§2.6 对数与对数函数
1．对数的概念
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N
＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n
m log a M .
(2)对数的性质
①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b
(a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. (√)
(2)2log510＋log50.25＝5. (×)
(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. (√)
(4)log2x2＝2log2x. (×)
(5)当x>1时，log a x>0. (×)
(6)当x>1时，若log a x>log b x，则ab>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1
log23
，
b＝log510＝1＋log52＝1＋1
log25
，
c＝log714＝1＋log72＝1＋1
log27
，显然a>b>c.
3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则() A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C ．2lg x ·lg y
＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y
答案 D
解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故选D.
4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
答案 (－1
2
，＋∞)
解析 函数f (x )的定义域为(－1
2，＋∞)，
令t ＝2x ＋1(t >0)．
因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，
t ＝2x ＋1在(－1
2
，＋∞)上为增函数，
所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－1
2
，＋∞)．
5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 1
8x )>0的解集为________________．
答案 ⎝⎛⎭⎫0，1
2∪(2，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13
⇒x >2或02，
∴x ∈⎝⎛⎭
⎫0，1
2∪(2，＋∞).
题型一 对数式的运算
例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－
x )2等于 ( )
A.94
B.54
C.103
D.43
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，
则f (f (1))＋f (log 31
2)的值是
( )
A ．5
B ．3
C ．－1 D.7
2
思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3；
(2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；
f (lo
g 31
2)可利用对数恒等式进行计算．
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3， 2－x ＝
33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43
. (2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 31
2＋1
＝3log 32＋1＝2＋1＝3.
所以f (f (1))＋f (log 31
2
)＝2＋3＝5.
思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x ，x ≥4，
f (x ＋1)，x <4，
则f (2＋log 23)的值为________．
答案
1
24
解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，
所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(1
2
)log 23
＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质
例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是
( )
(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，
b ＝f (log 2
13)，c ＝f (0.2－
0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )
