函数知识点整理

偶函数×偶函数=偶函数； 偶函数×奇函数=奇函数．
（5）函数奇偶性的性质：
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数；
③ 若 f (x) 为偶函数，则 f (x) f (x) f (| x |) ；
（2）判断奇偶性的步骤：
【步骤】 ① 看定义域是否是关于原点对称的区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函 数）
② 找 f x 与 f x 之间的关系，
若 f x f x ，那么 f x 就叫做偶函数；若 f x f x ，那么 f x 就叫
（2）可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围；
（3）
y

ax b cx d
型函数，可先分离常数，利用不等式的性质来求解，或者可先画
出其图像，利用函数的单调性求函数的值域；
（4） y ax b ，当 a,b 异号时可利用单调性求值域；当 ab 0 时，该图像即是 x
我们所熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的
⑦
形如 y

ax cx

b d
(c

0,ad

bc)
的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
x


d c
(由分母为零确定)和直线
y

a c
(由分子、分母中
x
的系数确定)，对称中心是
点
(
d c
,
a c
)
；
⑧ | f (x) | 的图像先保留 f (x) 原来在 x 轴上方的图像，作出 x 轴下方的图像关于
数集）．
5．函数的周期性
定义：设函数 f (x) ， x D ，如果存在非零常数T ，使得对任意的 x D ，都有 f (x T ) f (x) ，则称 f (x) 为周期函数， T 为 f (x) 的一个周期，周期函数的周 期往往不唯一．
【思考】若 f (x T ) f (x) ，则函数 f (x) 的周期为多少？
且一个周期 为T 2|a b |；
③ 如果函数 y f (x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x b(a b) ，则 函数 y f (x) 必是
周期函数，且一个周期为T 4 | a b | ；
6．函数的单调性
（1）定义：一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个
数集合 D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则 f ，y 都有唯一确定的实数值
与它对应，那么 y 就是 x 的函．数．，记作 y f (x) ，（ x D ）， x 叫做自．变．量．， y 叫
做因．变．量．， x 的取值范围 D 叫做定．义．域．，和 x 对应的 y 的值叫做函．数．值．，函数值 的集合叫做函数的值．域．． 【小贴士】 据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点，但与 y 轴垂线的公共点可能
5 分函数图像如下：
这种函数叫做阶梯函数； 【补充】 确切的说[ ] 表示不超过括号内实数的最大整数，即[x] 表示不超过 x
的最大整数，如1.5 1,1.5 2
4．函数的奇偶性 （1）函数奇偶性的定义：
偶函数的定义：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，
【温馨提示】 （1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？ （3）两个函数相等：当两个函数的定义域、对应法则及值域均相等，则两个函 数相等. 当然，当定义域和对应法则均相等的时候，两个函数的值域也必然相等，因此， 定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法 则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. （4）函数的三种表示法：解．析．法．、．列．表．法．、．图．像．法．. （5）分段函数：当一个函数可以用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段 函数
④ 点 (x, y) 关于原点的对称点为 (x, y) ；函数 y f x关于原点的对称曲线方 程为 y f x；
⑤ y f (x a) 是将 y f (x) 的图像向左 (a 0)（右 (a 0) ）平移 a 个单位得到；
⑥ 曲线 f (x, y) 0 关于点 (a,b) 的对称曲线的方程为 f (2a x, 2b y) 0 ；
类题型有时也可以 用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后，
再利用基本不等式：（注意：当分式是最简分式，并且自变量 x 没有其它限制时， 可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件 比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克 函数求解）.
（2）函数的积、差、商：
【注意】 ① 两个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时， 他们的和函数无意义； ② 在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函．数．值．为．零．的 x 的值。
（3）阶梯函数:在函数 y [ x ] 中，[ ] 表示取括号内实数的整数部分，其部
那么 f x 就叫做偶函数；
奇函数的定义：如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，
那么 f x 就叫做奇函数；
【注意】 ① 定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶） 函数的必要条件； ②“定义域内任一个”：意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质 ③ 使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 x 的恒等式而不是方程.
f (x T ) 1 时呢？ f (x T ) 1 时呢？
f (x)
f (x)
【复习小贴士】 ① 若 y f (x) 图像有两条对称轴 x a, x b(a b) ，则 y f (x) 必是周期函数， 且一个周期
为T 2|a b |； ② 若 y f (x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a b) ，则 y f (x) 是周期函数，
⑩ 函数 y f x+ a 的图像是把函数 y f x助图像沿 y 轴向上 (a 0) (向下 (a 0) )
平移 a 个单位
得到的；
2．函数关系的建立
在解决实际问题中，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示 出来，这个过程叫做建模；
建立函数关系是表示函数对应关系的一种常用方法，在建立的函数关系的后 面必须标明函数的定义域，其值域由定义域和对应法则确定，这时函数的三要素 就完全具备了．
（3）奇偶函数的图像
f (x) 为奇函数 f (x) 图像关于原点对称；
f (x) 为偶函数 f (x) 图像关于 y 轴对称．
（4）根据规律判断函数的奇偶性：
偶函数+偶函数=偶函数； f (x) 0 ）
奇函数+奇函数=奇函数； 奇函数×奇函数=偶函数；
偶函数+奇函数=非奇非偶函数；（不含常值函数
没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与 x 轴垂直的直线，与图 像最多只有一个交点.
【说明】 如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有 意义的实数 x 的集合.
（2）函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定．义．域．、值．域．和对．应．法．则．．
【求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）】 （1）根据解析式要求,如:偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零， （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围. （3）复合函数的定义域：若已知 f (x) 的定义域为[a,b百度文库 ,其复合函数 f [g(x)] 的定
建立函数关系常用方法：（1）代入法；（2）构造法；（3）待定系数法；（4）
换元法；（5）函数方程法．
3．函数的运算 （1）函数和：一般地，已知两个函数 y f (x)(x D1) ，y g(x)(x D2 ) ，
设 D D1 D2 ，并且 D 不是空集，那么当 x D 时， y f (x) 和 y g(x) 都 有意义，于是把函数 y f (x) g(x)(x D) 叫做函数 y f (x) 与 y g(x) 的 和．
x 轴的对称图形，然后 擦去 x 轴下方的图像得到； f (| x |) 的图像先保留 f (x) 在 y 轴右方的图像，擦
去 y 轴左方的图像，
然后作出 y 轴右方的图像关于 y 轴的对称图形得到；
⑨ y f (ax) 是将 y f (x) 的图像横坐标扩大 (0 a 1) （缩小 (a 1) ） 1 个单位得到 a
义域由不等式 a g(x) b 解出即可；若已知 f [g(x)] 的定义域为[a,b] ,求 f (x) 的
定义域，相当于当 x [a,b] 时，求 g(x) 的值域（即 f (x) 的定义域）.
【求函数值域的方法】
（1）二次函数类型 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m, n] 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最 值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间 的相对位置关系）；
④ 若奇函数 f (x) 定义域中含有 0 ，则必有 f (0) 0 ．故 f (0) 0 是 f (x) 为奇函
数的既不充分 也不必要条件；
⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与 一个偶函数的和（或差）”；
⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；
⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（ f (x) 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个
是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件；
（5）单调性法—— 一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型， 就可以考虑利用
单调性来求解，包括数列的最大最小项问题；
（6）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、 直线斜率、等等；
（7）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这
【求函数解析式的常用方法】
（1）待定系数法――已知所求函数的类型； （2）代换（配凑）法――已知形如 f (g(x)) 的表达式，求 f (x) 的表达式； （3）方程的思想――已知条件是含有 f (x) 及另外一个函数的等式，可抓住等
式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 f (x) 及另外一个函数的方程 组.
做奇函数；
若两者都不成立，则 f x 就叫做非奇非偶函数；若两者都成立，则 f x 既是
奇函数又是偶函数.
【提醒】 若函数 y f (x) 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反
之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若 y f (x) 是奇函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0（这里要强调的是 f (0) 一定要存在才 可以用）；反之不然，如： f (x) x2 2x ， f (0) 0 ，但是 f (x) 为非奇非偶函数．
二、函数的图像
1、常见的函数图像的变换
① 满足条件 f x a f b a 的函数的图像关于直线 x a b 对称；
2
② 点 (x, y) 关于 y 轴的对称点为 (x, y) ；函数 y f x关于 y 轴的对称曲线方程
为 y f x；
③ 点 (x, y) 关于 x 轴的对称点为 (x, y) ；函数 y f x关于 x 轴的对称曲线方程 为 y f x；
函数
函数
定义域
定义、三要素 值域
函数概念
对应法则 图像法
函数的表示方法 列表法
解析法 函数简单应用
函数关系式的建立
分段函数
函数的和
函数运算
奇偶性
性质
函数的积 基本性质
单调性
最值 零点
周期性
其他性质
对称性
1.理解函数的有关概念 （1）函数的定义：在某个变化过程中有两个变量 x、y ，如果对于 x 在某个实