求多边形边数的方法
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求多边形边数的方法
求多边形的边数是“多边形及其内角和”一节的常见题型,本文将举例介绍几种求多边形边数的方法,以供读者学习参考.
一. 利用多边形的内角和公式计算
例1.已知一个多边形的内角和是1440o ,则这个多边形的边数是_______. 解:设这个多边形的边数为n ,由多边形的内角和公式,得
(2)1801440n -⋅=o o , 化简得28n -=
解得10n =,即该多边形的边数为10 .
例2.已知一个多边形的每一个内角都是160o ,则这个多边形是______边形. 解: 设这个多边形的边数为n ,由多边形的内角和公式,得
(2)180160n n -⋅=o o 解得18n =
即该多边形是18边形.
二.利用多边形的内角和的特性计算
例3.在一个多边形中,除去一个内角外的其它内角之和为1205o ,则这个多边形的边数是_______.
解:因为“n 边形的内角和等于(2)180n -⋅o ”
所以,n 边形的内角和必为180o 的整倍数,
而12051806125=⨯+o o o ,(注:可知除去的这个内角度数为18012555-=o o o ) 所以该多边形的内角和应为180o 的7倍.
即27n -=,解得9n =. 即该多边形的边数为9 .
例4.已知一个多边形的所有内角与它的一个外角的和是2400o ,求这个多边形小边数.
解:因为24001801360=⨯+o o o ,又n 边形的内角和必为180o 的整倍数 , 所以该多边形的内角和应为180o 的13倍 (注:可知增加的这个外角为60o ) 即213n -=,解得15n =, 即该多边形的边数为15.
三.利用多边形的外角和性质计算
例5.已知一个多边形的每一个外角都等于30o ,则这个多边形的边数是____. 解:设这个多边形的边数为n ,由“多边形的外角和等于360o ”得
30360n =o o ,解得12n =
即该多边形的边数为12.
四.综合利用多边形的内、外角和性质计算
例6.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,那么这个多边形的边数是____.
解:设这个多边形的边数为n ,由多边形的内角和与外角和性质,得 (2)1803603n -⋅=⨯o o ,化简得26n -=
解得8n =,即该多边形的边数为8.
五.利用多边形内角的范围计算
例7.已知一个n 边形的(1)n -个内角的和为1160o ,求该多边形的边数n . 解:易知多边形的任意一个内角α是:0180α< 而这里第n 个内角的度数应为:(2)180n -⋅-o 1160o , 因此0(2)1801160180n <-⋅- n <<,而边数n 为整数,所以9n =. 六.利用多边形外角和的不变性计算 例8.已知一个n 边形的各个内角都相等,另一个2n 边形的内角也都相等,且n 边形的一个内角比2n 边形的一个内角小18o ,求这两个多边形的边数. 解:因为两个多边形的内角分别相等, 所以它们的各个外角也分别相等 由“多边形的外角和等于360o ”得: n 边形的每个外角为360n o ,2n 边形的每一个外角是3602n o ,即180n o . 因为n 边形的一个内角比2n 边形的一个内角小18o , 所以n边形的一个外角比2n边形的一个外角大18o. 即360 n o - 180 n o =18o,化简得 180 18 n = o o 解得10 n=,所以220 n= 即两个多边形的边数分别是10、20.