类型 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
[解] 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－ 2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°. 在△BCD中，由正弦定理得BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
类型1：已知两边一角解三角形
2、
cos 15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝8－4 3，
∴c＝
6－
2.∴cos
A＝b2＋2cb2c－a2＝
3 2.
又 0°<A<180°，∴A＝30°，
∴B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°.
2．余弦定理的推论
余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的
关系，它的另b一2＋种c2表－达a2形式是 cosA＝_____2_b_c______，
a2＋c2－b2 cosB＝_____2_a_c______，
a2＋b2－c2 cosC＝_____2_a_b______.
余弦定 理
证明：若 ABC为任意三角形，证明余弦定理
类型三 判断三角形的形状 [例] 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc 且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC 的形状．
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．
易错题
已知钝角三角形的三边 a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求 k 的取值范围．
[正解] ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形， ∴C为钝角． 由余弦定理，得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝k22－k4kk＋－21 2<0. ∴k2－4k－12<0，得－2<k<6. 由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)>k＋4. ∴k>2. 综上所述，2<k<6.
解： AB AC CB
A
bBiblioteka Baidu
c
AB AB (AC CB)(AC CB)
C
AC AC 2AC CB CB CB
a
B
2
2
2
AB AC 2 AC CB cos(1800 C) CB
c2 a2 b2 2abcosC
3．利用余弦定理可解决的三类问题
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
变式训练 在△ABC 中，已知 cos2A2＝b＋2cc(a，b，c 分 别为角 A，B，C 的对边)，判断△ABC 的形状．
解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋2cc得 1＋2cosA＝b2＋cc，∴cosA＝bc. 根据余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
又因为角C为△ABC的内角，所以C＝23π.
答案：23π
解析：本题考查余弦定理及其推论的形式，对比发现 D不正确．
∵cosC＝a2＋2ba2b－c2.
答案：D
3．(2012·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝ ________.
解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ ab，则cosC＝a2＋2ba2b－c2＝－12.
类型2：已知三边，求各角
例 2 已知在△ABC 中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)，求△ABC 的各角度数．
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
(1)已知三边，求各__角___； (2)已知两边和它们的夹角，求_第__三__边__和__其__他__两___个__角．
（3）判断三角形形状
已知两边一角解三角形
在三角形 ABC 中，根据下列条件解三角形， (1) 已知 b＝3，c＝2 3，A＝30°， (2).已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°；
1.2 余弦定理
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则
a2＝__b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A___， b2＝_a_2_＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B___， c2＝_a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C___.
类型1：已知两边一角解三角形
1、[解] 直接应用余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30°＝3，∴a＝ 3. ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝ 32×2＋32×322－3 32＝12. ∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
随堂 知 能 训 练
知 识 反 馈 ········································· 技 能 检 验
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则下列等式不成立的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bccosA B．b2＝c2＋a2－2accosB C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 D．cosC＝a2＋2ba2b＋c2
