3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分 别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式， 便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求_各__角__； (2)已知两边和它们的夹角，求第__三__边__和__其__他__两___个__角_．
3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？ 提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反 之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A ＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之， 若90°<A<180°，则a2>b2＋c2.
1.1.2 余弦定理
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方
等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍．即
若 a，b，c 分别是△ABC 的顶 点 A，B，C 所对的边长，则
a2＝_b_2_＋__c2_－__2_bc_c_o_sA______， b2＝_a_2_＋__c2_－__2_a_c_co_s_B_____， c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_sC_____.
[点评] 判断三角形形状的方法 (1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
变式训练2
在△ABC中，已知cos2
A 2
＝
b＋c 2c
(a，b，c分
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
2．余弦定理的推论
余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与
对边之间的关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2
cosA＝_____2_b_c______， a2＋c2－b2
cosB＝_____2_a_c______， a2＋b2－c2
cosC＝_____2_a_b______.
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定 理的特例．角A为钝角⇔__a_2_>_b_2_＋__c_2___，角A为直角⇔ __a_2_＝__b_2_＋__c_2_，角A为锐角⇔___a_2_<_b_2＋___c2__.
类型二 判断三角形的形状 [例2] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利 用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．
32×2＋32×322－3 32＝12.
∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
[点评] 1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属 于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值．
思考感悟
1．已知三角形任意两边与一 角，借助于正、余弦定理是否能求 出其他元素？
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中，已知 b＝3，c＝2 3，A＝30°，求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30°＝3，∴a＝ 3.
a2＋c2－b2 ∴cosB＝ 2ac ＝
[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD，在△ABD 中，用余
弦定理求出 BD，在△BCD 中，用正弦定理即可解出 BC.
[解] Hale Waihona Puke BaiduABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 设 BD＝x， 则有 142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°， ∴∠CDB＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
变式训练 1 已知在△ABC 中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，求△ABC 的 各角度数．
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋2cc得 1＋2cosA＝b2＋cc，∴cosA＝bc. 根据余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
[点评] 在一些复杂的图形问题中，我们要善于分析 图中哪些三角形的条件足够求解该三角形，哪些三角形的 条件还不够求解该三角形，对那些条件不够的三角形要去 探索它与其他三角形之间的联系，有时也可直接设出其中 的边和角，然后列方程(组)求解．
