定积分的简单应用--面积ppt

例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； y
一部分是x轴上方的图形的面
积（记为s1）;
1
另一部分是x轴下方图形的面
-∏
积（记为s2）.
o
-1
∏x
根据图像的性质： s1 =s2.
s 10sin x d x c o sx|0 (c o s c o s0 ) 2 .
-
8
例3.求曲线x= y 2 和直线y=x-2所围成的图形
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x ，y= x-2 ， -1 x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
-
9
1
s10[ x( x)]dx,
4
84
ss1s2
4 33
-
6
小结：
求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。
思考：
பைடு நூலகம்
求曲线y= x 2 与直线x+y=2围成的图形的面积。
-
7
抽象概括：
4
，3 4
])
围成的平面图形的面积。
-
11
(2)变力沿直线所做的功
例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧
拉长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
-
13
（五）课后作业
课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。
-
14
再见
-
15
4
0）和（2，4）。
设所求图形的面积为S，根据图像可以看 出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成 平面图形的面积（设为S1）减去抛物线
x y= 2 ，直线x=2以及x轴所围成的图形
的面积（设为S2）。
-
o
2
x
5
∵ s1022xdxx2|0 222024
s20 2x2dx1 3x3|0 21 3(2303)8 3
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，
则变力F(x) 所做的功为:
W＝
b
F(x)dx
-
a
12
（四）总结
（1）利用定积分求所围平面图形的面积， 要利用数形结合的方法确定被积函数和积 分上、下限。
（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要 合理分区域积分求面积。
所以，所求阴影部分的面积是4- ..
3
思考：
求如下图形中阴影部分面积
5
4
o
2
s2 sinxdx(54sinxdx)422
-
4
例2.求抛物线y=x2 与直线y=2x所围成平面图 形的面积。
解:
x 画出抛物线y= 2 与直线y=2x所围成的平面图形，
y
如图所示。
x 求出曲线y= 2 与直线y=2x的交点为（0，
s2
[ 1
x(x2)]dx,
1
4
s02xdx1( xx2)dx.
9
2
-
10
（三）练习
1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平 面图形的面积。
2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图
形的面积。 3.求曲线y=sinx(x∈[
4
，3 4
])和y=cosx(x
∈[
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成
的平面图形（如图1）的面积S，则
b
b
y
s f(x)dx g(x)dx.
ay
a
y y=f(x)
s
y=g(x)
oa
bx
y=f(x)
oa
s bx
y=g(x)
y=f(x)
s o a y=g(x) b x
图1
图2
图3
想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
§3.1 定积分的简单应用
1
-
（一）复习回顾
定积分的几何意义
（1）当f(x)
≥0时，
b a
f (x)dx
表示的是y=f(x)
与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。
（2）当f(x) ＜0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴
b
b
所围曲边梯形的面积为
|
f(x)dx| f(x)dx
a
a
-
2
（二）例题分析