留数定理在广义积分中的应用

2007 1
九江职业技术学院学报
( 林金火: 留数定理在广义积分中的应用)
85
∃
+! 0
1
x +
2
x
4
d
x
=
1 2
+! -!
1
x +
2
x
4
dx
(
∀
被积函数是偶函数)
=
1 2
#
2
i( 1 - i + 42
- 1 - i) 42
=
2
2
+!
2、计算 f ( x ) eimxdx ( m > 0) 型积分。
ipeip z [ ( z + ai) 2 -
2eipz ( z + ai ) 3 ] | z = ai = -
i 4 a3( 1+
ap ) e- pa
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+!
∃
0
(
cos x 2+
px a 2)
2dx
=
1 +! 2 -!
(
cos x 2+
px a2)2
dx
=
1 2
K
es
{
2
iKes [ f ( z ) eip t, ai] } =
i] =
( 2 n - 3) !!
( 2 n - 2) !!
+!
例 2、计算积分
0
1
x +
2
x
4
d
x
解: ∀
函数 f ( z ) =
x2 1+ x4
在上 半平 面内 有
z
=
2 2
+
2 2
i
及
z
=-
2 2
+
2 2
i
一级极点。而
K es [
f
(z
),
2 2
+
2 2
i
]
=
(z -
2 2
-
2 2
i
)
f
(
z
)
6dx
解: ∀ f ( z ) =
z 2-
z 5z +
6 在上半平面 Imz
>
0 内 无奇
点, 在实轴上只有两个一级极点 x 1 = 2, x 2 = 3。
+!
∃
-!
z eiz z2 - 5z +
dz 6
=
i{ K es [ f ( z ) eie, 2] +
Kes [ f ( z ) eiz , 3] }
+!
则
-!
x cosx x 2- 5x +
6 dz
=
K e[ i( - 2e2i +
3e3i ) ] =
( 2sin2 - 3sin3)
+!
例 5、计算狄里克雷( Dir ichlet) 积分
0
si n x x
dx
解: 由于被积 函数 是偶 函数, 所以
+! 0
si n x x
d
x
=
1 +! 2 -!
令
( z) =
1 Z + 1+ i
Kes[ f ( z ) , - 1+ i] =
n- 1(- 1 + i) ( n - 1) !
=
2n2n-
3 2
#
2 2
n n
-
5 4
#
1 2
#
1 2i
=
(2n(2n-
3) 2)
! !
! !
#
1 2i
+!
于是
-!
( x 2+
dx 2x +
2) n
=
2
iKes[ f ( z ) , - 1 +
LI N Jin- huo ( M eizhouw an V ocational & T echnical Colleg e, Putian, F ujian, 351254) Abstract: Improper integral is applied widely in solving concrete problems. In the calculat ion of some types of improper integ ral, it& s troublesome to use the metho d of mathematical analysis, while it& s r at her simple to use residues theorem to solve. Key words: Residues theorem, Improper integral
复杂。因此 本文介绍的应用复变函数中留数定理的方法计算
一些类型的广义积分, 显得比较简单。为此, 先给出留数及留
数定理。
定义: 设函数 f ( z ) 在点 z 0 的去心邻域 D: 0< | z - z 0 |
< 内解析, z 0 是 f ( z ) 的孤立奇点。函数在 孤立奇点 z 0 的
留数定义为
( 1+ ap ) 4 a3 epa
3、计算 + ! f ( x ) eimxdx ( m > 0) 型但积分路 径上有奇点
-!
的积分
当被积函数 f ( x ) 是 x 的有理函 数, 且分母的次数至少比 分子的次数高 一次, 设 f ( x) 在 实轴上 除去有 限多个一 级极
点 x 1, x 2, , x p 外处处解析, 在上半平面 I mz > 0 内除去有
单闭 曲 线 C, 其 内 部 为 D, 选 取 适 当 函 数 f ( z ) ( 通常 是 将 f ( x ) 的 自变量 x 扩充到复平 面上) , 然后在 D 上对 f ( z ) 应
用留数定理, 这样就把实轴上 f ( x ) 的积分 转化为计 算 f ( z ) 在 D 内奇点的留数与那部分附 加曲线上 的积分, 将问 题大大
+!
p
, ap , 则
f ( x ) dx =
-!
2
i K es [ f ( z ) , ak] k= 1
。
例 1、计算积分
+! -!
( x2 +
dx 2x +
2) n
解: ∀
函数 f ( z ) =
(z2+
1 2z +
2) n =
(z +
1-
1 i) n( z +
1+
i) n 在上半平面内只有
z = - 1 + i 一个 n 级极 点。
2
从上面例题的解法 可以看 出, 应 用留数 定理求 一些类 型
的广义积分显然简 洁、简 便的多。 当然利用 留数定 理计算 积
分也有其局限性, 不可能应 用它来 解决所 有的复 杂积分 的计
算问题。
Application of Residues Theorem to Improper Integral
p
i
K es [ f
( z ) eimz , ak] 。
k= 1
特别 地, 将 上 式 分 开 实 虚 部, 就 可 以 得 到 形 如
+!
+!
f ( x ) cos mx dx 及 f ( x ) sin mx dx 的积分。
-!
-!
+!
例 3、计算积分
-!
cos ( x 2+
px a 2)
2
d
x
处处解析, 那么 f ( z ) dz = 2 i n K es [ f ( z ) , z k] 。
c
k= 1
应用留数基本定理计算 某些类 型实函 数的积分 , 其 大致
思想是: 为了求 实函数 f ( x) 在 实数轴 上或实 数轴上的 某一 段 L 上的积分, 我们在 L 上适当 附加某一曲 线使其构 成一简
-!
当被积函数 f ( x ) 是 x 的有理函 数, 而分母的次数至少比
分子的次数高一次, 并且 f ( x ) 在实 轴上没有奇 点时, 积分是
存在的。若设 f ( x ) 在上半平面 I mz > 0 内的极点为 a1, a2 ,
+!
, ap , 则 - ! f ( x ) eimxdx =
2
限 多 个 极 点 z 1, z 2 , , z q 外 处 处 解 析, 则 积 分 是 存 在 且
+!
f ( x ) eimxdx =
-!
p
i
Kes [ f ( z ) eimz , xk ] +
2
q
i
Kes [ f ( z ) eimz ,
k= 1
k= 1
z k]
+!
例 4、计算积分
-!
x cosx x2 - 5x +
九江职业技术学院学报
2007 1
84
Journal of Jiujiang Vocational & T echnical College
留数定理在广义积分中的应用
林金火
( 湄洲湾职业技术学院, 福建莆田 351254)
摘 要: 在实际问题中, 往往需要计算广义积分, 有些广 义积分的计 算如果用 数学分析中 计算广 义积 分的方法往往是十分麻烦的, 但如果应用留数定理来计算就显得比较简洁。
1 2i
f ( z ) dz , 记作 K es[ f ( z ) , z 0] 。其 中 C 包
c
含在 D 内且围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线。
留数定理: 设 C 是一 条正向的 简单闭曲线, 若函 数 f ( z )
在 C 上及 C 的内部 D 除去有 限个孤 立奇点 z 1, z 2 , , z n 外
关键词: 留数定理; 广义积分 中图分类号: O 172 2 文献标识码: A 文章编号: 1009- 9522 ( 2007) 01- 0084- 02
在平时, 经常会碰到广义积分的计算问题, 如果用数学分 析中计算广义积分的方法, 有时显得很麻烦, 经常要验证广义
积分的一致收敛问题, 还有一些需要引进参变量、利用积分号 下求导的方法进行求解等等。然而用这些方法计算过程比较
s
in x
x
d
x
设 f(z) =
1 z
, 从而 f
( z ) eiz
=
e iz z
∀ 点 z = 0 是 f ( z ) 的一级极点。
∃
+! 0
sin x
x
d
x
=
1 2
+! -!
s
in x
x
d
x
=
1 2
Im{
+! -!
eix x
d
x
}
=
1 2
Im{
iK es[
e iz z
, 0] }
=
1 2
Im{
i , 1} =
(
p
>
0, a >
0)
解: 令 f ( x) =
(
x
2
1 +
a2
)
2,
这样被积分函数
就可以写成
f ( x ) cos px 的形式, 显然它是偶函数。
∀f(z) =
(
z
2
1 +
a 2)
2
在上半平面 内只有
一个二 级极点
z = ai
而 K es [ f ( z ) eipz , ai ] = [ ( z - ia) 2 f ( z ) eip z ]% | z = ai =
简化了。下 面通过举例阐述怎样利用留数定理求某些类型的
广义积分值。
+!
1、计算 f ( x ) dx 型积分
-!
当被积 函数 f ( x ) 是 x 的有 理函数, 而 分母 的次数 至少
比分子的次数高二次, 并且 f ( x ) 在 实轴上没 有奇点, 积分是
存在的。若设 f ( z ) 在上 半平 面 Im Z > 0 的极 点 为 a1 , a2,
z=
2 2
+
2 2
i
=
1- i 42
Kes [ f ( z ) , -
2 2
+
2 2
i
]
=
(z +
2 2
-
2 2
i)
f
(
z
)
z =-
2 2
+
2 2
i
=
- 1- i 42
收稿日期: 2006- 07- 15 作者简介: 林金火 ( 1963- ) , 男, 福建莆田人, 湄洲湾职业技术学院基础部数学教师。