太阳影子定位问题(数学建模 )

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针对问题二,附件 1 给出了 2015 年 4 月 18 日时,某个固定直杆在水平地面上的太 阳影子的顶点坐标数据,但规定的 ������轴方向和������轴方向未知。可将顶点坐标数据转化为 影长������,从而经问题二转化为问题一的逆向求解,由于未知参量较多,先通过引入影长 比������������消除杆高ℎ未知的影响,再采用最小二乘法拟合的方法【2】求解即可。
������ = 15∘(������ − 12)(18������0∘ )
{
������
=
������������

120∘ − 15∘
������������
其中,自变量为������、������������、������������、������������、ℎ,因变量为������。
4.1.3 影子长度关于各参数的变化规律
(1) 地方时 t :以一个地方太阳升到最高的地方的时间为正午 12 时,将连续两个正 午 12 时之间等分为 24 个小时,所成的时间系统,称为地方时。
������
=
������������
+
������������
− 120∘ 15∘
其中:������������为北京时间;������������为当地的地理经度。
������ = 15∘(������ − 12)(18������0∘ ) (4)赤纬δ:是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角,由于地球的公转, 它每时每刻都在变化着,其中在春分和秋分时刻等于零,而在夏至和冬至时刻有极值, 分别为正负 23.442°,太阳赤纬角在公转运动中任何时刻的具体值都是严格已知的, 利用查得的公式【2】可以得出结果
δ = 0.006918 − 0.399912 cos ������ + 0.070257 sin ������ − 0.006758 cos 2������ + 0.000907 sin 2������ − 0.002697 cos 3������ + 0.00148 sin 3������ ������ = 2������(������ − 1)/365
3.模型假设与符号系统
3.1 模型的假设
(1)假设地球是一个规则的球体; (2)假设直杆在测量过程中相对地面是完全静止的; (3)假设太阳光线为平行光线,且测量时天气晴朗; (4)忽略大气层对太阳光的折射、高山阻挡、海拔高度等因素的影响; (5)假设一天中太阳直射点的纬度不变。
3.2 符号系统
符号 ������ ������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������
2.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型,用 以确定其所处的地点。再将附件 1 的影子顶点坐标数据代入该模型,求解出所有可能的 地点。
3.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型,用 以确定其所处的地点和日期。将附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据带入模型,一次 性给出若干个可能的地点与日期。
关键词:太阳影子 最小二乘拟合 图像处理 灰度值坐标 Otus 最大类间误差法
1.问题重述
如何确定一个视频所处的拍摄地和拍摄日期是视频的数据分析的重要内容,而其中 一种方法就是太阳影子定位技术,即通过分析视频里物体太阳影子的变化来确定视频拍 摄地和日期。在本文中,我们将研究以下几个问题:
1.由于太阳影子的长度是随着各种因素的变化而变化的,因此建立影子长度变化的 数学模型,然后分析长度关于各个参数的变化规律,将 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场(北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒)3 米高的直杆这些条件带入模型,画出影子长度的变化曲线。
图 4 影长随经度的变化规律
(4)当真实杆高ℎ、北京时间������������、经度������������、日序������固定时,影子长度������随着纬度������������的 变化呈现出从赤道处往两极方向增长的趋势。并且出现一个峰值。如下图:
图 5 影长随纬度的变化规律
(5)当真实杆高ℎ、北京时间������������、纬度������������、经度������������固定时,影子长度������随着日序������的 增加呈现先减少后增加的趋势。如下图:
太阳影子定位的计算模型 摘要
本文研究的内容是如何提取视频中物体的太阳影子的变化数据,并且依据该数据利 用太阳影子定位技术来确定视频拍摄的地点及拍摄日期。
针对问题一,首先我们明确了太阳影子的长度������和日序������、北京时间������������、纬度������������、经 度������������、真实杆高ℎ这几个因素有关,然后我们查阅了相关资料,通过太阳高度角α、时角 ������、赤纬δ这几个量将上述几个参数联系起来,从而建立了有关影长变化的数学模型,根 据该模型利用MATLAB做出影长关于各参量的变化ຫໍສະໝຸດ Baidu,并分析了其变化规律,最后将问 题一中所给条件代入模型中,作出了太阳影子长度变化曲线。
δ = 0.006918 − 0.399912 cos ������ + 0.070257 sin ������ − 0.006758 cos 2������ +
0.000907 sin 2������ − 0.002697 cos 3������ + 0.00148 sin 3������
������ = 2������(������ − 1)/365
其中:������是地球公转的相对角度,������是以每年 1 月 1 日为第一天开始计算的日序。
上述定义中所提及的各角度汇总见下图:
图 1 太阳高度角、太阳赤纬示意图
4.1.2 影子长度变化的数学模型
根据假设,视太阳光为平行光,竖立在 A 地的直杆在太阳光 CD 的照射下形成影子 AD,示意图如下:
问题三相较问题二又多了一个代求参量日序������,我们仍沿用上问的模型,根据附件 2、3 的数据用最小二乘法拟合的方法求解,得到附件 2 可能的测量地点和日期为:新疆 维吾尔自治区喀什地区,5 月 26 日(79.8255°E,40.0325°N,������ = 146);附件 3 可能 的测量地点和日期为:湖北省神农架林区,11 月 17 日(110.3718°E,31.5198°N,������ = 321)。
(2)当真实杆高ℎ、经度������������、、纬度������������日序������固定时,影子长度������随着北京时间������������的 增加呈现先减少后增加的趋势。如下图:
图 3 影长随北京时间的变化规律
(3)当真实杆高ℎ、北京时间������������、纬度������������、日序������固定时,影子长度������随着经度������������的 变化出现两个峰值。如下图:
针对问题三,附件 2、3 给出的是某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐
标数据,且规定的 ������轴方向和������轴方向未知,相较第二问多了一个待求参量日序������。沿用 上述模型,算法复杂度仅有较小的常数级数增长,沿用第二问的算法理论上仍可行。
针对问题四,我们首先将视频材料以 3 分钟为间隔得到 14 张静态图片,对这些图 片进行灰度处理,然后采用 Otus 最大类间误差法把杆子和影子从背景中分割出来,从 而得到影子实际长度和灰度值坐标的转换关系,最终得到了 8:54-9:33 每隔 3 分钟的影 子长度,再利用问题二和问题三的模型即可求得拍摄地点和日期。
针对问题四,我们首先将视频材料以 3 分钟为间隔得到 14 张静态图片,对这些图 片进行灰度处理,然后采用 Otus 最大类间误差法把杆子和影子从背景中分割出来,从 而得到影子实际长度和灰度值坐标的转换关系,最终得到了 8:54-9:33 每隔 3 分钟的影 子长度,再利用问题二模型得出视频的拍摄地点为:内蒙古鄂尔多斯市 (109.45°E,39.65°N,),假设拍摄日期也未知,则利用问题三的模型求解出的拍摄日序 为 203 即 7 月 22 日,与真实时间 7 月 13 日误差较小,说明模型较为精确,得到的结果 较为可靠。
(2)太阳高度角 【1】:对于地球上的某个地点来讲,太阳光线的入射方向和该地与地
心相连的地表切面的夹角。 (3)时角������【2】:这是天文学中的名词,某个天体的时角被定义为该天体的赤经(RA)与 当地的恒星时(LST)的差值,即恒星时减去赤经。所以,一个天体的时角表示该天体 是否通过了当地的子午圈。它的数值则表示了该天体与当地子午圈的角距离,并借用时 间的单位,以小时来计量(1HA = 15 度)。如果以北京时间为标准时间,则有:
根据上述模型,我们分别取杆高ℎ、北京时间������������ 、经度������������ 、纬度������������ 、日序������ 为唯一 变量,代入求解得到以下结论:
(1)当北京时间������������、经度������������、纬度������������、日序������固定时,影子长度������随着真实杆高ℎ的 增大而增大。
4.根据附件 4 里视频中太阳影子的变化,并且已经通过一定方法得知了杆子的高度, 请建立一个能确定视频拍摄地点的数学模型,然后用该模型去确定可能的拍摄地点,如 果拍摄日期也未知,考虑能否根据视频确定出拍摄地点和日期。
2.问题分析
针对问题一,首先我们明确了太阳影子的长度������和日期������、北京时间������������、纬度������������、经 度������������、真实杆高ℎ这几个因素有关,然后我们查阅了相关资料,通过太阳高度角α、时角 ������、赤纬δ这几个量将上述几个参数联系起来,从而可以建立有关影长变化的数学模型, 将问题一中所给条件代入模型即可作出太阳影子长度变化曲线。
符号说明 太阳影子的长度
直杆高度 太阳高度角
纬度 经度
赤纬 时角 地球公转的相对角度 以每年 1 月 1 日为第一天开始计算的日序 北京时间 当地地方时
单位 米 米 度 度 度
度 / / 天 / /
4.模型的建立与求解
4.1 问题一的分析与求解
4.1.1 模型的准备
我们先将本问题中需要用到的名词进行解释,具体如下:
������ = 294 ������������ = ������������������������ 9 ������������ 15 可以得到如下太阳影子长度变化的曲线。
问题二实为问题一中模型的逆向思考。问题实质为,在已知影长������、日序������和北京时 间������������的的情况下求可能的经度������������、纬度������������。为此我们引入了一个新的参量影长比������������以消 除附件所给数据中杆高ℎ未知的影响,再利用影长比������������ 的变化建立了直杆地点的空间匹 配模型,结合附件 1 所给数据,采用最小二乘法拟合的方法求解得到可能的目标地点为: 海南省东方市(108.7118°E,19.2360°N)。
4.1.4 按题目条件求解
图 6 影长随日序的变化规律
根据上述所建立的模型,将 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安
门广场(北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒)3 米高的直杆这些条件
代入,即已知
ℎ=3 ������������ = 39.9072254°������ ������������ = 116.3913982°������
图 2 直杆投影的几何模型
由图可知,直杆的长度ℎ与其太阳影子������的长度之间有如下关系:
������ = ℎ cot ������ 联系以上各关系式可以得到如下的有关影子长度变化的数学模型:
������ = ℎ cot ������
sin ������ = sin ������������ sin ������ + cos ������������ cos ������ cos ������