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立体几何垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直
线面垂直
面面垂直；
基础篇
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）
等腰（等边）三角形中的中线
菱形（正方形）的对角线互相垂直
勾股定理中的三角形
1:1:2 的直角梯形中
利用相似或全等证明直角。
例：在正方体
中，O为底面ABCD的中心，E为
,求证：
（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1 在正四面体ABCD中，求证
变式1 如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，已知
证明：
；
变式2如图，在三棱锥
中，⊿
是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：线面垂直证明
方法
利用线面垂直的判断定理
例2：在正方体
中，O为底面ABCD的中心，E为
,求证：
变式1：在正方体
中，,求证：
变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=
.
求证：CD⊥平面A1ABB1；
变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
求证：
平面BCD；
变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥
中，
，
，
平面
．
，
，
，
求证：
平面
利用面面垂直的性质定理
例3：在三棱锥P-ABC中，
,
，
。
方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
变式1, 在四棱锥
，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且
,求证：
变式2：
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
例1 如图，已知
平面
，
平面
，△
为等边三角形，
，
为
的中点.
(1) 求证：
平面
；
(2) 求证：平面
平面
；
例2 如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（1）证明
；（2）证明
平面
；
变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，
，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．
（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；
举一反三
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
①
②
③
b∥M④
b⊥M.
其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF 及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )
第3题图
A.DP⊥平面PEF
B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m
α和m⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若
BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )
A.1
B.2
C.
D.
7.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
