固体物理习题带答案

和
2
将
2
m 2 B 分 别 代 入 上 面 运 动 方 程 ， 得 到 ( ) 和 A 2 cos aq
2
m 2 B ( ) 。 A 2 cos aq
2
B B B 在波矢去边界值时， ( ) 0 ， ( ) 。所以对于声学支 ( ) 是轻原子保持 A A A B 不动，光学支 ( ) 0 上是重原子保持不动。 A 2． 如 果 将 一 维 单 原 子 链 中 的 原 子 的 振 动 位 移 写 成 如 下 形 式 ：
如 图 所 示 。 各 晶 面 到 原 点 的 垂 直 距 离 ： dn
2 n 。因此，其面间距为 hb1 kb2 lb3
d
2 。 hb1 kb2 lb3
3． 试写出简单立方，面心立方，体心立方的初基矢量以及相应的倒格矢。 解： 简单立方的初基矢量和倒格矢相同，面心立方和体心立方的初基矢量和倒格 矢分别是面心立方的倒格矢为体心立方，体心立方的倒格矢为面心立方。具体讨 论见黄昆版《固体物理》P178. 4． 写出晶体有几大晶系，几个布拉菲格子，几个点群，几个空间群。 解：晶体中 7 大晶系，14 种布拉伐格子，32 个点群，230 个空间群。 5． 写出七大晶系 解：七大晶系分别为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、 六角晶系、立方晶系。 6． 证 明 ： 立 方 晶 系 中 ， 面 指 数 (h1k1l1) 和 (h2k2l2) 的 两 个 晶 面 夹 角 为
60 0 ,90 0 ,120 0 ,180 0 ,360 0 ，由此得出结论：任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称
素：
1,2,3,4,6 1 , 2, 3, 4, 6
。
11．
计算面心立方和体心立方的衍射结构因子，并说明它们的消光条件。

解：消光条件为： S h eiS R f 0
8． 证明：在晶体的 x 射线衍射中 为布拉格角， （1）如果波长改变，则反射线 偏转一个角度


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（ 2 ）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度 tg 。

3
tg ， 为体胀系数
解： （1） 、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有 tg 。 2d cos ，将两式组合，则可得
0 。 所 以 有
r0
m

r0
m 1
n

r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
有
m(m 1) n m r0 。 n(n 1)
（晶格常数为 a ） 。
解：与第二题同。此处略。 10． 证明晶体点阵转动对称轴只有 1，2，3，4，6。 解： （详见黄昆《固体物理》P30）设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的 格点可以用 l1a1 l2 a2 来描述。如图所示
绕转轴的任意对称操作，转过角度为： ；
B 点转到 B' 点，从而得知，该点必有一个格点； A 点和 B 点是等价的，以通过 B 点的轴顺时针转过 。 A 点转到 A' 点，从而得知该点必有
Ghkl 平行于晶向。同时对于晶面（hkl）可以得到倒格子矢量与其垂直。证明如下：
因为 ai b j 2 ij ， Ghkl hb1 kb2 lb3 ，如图所示： a1 a3 a2 a3 ，很容易证明 CA CB （上图中 h1 , h2 , h3 分别对应 hkl） h l k l Ghkl CA 0 ， Ghkl CB 0 。因此 Ghkl 与晶面族（hkl）正交。
Gh1k1l1 Gh2 k2l2 h1h2 k1k2 l1l2 。 cos 2 2 2 2 2 1/2 (h1 k1 l12 )1/2 (h2 k2 l2 ) Gh1k1l1 Gh2k2l2
0 0 0 7． 证明立方对称晶体中，介电常数张量为对角张量： 0 0 0 0 0 0
（2） 、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d 求导，则有 2d sin 。又有 为体膨胀系数：

3d 。所以得 tg 。 d 3
a
9． 证明简单立方平面族（hkl）的面间距为 d
h2 k 2 l 2
解 : （ 详 见 黄 昆 《 固 体 物 理 》 P26 ） 介 电 常 数 按 照 一 般 表 示 为 ：
D E ( ) ，其中 ， 表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z

沿立方晶体的三个立方轴的方向。 显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D ' 表示转 动后的矢量。 设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为： Dx xy E , Dy yy E , Dz zy E 。现在 考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同 转动，因此

第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有

r
m


rn
。证明：要使两原子处于平衡状

r
m


rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
结合上面两式，所以得 n m 。 第三章：晶格振动 1． 证明：由两种不同质量 M,m（M>m）的原子所组成的一维复式原子链中， 如果波矢取边界值 q 1/(2a) （ 2a 为晶格常数） ，则在声学支上，质量为 m 的轻原子全部保持不动，在光学支上，质量为 M 的重原子保持不动。 证明：关于一维复式晶格振动：
2 m 2 2 cos aq 0。 若 A、B 有非零的解，系数行列式满足 2 cos aq 2 M 2
所以解得 2
(m M ) 4mM 一维复式晶格的结果与一维单原 {1 [1 sin 2 aq]1/ 2 } 。 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2

2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
质量为 M 的原子位于 2n 1,2n 1,2n 3 。
质量为 m 的原子位于 2n,2n 2,2n 4 。
牛顿运动方程：
2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 ) m 体系 N 个原胞，有 2 N 个独立的方程。 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) M
cos h1h2 k1k2 l1l2 2 2 2 1/ 2 (h k l12 )1/ 2 (h2 k2 l2 )
2 1 2 1
解： 面指数为(h1k1l1)的晶面与倒格矢 Gh1k1l1 相互垂直。面指数为(h2k2l2)的晶面与倒格 矢 Gh2 k 2l2 垂 直 。 因 此 两 个 晶 面 的 夹 角 即 为 两 个 倒 格 矢 的 夹 角 。 因 此 其 夹 角 为
D ' x Dz zy E D ' y Dy yy E D ' z Dx xy E
但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体 的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
D' D 。将其带入转动后的变换式就得到 xy zy , zy xy 。表明 xy zy 0 。
1 E ，绕[1 1 1]转动 2 / 3 ， 3
使 z 轴 转 到原 x 轴 ， x 轴 转 到原 y 轴 ， y 轴 转 到原 z 轴 ， 电位 移 矢 量转 动后 应 写成
D ' x Dz zz ， D ' y Dx xx ， D ' z Dy yy ，也皆为
第一章：晶体结构 1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。 证 明 ： 晶 向 [hkl] 为
h1 k 2 l 3
， 其 倒 格 子 为
a a a a a a b1 2 2 3 b2 2 3 1 b3 2 1 2 。可以知道其倒格子矢量 a1 (a2 a3 ) a1 (a2 a3 ) a1 (a2 a3 )
一个格点； 且有 B A n AB ，其中 n 为整数。从而有 B A (1 2 cos ) AB ， 1 2 cos n 。
' '
' '
cos (1 n) / 2 ， cos 1,0.5,0,0.5,1 。所以 n 只能取值 1,0,1,2,3 ，相应的角度：
所以得出结论晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
2 2． 晶面族(hkl)的面间距 d 与倒格矢 K hb1 kb2 lb3 的关系是 d K
证明：因为 (hb1 kb2 lb3 ) x 2n ， n 取不同值代表一个一族晶面系中，不同的晶面。




i[t ( 2 na ) q ]
方程解的形式： 2 n Ae
， 2 n 1 Be
i[t ( 2 n 1) aq ]
带回到运动方程得到：
(2 m 2 ) A (2 cos aq) B 0 。 (2 cos aq) A (2 M 2 ) B 0
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
如果取 E 沿 z 方向并绕 z 轴转动 / 2 ，显然将可以按相同的办法证明 xy yz 0 。这样 我们就证明了， 的非对角元都等于 0.于是一般表达式将化为 D E ( x, y, z ) 。 再取沿电场[1 1 1]方向，则 Dx xx , Dy yy , Dz zz ，皆为
1 E 。和前面论证一样，电场 3
'
实际未变，晶体所经历的是一个对称操作，晶体也完全不变，所以 D 应和 D 相同。从而可
以得到 xx yy
0 0 0 zz 0 。由此得到介电常数张量为对角张量： 0 0 0 。 0 0 0