一、选择题
1．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A ．600m
B ．500m
C ．400m
D ．300m
3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则
AP BP CP ++的最小值为( )
A ．8
B ．8.8
C ．9.8
D ．10
4．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（ ）cm ．
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
5．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a 、b 、c 三个正方形的面积之和为（ ）
A ．11
B ．15
C ．10
D ．22
6．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ）
A ．46
B ．6
C ．42
D ．26
7．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．12 8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A ．4
B ．16
C 34
D ．4349．下列说法不能得到直角三角形的（ ） A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形 C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
10．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ?
∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，
DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1
2
CE BE =
；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
13．在ABC ?中，90BAC ∠=?，以BC 为斜边作等腰直角BCD ?，连接DA ，若
22AB =42AC =DA 的长为______．
14．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ?的周长为_______________．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．
16．在ABC ?中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ?的面积为______2cm ．
17．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.
18．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．
19．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是
2
π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ?都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；
（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；
（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．
23．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）当2t =秒时，求PQ 的长；
（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？
（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．
24．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；
（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；
（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．
25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
26．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，
①如图1，若90ACB ∠=?，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.
（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=?，4BC =，求ABC 的面积. 27．在ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这
个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项． 【详解】
解：A 选项不能证明勾股定理；
B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()2
21
42
a b ab c +=?
+，可得222+=a b c ；
C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(
)2
211
22
22
a b ab c +=?+，可得
222+=a b c ；
D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式
22211
2222
c ab a b ab +?=++?，可得222+=a b c ．
故选：A ． 【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
2．B
解析：B 【分析】
由于BC ∥AD ，那么有∠DAE=∠ACB ，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED ，利用AAS 可证△ABC ≌△DEA ，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC ，即可求CE ，根据图可知从B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可． 【详解】 解：如右图所示， ∵BC ∥AD ， ∴∠DAE=∠ACB ， 又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ， ∴∠ABC=∠DEA=90°， 又∵AB=DE=400m ， ∴△ABC ≌△DEA ， ∴EA=BC=300m ， 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC +=500m ，
∴CE=AC-AE=200，
从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m ；②BC+CE=500m ， ∴最近的路程是500m ． 故选B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．
3．C
解析：C 【分析】
由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三
角形面积公式求出BP 即可得到答案. 【详解】 ∵AP+CP=AC ，
∴AP BP CP ++=BP+AC ，
∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值， 设AH ⊥BC ，
∵56AB AC BC ===， ∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=,
∵11
22
ABC
S BC AH AC BP =
?=?， ∴
11
64522BP ??=?, ∴BP=4.8，
∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8， 故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.
4．C
解析：C 【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求． 【详解】 解：如图，
将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，
2222'15129A D A B BD ∴--'==．
所以底面圆的周长为9×2=18cm. 故选：C ． 【点睛】
本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a 的面积等于1号的面积加上2号的面积，b 的面积等于2号的面积加上3号的面积，c 的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和. 【详解】
利用勾股定理可得：
12a S S S =+ ，23b S S S =+，34c S S S =+
∴122334a b c S S S S S S S S S ++=+++++
74415=++= 故选B 【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三角形的面积判断出PE+PF 的长等于AC 的长，这样就变成了求AC 的长；在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，利用勾股定理表示出AC ，解方程就可以得到AD 的长，再利用勾股定理就可以求出AC 的长，也就是PE+PF 的长． 【详解】
∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=1
2
BD?PE+
1
2
CD?PF=
1
2
BD?AC，
∴PE+PF=AC，
设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（46）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=42，
∴PE+PF=42．
故选C
【点睛】
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
7．C
解析：C
【解析】
分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.
详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：
∵DP⊥BP，AC为直径；
∴∠DPB=∠PBC=90°.
∴PD∥BC,且PD为⊙O的切线.
∴∠PDE=90°=∠DEB,
∴四边形PDEB为矩形，
∴AB∥OE，且O为AC中点，AB=6.
∴PD=BE=EC.
∴OE=1
2
AB=3.
设PA=x，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC，EC=PD=6-x.
.在Rt△OEC中:
222
OE EC OC
+=,
即：()()22
2363x x +-=+，解得x=2. 所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.
点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.
8．D
解析：D 【解析】
试题解析：当3和5
当5． 故选D ．
9．C
解析：C 【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系. 【详解】
A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()2
2
2
345x x x +=，是直角三角形；
C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()2
2
2
81617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形 故选：C 【点睛】
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种； （1）有一个角是直角的三角形； （2）三边长满足勾股定理逆定理.
10．B
解析：B 【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答． 【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=?∠=∠， ∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE ∴Rt BEH Rt DEC ?，∴BH=CD=AB ，③正确； ∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222
AB BG AG
+=即222
BH BG AG
+=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．二、填空题
11．10
3
．
【解析】
试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=10
3
，
所以S2=x+4y=10
3
．
考点：勾股定理的证明．
12．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
13．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=42+22=62
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（62）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=42-22=22
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．14．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
=-=-=,
13125
CD AC AD
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
=-=-=,
BD AB AD
15129
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
13125
CD AC AD
=-=-=，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
15129
BD AB AD
=-=-=，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
15．75或6或9 4
【分析】
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【详解】
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，
∴BC＝6（cm）；
①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.5
2
＝3.75（秒）；
②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，
解得：t＝9
4
，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝9
4
．
故答案为：3.75或6或9
4
．
【点睛】
此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.
16．36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC边上的高为8cm，
∴AD=8cm，
∵AC=17cm，
由勾股定理得：
2222
1086
BD AB AD
=-=-=cm，
2222
17815
CD AC AD
=-=-=cm，
如图1，点D在边BC上时，
BC=BD+CD=6+15=21cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×21×8=84cm2，
如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD?BD=15?6=9cm，
∴△ABC的面积=1
2
BC AD=
1
2
×9×8=36 cm2，
综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，
故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
17．10
【分析】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可. 【详解】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：
∵DBC ?是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422
DC DB ===∵2OD =
∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =， ∵∠BEC=90°
则()2
222OC OE BC OB OE -=-+ ∴334
OE =
∴221234
17
EC OC EO =-=
∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634
2FG EC =
=
∴2034
17
BE BO OE =+= ∴1734
217
GO GE OE BE OE =-=
-=
∴22=10OF GO GF -=【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度
比较高，准确作出辅助线是关键.
18．
65
【分析】
由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，
DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长． 【详解】
解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，
AE AD ⊥，
DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，
又
BAC DAC 190∠∠∠=+=， 12∠∠∴=，
在ABD 和ACE 中
12AB AC AD AE =??
∠=∠??=?
， ABD ∴≌()ACE SAS ．
BD CE ∴=，4B ∠∠=
BAC 90∠=，AB AC =，
∴B 345∠∠==
4B 45∠∠∴==， ECF 3490∠∠∠∴=+=， 222CE CF EF ∴+=，
222BD FC EF ∴+=，
AF 平分DAE ∠， DAF EAF ∠∠∴=， 在DAF 和EAF 中
AD AE DAF EAF AF AF =??
∠=∠??=?
， DAF ∴≌()EAF SAS ． DF EF ∴=．
222BD FC DF ∴+=．
勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>
勾股定理经典题型分析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60° 方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达 目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60° ∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
初二数学勾股定理试卷 一．选择题（共2小题） 1．下列说法正确的是（） A．a0=1 B．夹在两条平行线间的线段相等 C．勾股定理是a2+b2=c2 D．若有意义，则x≥1且x≠2 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（） A． B．27 C．3 D．25 二．填空题（共1小题） 3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米． 三．解答题（共5小题） 4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE． 6．阅读： （1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0． 利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题． 问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长． 7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC， （1）求证：CE平分∠BCD； （2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积； （3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解） 8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）
八年级初二数学勾股定理测试试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ，动点P 从点B 出发，沿 射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 2．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( ) A ．3cm B ．14cm C ．5cm D ．4cm 3．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ） A ．1 B 2 C ． 32 D 34．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）
A ．253 94 + B ．253 92 + C ．18253+ D ．253 182 + 5．如图，分别以直角ABC ?三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1 S =（ ） A ．9 B ．5 C ．53 D ．45 6．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5 B ．7 C ．5 D ．5或7 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ） A ． 72 B ． 74 C ． 254 D ． 154 9．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段 AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（ ）
八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案 一、选择题 1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（） A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（） 53 A．5B．53C．53D． 4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB230 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )
A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 7．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（） A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（） A．3．5 B．3C13D 36 9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）
一、选择题 1．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）． A ．AF ⊥AQ B ．AF=AQ C ．AF=A D D ．F BAQ ∠=∠ 2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2 ()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c = ==;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( ) A ．8 B ．8.8 C ．9.8 D ．10 4．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( ) A 2 B ．2 C 3 D ．4 5．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )
A ．(3510)cm + B ．513cm C ．277cm D ．(2583)cm + 6．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6 B ．a =1，b=2，c=3 C ．a =5，b=6，c=8 D ．a =3，b=2，c=5 7．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ） A ．5 B ．51- C ．51+ D ．51-+ 8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 9．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ） A ．2,3,4 B ．4,5,6 C ．2223,4,5 D ．6,8,10 10．如图，在ABC ?中，D 、 E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?，4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15二、填空题 11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．
勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）． A ．16π B ．12π C ．10π D ．8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）． A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′（ ）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）． 7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______． 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元． 三、挑战你的技能 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以 对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正 方形AEGH ，如此下去． （1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形150o 20米30米
初二数学上册教案模板勾股定理（2课时） 一、教学目标及重点 1、教学目标 （1）经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生的思维能力和语言表达能力。 （2）运用勾股定理解决实际问题。 （3）了解有关勾股定理的历史，通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。 2、教学重点：勾股定理及其应用。 3、教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，了解数学发展史，激发学习兴趣，对学生进行德育教育。 二、探索发现：（在教师的引领下，小组合作，探索学习） 通过此案例引出：勾股定理（商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理）的渊源。 三、知识透析： 1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，
那么： 即：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意：（1）勾股定理的条件是：只有在直角三角形中才使用；（2）勾股定理的变形：222a =-b c ；222b =-a c 3.勾股定理验证方法：（教师引导学生通过面积计算，实现勾股定理证明） （1）赵爽证明： （2）伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析： 题型1：勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中，，、、所对的边分别是a 、b 、c 。 （1）当a=3，b=4,则c= （2）若a=5，b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则底边上的高为？（ ）
（随堂练习：教材3页1、2） 题型2：勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 （随堂练习：教材6页中间） 题型3：勾股定理应用 例5.有两棵树，一棵高10米，另一棵高4m，两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）（2013安顺中考） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注：将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题
(第6题) A B D C （第12题） 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名： 分数： 一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝ ． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米， 则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。 二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（ ） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○ ，则（ ） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )
勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见勾股数有： 3、常见平方数： 121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=?90,a=5,c=3.， 则Rt ▲ABC 的面积S= 。 2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。 5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。 6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2 +50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。 7、如图1，?=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？ 7、如下图，在?ABC 中，?=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示，?=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7 米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1 B C P
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A . 4cm B . 34cm C . 6cm D . 36cm 2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A . 9分米 B . 15分米 C . 5分米 D . 8分米 1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A 、2，3，4 B 、3，4，5 C 、6，8，10 D 、53，5 4，1 2、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ） A 、1倍 B 、2倍 C 、3倍 D 、4倍 3、下列说法中正确的是（ ） A 、已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+ B 、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C 、在ABC Rt ?中，?=∠90C ，所以222c b a =+ D 、在ABC Rt ?中，?=∠90B ，所以222c b a =+ 4、下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a ，4a ，5a （a>0）；④32，42，52。其中可以 构成直角三 角形的边长有（ ） A 、1组 B 、2组 C 、3组 D 、4组 5、在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，AC ＝5cm ，BC ＝12 cm ，其中斜边上的高为（ ） A 、6 cm B 、8.5 cm C 、1360 cm D 、13 30cm 8. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 . 9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？ ． 12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每 平方米18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于 ______________. 5m 13m
图1 勾股定理（第一周周清试卷） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、 如图1,图中有一个正方形，此正方形的面积是（ .8 C 2、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米, 则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 3、 一架 4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚 0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ） A.3.2m B.4.0m C.4.1m D.5.0m 4、 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上 答案都不对 5、一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离 树底部4米处，则树折断之前有 （ ） A ．5米 B ．7米 C ．8米 D ．10米 6、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行， 离开港口2小时后，则两船相距（ ） 海里 海里 海里 海里 _C _B _A
7、一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( ) 8、如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 已知AB=6㎝，BC=18㎝，则Rt△CDF 的面积是 ㎝2 ㎝2 C.22㎝2 ㎝2 9、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( ) A ． B ． C ．∠A=∠B=∠C D ．∠A=2∠B=2∠C 10、如图1，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 上的中线AD=8cm ，则△ABC 为_________三角形 12、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为 。 13、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 14、小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m. 15．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原
八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题 一、选择题 1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A ．600m B ．500m C ．400m D ．300m 2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ． A ．25 B ．20 C ．24 D ．105 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是 （ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为( ) 22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长 等于BC 的长． A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④ 4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 5．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 6．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ） A ．217 B ．25 C ．42 D ．7 9．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．1510．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的
一．选择题（共18小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（） A．12 B．14 C．16 D．18 3．如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=（） A．31°B．45°C．30°D．59° 4．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（） A．1 B．C．D．2 5．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．64 6．2的算术平方根是（） A．B．C．D．2 7．9的平方根为（） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 8．81的平方根是（） A．﹣9 B．9 C．±9 D．±3 9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 10．下列说法正确的是（） A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 11．5的平方根是（） A．±2.5 B．﹣C．D．± 12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 13．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 14．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1） 15．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（） A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1） 16．点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（） A．（3，﹣2）B．（3，2） C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
2013—2014学年八年级数学（下）周末辅导资料（03） 理想文化教育培训中心 学生姓名：__________ 得分：_______ 一、知识点梳理： 1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a 2＋b 2＝c 2。 （1）变式：a c b c b a b a c 2 2 2 2 2 2 ;;-= -= += （2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用． 2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果c b a 2 2 2 =+，那么△ABC 是直角三角形. 勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等. 二、典型例题： 例1、（1）如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。 （2）如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. （3）蚂蚁沿图3中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了______厘米.（小方格的边长为1厘米） 图(1) 图(2) 图(3) 课堂练习1： （1）要登上12 m 高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m ，则梯子的长度至少为（ ） A ．12 m B ．13 m C ．14 m D ．15 m （2）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．1.5，2，2.5 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．20，30，40 （3）下列条件能够得到直角三角形的有（ ） ①．三个内角度数之比为1:2:3 ②．三个内角度数之比为3:4:5 ③．三边长之比为3:4:5 ④．三边长之比为5:12:13 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 (第4题图)
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
初二数学 勾股定理部分 1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）. （A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）. （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 3. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 （ ）. （A ）9 （B ）3 （C ） 49 （D ）2 9 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）. （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(2 2 =-+，则此三角形是（ ）. （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 . （2）斜边x= . 13. 如图7，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面 积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ． 14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形. 15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿 直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 ． 16.（8分）如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积. 19.（8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了
一、选择题 1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．圆柱形杯子的高为18cm ，底面周长为24cm ，已知蚂蚁在外壁A 处（距杯子上沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（ ） A ．813 B ．28 C ．20 D ．122 5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A ．20 B ．24 C ． 994 D ． 532 6．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ） A ．49 B ．25 C ．12 D ．10 7．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对 8．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段 AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（ ） A ．3．5 B ．23 C ．13 D ． 36 2 9．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A ．6，8，10 B ．5，12，13 C ．3，5，6 D ．2，3，5 10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为 x ，则210x x +=（ ）