一次函数与不等式的关系

象y１点在找y２分点的界下线方）
所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1
例2：已知函数y1=5x+4，y2=2x+10，利用函数图像求： 1、当x为何值时，y1=y2？ 2、x为何值时，y1<y2？ 3、你能求出两函数图像与x轴所围成的三角形的面积吗？
解：画出y 直线y1=5可x以+4看与出直，线它y们2=交2x点+的1横0，坐标为2，
∴原不等式的解是: x>2 (2)作出函数 y = 2x -4 的图象(如图)
从图像观察知，当x>2时 直线上的点在x轴上方，即 y > 0
因此当 x > 2 时函数的值大于0。
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0 或ax+b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解
一元一次不等式可以看作：
解不等式ax+b<0(a， b是常数，a≠0) ．
解不等式ax+b<0(a， b是常数，a≠0) 的解集． 从“形”的角度看
求直线y= ax+b在 x
轴下方的部分（射线）
所对应的的横坐标的 取值范围．
画出函数y=－2x+4的图像，利用图像求：（1）不等
探 式－2x+4>0的解集． 究 （2）不等式－2x+4≤0的解集． 一 （3）当2≤y≤6时,x的取值范围. 下 你是怎样做的？与同伴交流。
从“数”的角度看
解不等式ax+b＞0(a， b是常数，a≠0) ．
解不等式ax+b＞0(a， b是常数，a≠0) 的解集． 从“形”的角度看
求直线y= ax+b在 x
轴上方的部分（射线）
所对应的的横坐标的 取值范围．
知识总结
y=ax+b
y
b a
x
x为何值时 函数y= ax+b的值 小于0．
从“数ห้องสมุดไป่ตู้的角度看
3、已知函数y=-3x+6，利用图像求当x <_2_ 时，y>0.当x_>_8/3_时，y≤-2。
及时反馈
4、如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交于点（-2，2）
则当x_＞__-2_时，y1＜y2，当x_<_-2__时，y1>y2，当x_=_-2__时， y1=y2 解：观察图像： 1、在交点（ - 2 ，2）的右侧，直线y1在 直线y2的下方，对于同一个x的值， y1＜ y2，所以当x＞-2时y1＜y2 2、在交点（ - 2 ，2）的左侧，直 线y1在直线y2的上方，对于同一个x 的值， y1>y2，所以当x<-2时y1>y2
3、在交点（ - 2 ，2）处 即x=-2时， y1=y2
知识回顾
1、一元一次不等式与一元一次方程、一次 函数的关系
1
A(-5,0) B(- ,0) C(2,14)
2
S△ABC= 1 AB.CD
2
y C(2,14)
= 1 x 21 x 14 25
y2=2X+10
B(-1 ,0)
A(-5,0) 0 2 2
x
= 147 5
4
y1=5x+4
5
知识总结
y
y=ax+b
0
b a
x
x为何值时 函数y= ax+b的值 大于0．
自变量x为何值 时两个函数y=k1x+b1 从“数”的角度看 与y=k2x+b2的值相等． 并求出这个函数值
解方程组 a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c
解方程组a1 x b1 y c1 从“形”的角度看 a2 x b2 y c2
确定两直线交点的 坐标.
问题探究
解(1)移项得:5x - 3x > 10 - 6 合并,得 2x > 4 化系数为1,得x >2
y=5x-5：
y
01 -1
转化为函数解析式
：画图象 x (观察x在什么范围时图象上
的点是在x轴的下方)
所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1
找分界点
方法二:
把不等式6x-3＜x+2的两边看成 是两个函数:即y１=6x-3,y２=x+2
y
转化为两个函数 画出两个函数图象
找出交点
0 12 x -2
（观察x在什么范围时图
当一次函数的值大于（或小于)0时，求自变量
相应的取值范围。从图像上看，这又相当于求“直 线y=ax+b在x轴上方的部分（或下方的部分）的横 坐标的范围”
想一想：
y 4 y=-2x-5 3
如果y=-2x-5,
2 1
那么当x取何 值时，y>0?
-3 -2 -1-01 -2
解：由图可知，
-3 -4
当x<-2.5时,y>0
-5
x 1 23 4
八年级 数学
第十一章 函数
例1:用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10
解法1:原不等式化为3x -6<0, 画出直线y = 3x -6(如图)
可以看出,当x<2 时这条直线上
的点在x轴的下方, 即这时y = 3x -6 <0 所以不等式的解集为x<2
找分界点
解法二：画出函数 y = 2x+10 y = 5x+4图象
y2=2X+10
（1）、当x=2时， y1=y2。 （2）、当x＜2时，对于同一个X，直线
x0 y1=5x+4
y1=5x+4上的点都在直线
2
x
y2=2x+10上相应点的下方，
所以：当x＜2时， y1<y2
点评：学习数学需要我们善于观察，寻找
知识之间的联系。
(3)解：如图所示：分别求A,B,C三点的坐标:
九年级数学
青岛版
利用一次函数的图象求 一元一次不等式的解集
知识回顾
1、一次函数与一元一次方程的关系
X为何值时 函数y= ax+b的值
为0
从数的角度看
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解
从形的角度看
确定直线y= ax+b 与X轴交点的横坐标
2、 一次函数与二元一次方程组：
从图中看出：当x <2时
找分界线
直线 y = 5x +4 在 y = 2x +10的下方
即 5x+4 < 2x +10 ∴ 不等式 5x+4 < 2 x +10 的解集是
x <2
两种解法都把 解不等式转化 为比较直线上 点的位置的高
低
尝试一下 利用图象求不等式6x-3＜x+2的解
方法一: 不等式化为5x-5＜0： 将方程变形为ax+b＜0的形式
解：（1）－2x+4＞0的解集
y
为：x＜2
6
4
（2）－2x+4≤0的解集 为：x≥2
（3）x的取值范围是： -1≤x≤1
2 -1 0 1 2 x
及时反馈
1、在一次函数y=2x-3中，已知x=0则 y= -3 ；若已知y=2则x= 2.5 ；
2、当自变量x >-2/3 时，函数y=3x+2的 值大于0；当x__<-2_/3_ 时，函数y=3x+2的 值小于0。