数值分析典型例题
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数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？
解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保
留小数点后三位才可以。ln2≈0.693 第二章典型例题
例1 用顺序消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧1
-=4+2+4=+2+31-=4++2321
321321x x x x x x x x x 解 顺序消元
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⋅+-⋅+-⋅+1717005.555.00141
25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解
x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T
例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧5
=+2+23=++1=2-2+321
321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=+++5223122)
(2)(1)1(3
)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0
X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⨯-⨯-=-=+--==+⨯+⨯-=3
532123
351515232)2(3)
2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T
第3次迭代，k =2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯-⨯-==+---==+-⨯+-⨯-=1
5)3(2521
3)3(511)3(2)3(2)2(3)
3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T
第4次迭代，k =3
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-⨯-==+--==+⨯+⨯-=1
512121
311111212)2(3)
2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T
例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛
德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为
A ＝⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-122111221 于是
D ＝⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 D －1＝D
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=022001000L ~
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，
消元得到
⎩
⎨
⎧=+--=-5.35.125
.15.03232x x x x 是应填写的内容。 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧5
=+2+23
=++1
=2-2++321
321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)
1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)
答案：)(3)1(13k k x x --+
解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2
的值时应该用上x 1的新值。 第三章典型例题
例1 已知函数y =f (x )的观察数据为
x k －2 0 4 5 y k
5
1
－3
1
试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数
845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=
0)
)(())()(())(()(x x x x x x x l
40
5-4-2+=5-04-02--05-4-2+=
1)
)()(())())((())()(()(x x x x x x x l
24
5-2+-=5-40-42+45-2+=2)
)(())()(()()()(x x x x x x x l
35
)
4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=
--+-+=
x x x x x x x l 所求三次多项式为
P 3(x )=∑=n
k k k x l y 0)( ＝
84
5-4-⨯
5-)
)((x x x ＋
40
5-4-2+)
)()((x x x －24
5-2+⨯3-))(()(x x x ＋
35
4-2+)
()(x x x ＝1+21
55-141-42523x x x
f (－1)≈P 3(－1)＝7
24=1+21
55-14
1-425-
例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，
),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明： (1) 1≡∑0
=n
k k
x l
)( (2)
),...,,,()(n m x x x l
m n
k m
k k
210=≡∑0
=
证明 (1) P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=n
k k k x l y 0
)(
)()()(),()!
()
()()(x R x P x f x n f x R n n n n n +=∴1+=
1+1+ωξ
当f (x )≡1时，
1＝)()!()
()()()()(x n f x l x R x P n n k
k k n n 1+1+0
=1++
⨯1=+∑ωξ 由于0=1+)()
(x f n ，故有1≡∑0
=n
k k x l )(
(2) 对于f (x )=x m ,m =0,1,2,…,n ，对固定x m (0≤m ≤n ), 作拉格朗日插
值多项式，有