全等三角形专题讲解
（一）知识储备
1、全等三角形的概念：
（1）能够重合的两个图形叫做全等形。
（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
（3）全等三角形的表示：
如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
2、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例1】
如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
3、全等三角形的判定定理：
“边角边”公理：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】
“角边角”公理：
两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】
“角角边”公理：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例4】
“边边边”公理：
三边对应相等的两个三角形全等。【例5】
“斜边直角边“公理
斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】
（二）双基回眸
1、下列说法中，正确的个数是（）
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
2、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，
∠DEF的对应角是_____．
3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD
＝6，AD＝4，
那么BC等于（）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC
的度数
为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
（三）例题经典
例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．
（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．
例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．
求证：∠D＝∠B．
例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ． 求证：（1）AB ＝DC ： （2）AD ∥BC ．
例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：
如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。 答：△AOD ≌△COB ． 证明：在△AOD 和△COB 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A
∴ △AOD ≌△COB （ASA ）
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
例8：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.
例6图
例7图
例9：如图，AD=AE，∠1=∠2，点D、E在BC上，BD=CE。
求证：△ABD≌△ACE．
例10：如图，已知AD∥CB，AD=CB，AE=BF，
求证：（1）△AFD≌△BEC．（2）DF∥CE.
拓展变式
例1：如图, ∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么?
例2：要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长。写出已知和求证，并且进行证明。
例9图
实战演练一、填空题
1、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝
28∶
5∶
3，则∠α的度数为______．
2、已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ_____≌△______，理由为______．
3、已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．
4、如图，根据SAS，如果AB＝AC，＝，即可判定ΔABD≌ΔACE.
5、如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB 的距离是___________.
6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于＿＿＿＿.
7、如图，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C的对应角为，BD的对应边
为 .
第4题
E D
B
A
第5题
E
D
P
A
B
第6题
E
D
C
A
第2题第3题第1题
