推荐-流体力学课件：量纲分析和相似理论

9 量纲分析和相似理论
流体力学的研究方法包括理论分析，科学实验，数值模 拟。其中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论 的准绳，具有很重要的作用。
本章将探讨其理论基础： 1.量纲分析 2.相似理论
§9.1 量纲 §9.2 量纲分析法 §9.3 相似理论基础 §9.4 模型实验
▪ 量纲分析和相似理论不仅在流体力学中有许多的应用， 而且也广泛地应用于其他领域。
▪ 应用量纲分析和相似原理，可以科学地组织实验和整理 实验成果。对于复杂流动问题建立物理量之间的联系。
§9.1 量纲
量纲分析的基本概念
1.量纲和单位 量纲：表征物理量性质和类别。如长度、时间、质量、速度、压强等。 单位：表征物理量的大小。如m、kg、N、N/m2等。 2.基本量纲和诱导量纲
基本量纲是具有独立性的量纲，即不能从别的量纲导出的量纲。在流 体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L，时间量纲T，质量量纲M。
大小
单位制
国际单位制
物理量q
类别
量纲
英
制
基本量纲
导出量纲 量纲幂次式
§9.1 量纲和谐原理
任何物理量x的量纲可写成 dimx= ML T
流体力学中常用的量纲可分为三类。 ①若= 0, ≠ 0, =0，x为一几何学的量；
②若 =0, ≠0, ≠ 0，x为一运动学的量； ③若 ≠0, ≠0, ≠0， x为一动力学的量。
§9.1 量纲
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
dim A M 1 L1T 1 dim B M 2 L2T 2 dim C M L T 3 3 3
1 1 3 1 2 3 0 1 2 3
§9.1 量纲
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：Ax、By、Cz 的幂乘积不是量纲一的量。即：
诱导量纲由基本量纲推导出来的其它物理量的量纲，如加速度的量纲 dim a=LT-2 力的量纲 dimF=MLT-2
任何物理量x的量纲可写成 dimx= ML T
§9.1 量纲
量纲分析的基本概念
1.量纲和单位 量纲：表征物理量性质和类别。如长度、时间、质量、速度、压强等。
单位：表征物理量的大小。如m、kg、N、N/m2等。 工程单位制
若某一物理量 dimx＝L0T0M0＝1
则此物理量x称为无量纲量或者纯数。
例如:水力坡度的量纲,因J＝hw/L,所以 dimJ=[L/L]=1
雷诺数
[Re]
dim
Re
vl
LT 1 L L2T 1
1
无量纲量的特点： ①无量纲量的数值大小与所采用的单位制无关。 ②无量纲量可以进行超越函数的运算。
(dim A) x (dim B) y (dim C ) z M 0 L0T 0 1
的非零解不存在。
dim A M 1 L1T 1 dim B M 2 L2T 2 dim C M 3 L3T 3
(M 1 L1T 1 ) x (M 2 L 2 T 2 ) y (M 3 L3T 3 ) z M 0 L0T 0 1
1 1 3 0 0 1 1 2 3 1 1 3 1 0 1 2 3 0 1 0
§9.1 量纲
4.量纲和谐原理
量纲和谐原理又被称为量纲齐次性原理，指凡正确反映客观规律的物 理方程，其各项的量纲都必须是一致的。这是已经被无数事实证明的客 观原理。
一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，以能量方程为例
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度系数 其他量 角速度，角加速度 应变率
dim v LT 1 dim Q L3T 1
dim g LT 2 dim m MT 1
dim ML3 dim F MLT 2
dim ML2T 2 dim L ML2T 2
1 1 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 1 0 1 2 3 0 0 1
§9.1 量纲
举例：长度、流速及密度就可以作为基本量。
dim L M L T 1 1 1 M 0 L1T 0 dim v M 2 L2T 2 M 0 L1T 1
dim M 3 L3T 3 M 1L3T 0
dim p dim dim K ML1T 2
dim ML1T 1
dim v L2T 1
dim T 1 dim xx dim T 1
dim T 2
惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能 注： 为温度量纲
dim I x dim I xy L4 dim I MLT 1
dim L ML2T 1
dim E dim W dim Q ML2T 2
dim P ML2T 3
dim MT 2
dim c p dim cv L2T 2 1 dim k MLT 3 1
dim s ML2T 2 1 dim i dim e L2T 1
§9.1 量纲
3.无量纲量
说明
p v2 z C
g 2g
方程左边各项的量纲从左到右依次为L、
L2T 2 LT 2
L
ML1T 2 ML3LT 2 L
§9.1 量纲和谐原理
例 凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程
各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐
性原理。但是在曼宁公式
C
1 n
R1/6 中，谢才系
数Biblioteka Baidu的量纲为 L1/2T ，1 R的量纲为L，n为无量纲量，
使该方程非零解不存在，要求：
1 1 3 1 2 3 0 1 2 3
则A、B、C是相互独立的， 它们可以作为基本变量。
§9.1 量纲
说明：长度、质量及时间是基本量。
dim L M 1 L1T 1 M 0 L1T 0 dim M M 2 L2T 2 M 1L0T 0
dim t M 2 L2T 2 M 0 L0T 1
(M 1 L1T 1 ) x (M 2 L 2 T 2 ) y (M 3 L3T 3 ) z M 0 L0T 0 1 1x 2 y 3z 0
1x 2 y 3z 0 1x 2y 3z 0
(dim A) x (dim B) y (dim C ) z M 0 L0T 0 1