前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=，
v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(⎰⎰⎰⎰--=
--++
⎰⎰⎰⎰----=---=10
2
1
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u
v u u u u u ⎰
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则2
1t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
⎰+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
⎰
+-=10
4
2
d )21(2t t t 1516513
2
21
053=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令⎰
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
⎰
,
解得34=
A 。因此3
10
3)(2-=x x f 。 3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222
-+=y x z 在)
,(00y x 处
的
法
向
量
为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲
面 22
22
-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y y f e xe
=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )
(y y f e xe
=的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+
'--=''= 3
22
232)]
(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故
nx
n e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰
=
10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因⎰
=
1
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===⎰f t f g ，
因此，当0≠x 时，⎰=x
u u f x x g 0
d )(1)(，故
0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→⎰f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='⎰， 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(x
t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y
y x ye
y xe .
