模块综合测评(一)
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1,2)，则a ＋b 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．－2
C [由已知得－b a ＝－1＋2，2a
＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C ．] 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )
A ．π12
B ．π6
C ．π4
D ．π3
B [因为a ＝2，c ＝2，
所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C
， 故sin A ＝2sin C ．
又B ＝π－(A ＋C )，
故sin B ＋sin A (sin C －cos C )
＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C
＝(sin A ＋cos A )sin C
＝0．
又C 为△ABC 的内角，
故sin C ≠0，
则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1．
又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4
． 从而sin C ＝12
sin A ＝22×22＝12． 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6
． 故选B ．]
3．已知一个等差数列{a n }的第8,9,10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项a n 等于( )
A ．2n －5
B ．2n －9
C ．2n －13
D ．2n －17
D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17．]
4．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
B
5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( )
A ．45
B ．75
C ．180
D ．300
C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90．
∴a 4＋a 8＝2a 6＝2×90＝180．]
6．下列不等式中，恒成立的是( )
A ．x ＋1x ≥2(x ≠0)
B ．x 2－2x －3>0
C ．2x 2－x ＋2x 2－x ＋1
>1 D ．log 12(x 2＋1)≥0 C [当x <0时，x ＋1x ≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x 2＋1≥1，则log 12
(x 2＋1)≤log 12
1＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x ＋2>x 2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]
7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92
D ．5 C [∵2y ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a
，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ·b a ＝9， ∴y min ＝92
，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．] 8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1
(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．110 D ．15
D [当n ≥2时，由已知得1－
a n a n －1＝a n a n ＋1－1， ∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1
，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15
．] 9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )
A ．可以是R 中的任何一个数
B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求
C ．有且仅有一个
D ．不存在
B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a
＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B ．] 10．若数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n(n ∈N *),则a 4等于
A.11
B.15
C.17
D.20
A
11．已知{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 10=9,a 3+b 8=15,则a 5+b 6等于
A.18
B.20
C.21
D.32
C
12．如图1所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A ．20(2＋6)海里/小时
B ．20(6－2)海里 /小时
C ．20(3＋6)海里/小时
D ．20(6－3)海里/小时
B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，
由MS ＝20，MN ＝v 2，则v
2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°
＝20(6－2)．] 二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知x >1，y >1，且ln x,1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________．
2e [由已知ln x ＋ln y ＝2，∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e ．
当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e ．]
14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋
20×192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20． ∴S 10＝10a 1＋10×92
d ＝200－90＝110．] 15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________．
2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，∴sin A ＝32．∴cos A ＝12或－12
． ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ，∴AB →·AC →＝2或－2．]
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．
20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x
＋4x ≥2 1 600x ·4x ＝160．当且仅当1 600x
＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]
