元。

的阶是n,证明"的阶是-,这里d; （r, n）是r和dn的最大公因子。

五、（12分）设H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。

抽象代数期末考试复习题一、基本概念1. 定义与性质- 定义什么是群，并给出群的四个基本性质。

- 解释子群、正规子群、商群的概念，并举例说明。

- 描述群的同态和同构，以及它们的区别。

2. 特殊群- 列举并解释阿贝尔群、循环群、置换群的特点。

- 描述什么是自由群，并给出一个具体的例子。

3. 群的运算- 说明如何构造一个群的凯莱表。

- 解释群的阶的概念，并给出如何计算一个群的阶。

二、环和域1. 基本概念- 定义环，并列出环的基本性质。

- 描述什么是域，并给出域与环的区别。

2. 特殊环和域- 解释整环、域、素域和特征环的特点。

- 举例说明什么是多项式环。

3. 环的运算- 描述理想的概念，并解释如何构造一个环的理想。

- 解释商环的概念，并说明如何通过一个环和它的理想构造商环。

三、线性代数与向量空间1. 向量空间- 定义向量空间，并给出向量空间的八个基本性质。

- 解释基、维数、子空间的概念。

2. 线性变换- 描述线性变换的定义，并给出如何确定一个线性变换的矩阵表示。

- 解释线性变换的核和像的概念。

3. 特征值和特征向量- 定义特征值和特征向量，并解释它们在矩阵理论中的作用。

四、模和张量1. 模的概念- 定义模，并解释模与向量空间的相似之处和不同之处。

2. 张量代数- 描述张量的概念，并解释张量积的运算规则。

五、群论的应用1. 对称性分析- 解释群论在分析物理系统对称性中的应用。

2. 密码学- 简述群论在现代密码学中的应用。

六、附加题目1. 证明题- 证明如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，则G是一个有限群。

2. 计算题- 给定一个具体的群G，计算它的凯莱表，并确定它的阶。

3. 应用题- 描述如何使用群论来解决一个实际问题，例如晶体结构的分类。

结束语本复习题旨在帮助学生系统地回顾抽象代数的核心概念和理论，并通过练习题加深理解。

希望同学们能够通过这些题目，巩固知识，提高解题能力，为期末考试做好充分准备。

2005-2006抽代期末1.(10分)设Ｒ是一个整环，则Ｒ上的一元多项式环Ｒ[x]是否还是整环？若是，请证明之，若不是请举出反例．2.(15分)给出唯一因子分解整环（高斯整环）、主理想整环和欧几里得整环的涵义并说明它们之间的关系．3.(15分)构造一个具有16个元素的有限域，从中任选两个非零非单位元的相异元素，计算它们的和、差、积、商．4.(10分)证明有限域上的任一不可约多项式一定可分．5.(20分)(1)证明2次扩张一定是正规的．(2)设Ｅ/Ｋ和Ｋ/Ｆ均为正规扩张，举例说明Ｅ/Ｆ不一定为正规扩张．6.(30分)设Ｑ为有理数域，f(x)＝x^4－2∈Ｑ[x]．(1)求f(x)的分裂域Ｅ．(2)求此分裂域Ｅ的Galois群Gal(Ｅ/Ｑ)．(3)求Gal(Ｅ/Ｑ)的所有子群及这些子群所对应的Ｅ/Ｑ的中间域(每阶子群举出一例)．(4)由于Ｑ的特征为0，所以Ｅ/Ｑ一定为单代数扩张，给出此扩张的一个本原元素θ，即使得Ｅ＝Ｑ(θ)，求θ的极小多项式的所有根．2008年冯荣权1.来自杨的 P139 182题2.证明存在非唯一分解因子整环3.p为素数，求Z(p^n) [x]中的可逆元，零因子，幂等元4.杨的 P542 7485.体中的华罗庚恒等式6.2年前考试题最后一题，把2改成3.2008-2009冯荣权一、判断正误，并证明或举反例。

（1）如果一个群的子群H的任意两个左陪集相乘还是左陪集，则H是正规子群。

（2）E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F是代数扩张（3）E/K是正规扩张，K/F是正规扩张，则E/F是正规扩张二、G是奇次交换群。

α为自同构。

α^2为恒同映射。

G1={g|α(g)=g,g属于G}。

G2={g|α(g)=g逆,g属于G}求证G1，G2为子群，且G=G1×G2三、丘维声《抽象代数基础》75页推论8和例1四、构造27阶有限域并找出生成元。

五、忘了……六、证明Z(p^n)的剩余类环R上的非可逆元构成一个理想P，该理想为极大理想。