1.2.4
绝对值(一)
【基础平台】 1.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.
2.______31=+;______45=--;______3
2=-+. 3.______510=-+-;______36=-÷-;______5.55.6=---.
4.______的相反数是它本身,_____的绝对值是它本身,_______的绝对值是它的相反数.
5.一个数的绝对值是3
2,那么这个数为______. 6.当a a -=时,0______
a ;当0>a 时,______=a . 7.绝对值等于4的数是______.
8.绝对值等于其相反数的数一定是…………………………………………………〖 〗
A .负数
B .正数
C .负数或零
D .正数或零 【自主检测】
1.______5=-;______3
12=-;______31.2=-;______=+π. 2.523-的绝对值是______;绝对值等于5
23的数是______,它们互为________. 3.在数轴上,绝对值为4,且在原点左边的点表示的有理数为________.
4.如果3-=a ,则______=-a ,______=a .
5.下列说法中正确的是………………………………………………………………〖 〗
A .a -一定是负数
B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C .若b a =则a 与b 互为相反数
D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数
6.给出下列说法:①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于本身的数只有正数;③不相等的两个数绝对值不相等;④绝对值相等的两数一定相等.
其中正确的有………………………………………………………………………〖 〗
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
7.如果a a 22-=-,则a 的取值范围是 …………………………………………〖 〗
A .a >O
B .a ≥O
C .a ≤O
D .a <O 8.在数轴上表示下列各数: (1)212
-; (2)0; (3)绝对值是2.5的负数; (4)绝对值是3的正数.
9.某企业生产瓶装食用调和油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有0.002L误差.现抽查6瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记作负
请用绝对值知识说明:
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?
绝对值应用(讲义) ? 课前预习 1. a 的相反数是_______,a b -的相反数是_______,a b c -+的相反数是 ________;若0a b c -+<,则a b c -+=________. 2. 已知0a c <<,0ab >,b c a <<,在下图数轴上标出b ,c 的大致位置. 3. 当a >0时,a =____,a a =____;当a <0时,a =____,a a =____. ? 知识点睛 1. 去绝对值: ①看_____,定_____;②依法则,留_____;③去括号,合并. 2. 分类讨论: ①_____________________________________________; ②_____________________________________________. 3. 绝对值的几何意义: a b -表示在数轴上数a 与数b 对应点之间的距离. ? 精讲精练 1. 小明得到了一个如图所示的数轴草图,他想知道一些式子的符号,请你帮他 完成. a -____0,a b +____0,a b -____0,b a -____0.(填“>”、“<”或“=”) a 2. 设有理数a ,b ,c 在数轴上的对应点如图所示,则b -a ____0,a +c _____0.化简2b a c a c a -+-+-=____________. 3. 设有理数a ,b 在数轴上的对应点如图所示,化简1a b a b b +---+-. 01a b
4. 已知0a c <<,0ab >,b c a >>,化简b a b c a b c -++-++. 5. 已知0c a <<,0ab <,a c b >>,化简a a c b c b a -+----. 6. 已知0a b +<,化简13a b a b +----. 7. 若15x -=,1y =,则x y -的值为__________________. 8. 若24x +=,3y =,则x y +的值为_________________. 9. 若4a =,2b =,且a b a b +=+,则a b -的值是多少?
绝对值几何意义和绝对值方程 Ⅰ重点突破 重点针对复习 【重点知识点1】绝对值的几何意义 [针对训练1] (南雅-15)1.阅读材料,回答下列问题: 数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如,两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示; 在数轴上,有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|=2; 在数轴上,有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣(﹣2)|=7; 在数轴上,有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|=5; 在数轴上,有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣(﹣5)|=3;…… 如图1,在数轴上有理数a对应的点为点A,有理数b对应的点为点B,A,B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|,记为|AB|=|a﹣b|=|b﹣a|. (1)数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于;数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为;若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A,B之间的距离|AB|=2,则x等于; (2)如图2,点M,N,P是数轴上的三点,点M表示的数为4,点N表示的数为﹣2,动点P表示的数为x. ①若点P在点M,N之间,则|x+2|+|x﹣4|=;若|x+2|+|x﹣4|═10,则x=; ②根据阅读材料及上述各题的解答方法,|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于.
2.先阅读,后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值,也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|可以看做|5﹣(﹣2)|,表示5与﹣2的差的绝对值,也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离. (1)如图,先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位,得到点C,则点B和点C表示的数分别为和,B,C两点间的距离是; (2)数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为;如果|AB|=3,那么x为; (3)若点A表示的整数为x,则当x为时,|x+4|与|x﹣2|的值相等; (4)要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是. 3.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题: (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是;表示﹣3和2两点之间的距离是;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|.如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3,那么a=. (2)若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间,则|a+4|+|a﹣2|的值为; (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x,使得|x+2|+|x﹣5|=7,这些点表示的数的和是. (4)当a=时,|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小,最小值是.
绝对值 学习目标: 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题的成功. 学习重点:绝对值的概念 学习难点:绝对值的概念与两个负数的大小比较 教学方法:学生自主探索 教学过程 一、学前准备 问题:如下图 小红和小明从同一处O出发,分别向东、西方向行走10米,他们行走的路线(填相同或不相同),他们行走的距离(即路程远近) 二、合作探究、归纳 1、由上问题可以知道,10到原点的距离是,—10到原点的距离也是 到原点的距离等于10的数有个,它们的关系是一对 . 定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作∣a∣ 2、练习 (1)式子∣-5.7∣表示的意义是 . (2)—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位,记作 . (3)∣24∣= . ∣—3.1∣= ,∣—1 3 ∣= ,∣0∣= . 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知:一个正数的绝对值是;一个负数的绝对值是它的;0的绝对值是 . 用式子表示就是: 当a是正数(即a>0)时,∣a∣= ; 当a是负数(即a<0)时,∣a∣= ; 当a=0时,∣a∣= . 4、随堂练习 P11第1、2、3大题
5、阅读思考,发现新知 阅读P12,你有什么发现吗? 在数轴上表示的两个数,右边的数总要 左边的数 也就是:(1)正数 0,负数 0,正数大于负数. (2)两个负数,绝对值大的 . 三、巩固新知,灵活应用 1、例题 P13 2、比较下列各对数的大小:—3和—5; —2.5和—∣—2.25∣ 四、小结: 本节课的收获: 你还有什么疑惑? 五、当堂清 1.______7.3=-;______0=;______75.0=+-. 2.______31=+;______45=--;______3 2=-+. 3.______510=-+-;______5.55.6=---. 4.______的相反数是它本身,_____的绝对值是它本身,_______的绝对值是它的相反数.
绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念,应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时,首 先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言,它的绝对值表示为:|x|. 一. 绝对值的实质: 正实数与零的绝对值是其自身,负实数的绝对值是它的相反数,即 也就是说,|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之,任何实数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义: 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A.2a+3b-c B.3b-c C.b+c D.c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解:由图形可知a<0,c>b>0,且|c|>|b|>|a|,则a+b>0,b-c<0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c=b+c,故应选(C). 三. 绝对值的性质: 1. 有理数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值,并且任何一个有理数都不大于它的绝对值,即x≤ |x|。 3. 已知一个数的绝对值,那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等,则这两个数不一定相等(显然如|6|=|-6|,但6≠-6),只 有这两个数同号,且这两个数的绝对值相等时,这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件,确定绝对值里代数式的正负,再利 用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知:|x-2|+x-2=0, 求:(1)x+2的最大值;(2)6-x的最小值。 解:∵|x-2|+x-2=0,∴|x-2|=-(x-2) 根据绝对值的概念,一个数的绝对值等于它的相反数时,这个数为负数或零, ∴x-2≤0,即x≤2,这表示x的最大值为2 (1)当x=2时,x+2得最大值2+2=4; (2)当x=2时,6-x得最小值6-2=4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论.即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数,求x的最大值. 解:由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)=0,整理得|x-2|+|x|+2x-2=0 令|x-2|=0,得x=2,令|x|=0,得x=0 以0,2为分界点,分为三段讨论: (1)x≥2时,原方程化为x-2+x+2x-2=0,解得x=1,因不在x≥2的范围内,舍去。 (2)0≤x<2时,原方程化为2-x+x+2x-2=0,解得x=0 (3)x<0时,原方程化为2-x-x+2x-2=0,从而得x<0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0,所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程.即整体配凑,借用已知条件确定绝对值里代数式的正负,再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|=2-a,求a的取值范围。 解:根据已知条件等式的结构特征,我们把a-2看作一个整体,那么原式变形为|a-2|=-(a-2),又由绝对值概念知a-2≤0,故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义.即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负,再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算. 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|=4的x的取值范围. 解:原式可化为|x-3|-|x-(-1)|=4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知,小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
知识精讲 绝对值的几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值 号. ②一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负号,绝对值是5. 求字母a 的绝对值: ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ②(0)(0)a a a a a ≥?=?- ③(0)(0)a a a a a >?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c = 绝对值的其它重要性质: (1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥,且a a ≥-; (2)若a b =,则a b =或a b =-; (3)ab a b =?;a a b b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==; a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. a b -的几何意义:在数轴上,表示数a .b 对应数轴上两点间的距离. 绝对值
【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是( ) A .±2 B.2 C .-2 D .4 【例2】下列说法正确的有( ) ①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数的两个数的绝对值相等;④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数. A .②④⑤⑥ B .③⑤ C .③④⑤ D .③⑤⑥ 【例3】如果a 的绝对值是2,那么a 是( ) A .2 B .-2 C .±2 D.12 ± 【例4】若a <0,则4a +7|a |等于( ) A .11a B .-11a C .-3a D .3a 【例5】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是( ) A .1,0 B .正数 C .非正数 D .非负数 【例6】已知|x |=5,|y |=2,且xy >0,则x -y 的值等于( ) A .7或-7 B .7或3 C .3或-3 D .-7或-3 【例7】若1-=x x ,则x 是( ) A .正数 B .负数 C .非负数 D .非正数 【例8】已知:a >0,b <0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( ) A .1-b >-b >1+a >a B .1+a >a >1-b >-b
绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义,了解绝对值的表示法,会计算有理数的绝对值; 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义,根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数,检测结果为:-20,+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。 2、绝对值的性质: (1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质; a (a >0) (2) |a|= 0 (a=0) (代数意义) -a (a <0) (3) 若|a|=a ,则a≥0;若|a|=-a ,则a≤0; (4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a , 且|a|≥-a ; (5) 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;(几何意义) (6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=| |||b a (b≠0); (7) |a|2=|a 2|=a 2 ; (8) |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|
【经典例题】 【例1】(2011青岛)若ab<|ab|,则下列结论正确的是( ) A.a <0,b <0 B.a >0,b <0 C.a <0,b >0 D.ab <0 【例2】(2011莱芜)下列各组判断中,正确的是( ) A .若|a|=b ,则一定有a=b B.若|a|>|b|,则一定有a >b C. 若|a|>b ,则一定有|a|>|b| D.若|a|=b ,则一定有a 2=(-b) 2 【例3】(2011日照)有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A .2a+3b-c B .3b-c C .b+c D .c-b 【例4】(2009淮安)如果a a -=||,下列成立的是( ) A .0>a B .0 一、基础知积: 1、几何绝对值概念----在上,一个数到的距离叫做该数的绝 对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示的点 的距离 2、代数绝对值概念:---一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零,即: I a I = {a,(a > 0)0(a=0) 3、绝对值性质: (1)任何的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性; (2)绝对值等于0的数只有一个,就是0。 (3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数或相等。 (4)互为相反数的两个数的绝对值相等。 (5)正数的绝对值是它本身。 (6)负数的绝对值是它的相反数。 (7)0的绝对值是0。 4、绝对值其它性质: (1)任何一个数的绝对值都不少于这个数,也不少于这个数的相反数。 即:I a I> a; I a I> -a; ⑵若I a I = I b I 则a=b 或a=-b (3)I ab I = I a I * I b I ; I a/b I = I a I / I b I (b 工0) (4) I a I 2= I a2I =a2 (5) I a I - I b I 知识精讲 绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负号,绝对值是5. 求字母a的绝对值: ① (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ②(0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? ③(0) (0) a a a a a > ? =? -≤ ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0 a b c ++=,则0 a=,0 b=,0 c= 绝对值的其它重要性质: (1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥,且a a ≥-;(2)若a b =,则a b =或a b =-; (3)ab a b =?; a a b b =(0) b≠; (4)222 |||| a a a ==; a的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. a b -的几何意义:在数轴上,表示数a.b对应数轴上两点间的距离.【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是() A.±2 B.2 C.-2 D.4 绝对值 绝对值与一元一次方程 一、形如| x +a | = b 方法:去绝对值符号 例1:| 2x – 1 | = 3 例2:4+2|x| = 3 |x|+2 二、绝对值的嵌套方法:由外向内逐层去绝对值符号 例1:| 3x – 4|+1| = 2 例2:x– 2|-1| =3 三、形如:| ax + b | = cx+d绝对值方程 方法:变形为ax + b =±(cx+d)且 cx+d≧0才是原方程的根,否则必须舍去,故解绝对值方程时必须检验。 例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5 利用“零点分段“法化简 方法:求零点,分区间,定正负,去符号 例1:化简:| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2:|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简:1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、 四、“零点分段法”解方程 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零,得若干个绝对值为零的点,这些点把数轴分成几个区间,再在各区间内化简求值即可。 例1:| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2:| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 | 练习:解方程 1、3| 2x – 1 | = |-6| 2、││3x-5│+4│=8 3、│4x-3│-2=3x+4 4、│2x-1│+│x-2│=│x+1│ 提高题: 1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解,求a的值和方程的解 2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,?求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题) 3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况. 绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义,了解绝对值的表示法,会计算有理数的绝对值; 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义,根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数,检测结果为:-20,+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。 2、绝对值的性质: (1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质; a (a >0) (2) |a|= 0 (a=0) (代数意义) -a (a <0) (3) 若|a|=a ,则a≥0;若|a|=-a ,则a≤0; (4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a , 且|a|≥-a ; (5) 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;(几何意义) (6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=| |||b a (b≠0);初中绝对值知识
绝对值的性质及运用
绝对值与方程及几何意义解题
绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案