高等数学B(下)平时作业2019春华南理工大学

《高等数学下（B）》练习题

2018-2019第二学期（2019.3））

要求：

1、直接在本文档作答（以下三种方式之一）：

（1）可输入文本和数学符号公式；

（2）插入大小合适的作答图片；

（3）若打印手写，拍照后将照片插入一个word文件中，不要几张照片压缩成一个压缩文件！）

2、在规定的时间内，按格式要求准确上传作业！不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业，本次作业题与其他学期作业题有很大变化！

3、必须提交单个的word文档！（doc或docx格式）不要用压缩文件上传！

（1）不按要求提交，会极大影响作业分数（以往学期部分同学直接在网页上答题，结果只能显示文本，无法显示公式，这样得分会受很大影响）

（2）若是图片，请将图片大小缩小后插入到一个word文件中。

（3）图片缩小方式：鼠标指向图片，右键，打开方式，画图，ctrl w，调整大小和扭曲，依据（百分比），将水平和垂直的原始数值100都改为40，另存为jpg格式。这样处理后，一个大约3M的照片会缩小至几百K，也不影响在word中的清晰度。网络上传也快！

4、认真答题，举一反三。本练习题中填空题，期末考试中将以单选题的方式考察类似问题。

祝大家学习顺利！

一、判断题

1.y‴y″−y4(y′)4+xy=0是三阶微分方程.（×）

2.y‴y″−y4(y′)4+xy=0是四阶微分方程. （×）

3.设函数f(x, y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则f(x, y)在(x0,y0)点可微.（×）

4. 设函数f(x, y)在(x0,y0)点的可微，则f(x, y)在(x0,y0)点偏导数存在.（√）

5.二重积分∬f(x,y)dσ

表示以曲面f(x,y)为顶，以区域D为底的曲顶柱体的体积.（×）

D:x2+y2≤4

6.若f(x,y) 是非负连续函数，二重积分∬f(x,y)dσ

表示以曲面f(x,y)为顶，以区域D为底的曲顶柱体的体积.（×）

D:x2+y2≤4

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7.若级数∑u n ∞n=1收敛，则lim n→∞u n =0.（×） 8.若lim n→∞u n =0,级数∑u n ∞n=1收敛.（√） 9. 若级数∑|u n |∞n=1收敛，则级数∑u n ∞n=1也收敛.（√）

10. 若级数∑u n ∞n=1收敛，则级数∑|u n |∞n=1也收敛.（×）

二、填空题

1. 微分方程 dy dx =e − x 2 的通解是_____x 2+y 2=C________.

2. 函数f(x,y)=√x 2+y 2−16定义域为___x 2+y 2>16____________.

3. 若D 是由x +y=2、x 轴、y 轴围成的闭区域,则在计算∬f(x,y)D dσ等于______0_______.

4. 级数∑（2×3n ∞n=1）收敛性为_____收敛________（填“收敛”

、“发散”或“无法判断敛散性”）. 5. 级数∑（2×13

n ∞n=1）收敛性为______发散_______（填“收敛”

、“发散”或“无法判断敛散性”）. 6.级数∑1n p ∞n=1

 ( p 为常数) ____调和级数_________.

三、解答题

11. 求微分方程 y ′+2xy =2xe −x 2 的通解.

解：y'+2xy=2xe^(-x^2)

dy/(2xdx)+y=e^(-x^2) dy/d(x^2)+y=e^(-x^2) e^(-x^2)=u -x^2=lnu

-dy/dlnu+y=u -udy/du+y=u ydu-udy=udu y/u=v dy=udv+vdu

uvdu-u*(udv+vdu)=udu

-u^2dv=udu

dv=-du/u

v=-lnu+C0

y/u=-lnu+C0

y=-ulnu+C0u

通解y=x^2e^(-x^2)+C0e^(-x^2)

12. 求微分方程y″−y′−6y=0的通解.

解：y″−y′−6y=0

特征方程为：

r²-r-6=0

(r+2)(r-3)=0

r=-2,或r=3

所以通解为：

y=c1e^(-2x)+c2e^(3x)

13. 求由方程x2+y2+z2=4z所确定的隐函数z=f(x,y)的全微分.

解：2x+2z(ðz/ðx)=4(ðz/ðx)

(4-2z) ðz/ðx=2x

ðz/ðx=x/2−z

14.若z=f(x2−y2,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求z的两个偏导数

解：令u=x+y ,v=xy

记f'1=df/du;f'2=df/dv;f''12=d^2f/dudv

dz/dx=f'1+yf'2

d^2/z/dxdy=f''11+(x+y)f''12+xyf''22+f'2

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15. 计算二重积分∬x 2ydσD ，其中D 是由直线y =x 、x =1及x 轴所围成的区域. 解： 原式=∫x 2dx 10∫ydy x

=12∫x 410dx

=110

16. 计算二重积分∬x 2dσD ，其中D 是由圆 x 2+y 2=4 和 x 2+y 2=16 之间的环形区域. 解：

17.判定级数∑1(2n+1)(2n+3)∞n=1的收敛性.

解：1）由于

|u(n)| =

√(n ³+1)-√n ³ = 1/[√(n ³+1)+√n ³] < n^(-3/2)， 而级数

∑n^(-3/2)

收敛，据比较判别法，可知原级数（绝对）收敛。

2）由于

lim(n →∞)ln[(2n+3)/(2n+1)]/(1/n)