1矢量分析
1.在球面坐标系中，当ϕ与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。
2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。
3. 矢量场在闭合面
的通量定义为
，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。
4. 矢量场在闭合路径
的环流定义为
，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。
5.标量场u（r）中，（）的定义为，
其中n为变化最快的方向上的单位矢量。
6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。任一矢量的旋度的散度恒为（）。
7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，
，所以
是个（），而
是个（），
是个（）。
8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。
9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标
10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。
11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。
13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
14. 旋度为零的矢量场叫做（）
15. 标量函数的梯度是（），如静电场
16．无旋场的（）不能处处为零
17. 散度为零的矢量场叫做（）
18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场
19．无散场的（）不能处处为零
20．一般场：既有（），又有（）
21．任一标量的梯度的旋度恒为（）
22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。
23．给定三个矢量
和
：
求：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)在
上的分量：
(6)；
(7)；
(8)和
。
24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、
(4，1，－3)和
(6，2，5)。
(1) 判断是否为一直角三角形。
(2) 求三角形的面积。
25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。
26．给定两矢量和
，求
在
上的分量。
27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量，
，而
，和
已知，试求。
28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，
求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。
29．用球坐标表示的场，
(1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的
和
；
(2) 求与矢量
构成的夹角。
30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量
和
。证明
和
间夹角的余弦为
提示：
，在直角坐标中计算。
31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：
的值。
32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量
验证散度定理。
33．求(1)矢量的散度；
(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；
(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
34．计算矢量对一个球心在原点，半
径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。
35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求
对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
36．求矢量沿圆周
的线积分，再计算
对此圆面积的积分。
37．证明：（1），（2）
，（3）
，其中
为一常矢量。
38．一径向矢量场用，
表示，如果
，那么函数
会有什么特点呢？
39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点到
的线积分
的值，这个是保守场吗？
40．求标量函数的梯度及
再一个指定方向的方向导数。此方向由
单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。
41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下
的计算式。
42．方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。
43．现有三个矢量场
问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示？
（2）求出这些矢量的源分布。
44．利用直角坐标证明：45．证明：
46．利用直角坐标证明：
