线性规划典型习题

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。

在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。

以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。

每天的加工时间总共有16个小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。

工厂的目标是最大化每天的总利润。

解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。

3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。

b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。

4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。

最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。

通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。

同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。

此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。

例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。

在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。

这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。

总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。

通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。

线性规划建模习题2.某医院昼夜24小时各时间段内需要的护士数量如下：2:00～6:00 10人；6:00～10:00 15人；10:00～14:00 25人；14:00～18:00 20人；18:00～22:00 18人；22:00～2:00 12人。

护士分别于2:00、6:00、10:00、14:00、18:00、22:00分六批上班，并连续工作8小时。

试确定：(a)该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要；(b)若医院可聘用合同工护士，上班时间同正式工护士。

若正式工护士报酬为10元/小时，合同工护士为15元/小时，问医院聘用正式工和合同工护士各多少人成本最低？3.某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：(1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；(2)只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；(3)于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；(4)于三年内的第三年初允许投资，一年收回，可获利40%，投资限额为10万元。

试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。

8.市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1～4月每月需10000件，5 ～9月每月30000件，10 ～12月每月需100000件；产品II在3 ～9月每月15000件，其他月每月50000件。

某厂生产这两种产品成本为：产品I在1 ～5月内生产每件5元，6 ～12月内生产每件4.5元；产品II 在1 ～5月内生产每件8元，6 ～12月内生产每件7元。

该厂每月生产两种产品能力总和不超过120000件。

产品I容积每件0.2立方米，产品II每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米。

要求：(1)若占用本厂每月每立方米库容需1元，该厂应如何安排生产计划，才能在满足市场需求的前提下，确保生产加库存费用最低？(2)上述问题是否有可行解？(3)若该厂仓库不足时，可从外厂租借，租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少？15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂，供应1000个用户。

线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过线性函数的约束条件来求解目标函数的最大或最小值。

在实际问题中，线性规划经常被用来解决资源分配、生产计划、运输问题等。

下面我将为您提供一道线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解线性规划的应用。

题目：某公司生产两种产品A和B，每个单位的产品A需要2个单位的原材料X和1个单位的原材料Y，每个单位的产品B需要1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y。

公司每天可用的原材料X和Y分别为10个单位和15个单位。

产品A的售价为100元/单位，产品B的售价为150元/单位。

假设公司希望最大化每天的总收入，请问应该生产多少单位的产品A和产品B？解答：首先，我们需要定义决策变量。

设产品A的产量为x个单位，产品B的产量为y个单位。

然后，我们需要建立目标函数和约束条件。

目标函数：总收入 = 100x + 150y约束条件：1. 原材料X的使用量：2x + y ≤ 102. 原材料Y的使用量：x + 3y ≤ 153. 产量非负：x ≥ 0, y ≥ 0接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解最优解。

首先，将目标函数和约束条件转化为标准的线性规划形式：目标函数：Maximize 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0, y ≥ 0然后，我们可以使用单纯形法或其他线性规划求解方法来求解最优解。

在这里，为了简化计算，我们使用图形法来求解。

首先，将约束条件转化为直线的形式：2x + y = 10x + 3y = 15然后，我们可以画出约束条件所对应的直线。

在坐标系中，标出两个直线的交点，即可确定可行域。

接下来，我们需要计算目标函数在可行域内的各个顶点的值，并比较得出最优解。

通过计算，我们得到以下结果：顶点A(0, 5)：总收入 = 100 * 0 + 150 * 5 = 750顶点B(5, 0)：总收入 = 100 * 5 + 150 * 0 = 500顶点C(3, 2)：总收入 = 100 * 3 + 150 * 2 = 750因此，最优解为在顶点A和顶点C处取得，即生产5个单位的产品A和2个单位的产品B，总收入为750元。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。

已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。

二、数据分析1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。

2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。

3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。

三、数学建模设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。

约束条件：1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。

2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。

3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

四、求解过程1. 构建线性规划模型：最大化目标函数 Z = 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。

五、最优解分析经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。

六、结论为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。

七、敏感性分析通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。

1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加100元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加150元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

3. 公司每天可用的原材料X的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

4. 公司每天可用的原材料Y的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

线性规划习题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，产品A每个单位利润为3万元，产品B每个单位利润为4万元。

公司有两个生产部门，分别是部门X和部门Y。

部门X每天最多能生产100个单位的产品A或者50个单位的产品B；部门Y每天最多能生产80个单位的产品A或者70个单位的产品B。

公司每天总共有160个单位的产品A的市场需求和120个单位的产品B的市场需求。

二、数学建模1. 定义变量：设X为部门X每天生产的产品A的数量，Y为部门Y每天生产的产品A的数量；设U为部门X每天生产的产品B的数量，V为部门Y每天生产的产品B的数量。

2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即Maximize Z = 3X + 4U + 3Y + 4V。

3. 建立约束条件：a) 部门X每天生产的产品A和产品B的数量不能超过其生产能力，即X ≤ 100，U ≤ 50；b) 部门Y每天生产的产品A和产品B的数量不能超过其生产能力，即Y ≤ 80，V ≤ 70；c) 公司每天生产的产品A和产品B的数量不能超过市场需求，即X + Y ≤ 160，U + V ≤ 120；d) 所有变量的值必须是非负的，即X ≥ 0，U ≥ 0，Y ≥ 0，V ≥ 0。

三、线性规划模型求解利用线性规划模型进行求解，可以使用各种数学软件或者在线工具进行计算。

四、求解结果及分析经过计算，得到最优解为：X = 60，Y = 100，U = 0，V = 20。

此时，最大利润为(3*60 + 4*0 + 3*100 + 4*20) = 540万元。

五、结论根据线性规划模型的求解结果，为了最大化利润，公司应该将部门X每天生产60个单位的产品A，部门Y每天生产100个单位的产品A，部门Y每天生产20个单位的产品B。

这样可以获得最大利润540万元。

简单的线性规划典型例题例1画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．例3求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直， 所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．例4若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

一、思考题1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。

7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。

8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。

9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。

1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。

2． 线性规划的可行解集是凸集。

3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。

4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。

5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。

6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。

7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。

8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。

9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。

10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。

习题一P .361. 一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A,B,C 三种混纺毛料,生产1单位产品需要的原料如下表所示.三种产品的单位利润分别是4,1,5.每月可购进的原料限额为羊毛8000单位,兔毛3000单位,问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润?解：设生产A,B,C 三种产品的量分别是123,,x x x ，则模型为123123123123max 4538000..243000,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩2. 某饲料厂生产的一种饲料由6种配料混合配成.每种配料中所含营养成分A,B 以及单位配料购入价由下表所示.每单位饲料中至少含9单位的A,19单位的B.问饲料厂如何配方,使得饲料成本最低且满足要求?解：设每单位饲料中每种配料所需的量为()1,2,3,4,5,6i x i =，则有1234561345623456123456min 3530605027122229..33219,,,,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++≥⎧⎪++++≥⎨⎪≥⎩4. 某产品的一个完整单位包括四个A 零件和三个B 零件.这两种零件(A 和B)由两种不同的原料制成,而这两种原料可利用的数量分别是100单位和200单位.三个车间进行生产,而每个车间制造零件的方法各不相同.下表中给出每个生产班组的原料耗用量和每一种零件的产量.目标是要确定每一个车间的生产班组数使得产品的配套数达到最大.解：设每个车间的生产组数分别为123,,x x x ，则可生产()()123123768594min ,43x x x x x x y ++++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭个单位产品，则线性规划如下：123123123123123max 853*********..76845943,,0yx x x x x x s t x x x y x x x yx x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≥⎨⎪++≥⎪⎪≥⎩6． 设123,,,A A A 三地各有某种纺织原料90,30,70吨,需要调运给12345,,,,B B B B B 五地,后者各需要80,10,30,50,20吨.从()1,2,3i A i =到(1,2,3,4,5)j B j =的路程(千米)如下表所示.现要求设计一个调拨方案,使得总运输吨公里数最少.解: 设从()1,2,3i A i =运往()1,2,3,4,5j B j =的运量为ij x ，则线性规划模型为如下形式，其中ij c 表示从i A 到j B 的运价。

线性规划经典例题线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下找到目标函数的最大值或者最小值。

它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

下面将介绍一个经典的线性规划例题，并详细解释其求解过程。

例题描述：某工厂生产两种产品：产品A和产品B。

每天工厂有8个小时的生产时间，其中产品A的生产时间为4个小时，产品B的生产时间为6个小时。

产品A每件利润为200元，产品B每件利润为300元。

工厂有两个工序，每件产品A需要1个小时的工序1和2个小时的工序2，每件产品B需要2个小时的工序1和1个小时的工序2。

工序1每天最多可用的时间为5个小时，工序2每天最多可用的时间为6个小时。

问工厂每天应该生产多少件产品A和产品B，才干使利润最大化？解答过程：首先，我们需要定义决策变量。

设x为产品A的生产数量，y为产品B的生产数量。

其次，我们需要建立目标函数。

根据题目要求，我们的目标是最大化利润。

利润可以通过产品A和产品B的数量和利润率计算得出。

产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件，因此目标函数可以表示为：目标函数：Z = 200x + 300y然后，我们需要建立约束条件。

根据题目要求，工厂的生产时间和工序时间有限制。

产品A的生产时间为4个小时，产品B的生产时间为6个小时，因此约束条件可以表示为：约束条件1：4x + 6y ≤ 8工序1每天最多可用的时间为5个小时，工序2每天最多可用的时间为6个小时，因此约束条件可以表示为：约束条件2：x + 2y ≤ 5约束条件3：2x + y ≤ 6此外，由于生产数量不能为负数，我们还需要添加非负约束条件：约束条件4：x ≥ 0约束条件5：y ≥ 0综上所述，我们的线性规划模型可以表示为：最大化目标函数：Z = 200x + 300y约束条件：4x + 6y ≤ 8x + 2y ≤ 52x + y ≤ 6x ≥ 0y ≥ 0接下来，我们需要求解这个线性规划问题。