(三)层次分析模型

差分方程模型
层次分析模型
人们经常遇到一些复杂问题的决策的情形,比如:医生 为疑难病症确定治疗方案;高考报考学校、专业的选 择,作出城市发展规划等等.这时,人们往往需要考虑很 多因素,而且在对它们进行比较、判断、评价、决策 时,其重要性、影响力或者优先程度往往难以量化,这 给用数学方法解决问题带来了本质上的困难,决策时 人的主观选择起主要作用.
n CI n 1
CI
n
n 1
CI=0时,A为一致阵;CI越大,A 的不一致性程度越严重.
由于A的特征值之和为n,因此CI为A的其余n-1个特征 值的平均值. Satty引进随机一致性指标RI 通过随机构造A得到
n RI
1
0
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
λk CIk
3.0536 3.0015 0.0278 0.0008
3 0
3.0092 0.0046
3 0
下面我们由上面计算得到的两种权向量w(2), wk(3)来 计算出各个方案对目标层的权向量,称为组合权向量, 记做w(3), 对于方案P1, wk(3)中的第一行表示 它在五个准则中的权 重,而五个准则对于目标层的权重为w(2), 于是这两个向 量的分量两两相乘即得到P1对于目标层的权重: (0.5279, 0.0819,0.4286,0.6337,0.1667) · (0.2592, 0.4664, 0.0525, 0.1160, 0.1059) = 0.2887 同样,我们计算得到P2,P3对于目标层的权重分别为 0.2589, 0.4525,由此我们得出结论:选择方案P3. 计算过程可写成
同样,第4层对第1层的组合权向量为
w ( 4 ) W ( 4 ) w ( 3 ) , 这里W ( 4 )为第4层对第3层的 权向量(列向量)组成的矩阵
于是第s层对第1层的组合权向量为
(s)
w
( 3)
(k )
W
(k )
w
( k 1)
w
W W
(s)
( s 1)
W
w
( 2)
组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时,除了对每个成对比较 矩阵进行一致性检验外,还要进行组合一致性检验,以确 定组合权向量是否可以作为最终的决策依据. 若第p层的一致性指标为CI1(p) ,…, CIn(p) ,n为第p-1 层的因素个数,其随机性指标为RI1(p) ,…, RIn(p) ,
其中第一个没有通过一致性检验, 重新调整为
我们将上面5个矩阵的最大特征值以及特征向量,一 致性检验结果:RI(3)=0.58,
k
1
2
3
4
5
0.5279 0.0819 0.4286 0.6337 0.1667
wk
(3)
百度文库
0.3325 0.2364 0.4286 0.1919 0.1667 0.1396 0.6817 0.1429 0.1744 0.6667
( CI ( p ) [CI1( p ) , , CI n p ) ]w ( p 1) , ( RI ( p ) [ RI1( p ) , , RI n p ) ]w ( p 1) RI (m), m为第p层因素的个数 .
第p层的组合一致性指标为
s
CR ( p )
CI ( p ) RI
( p)
, p 3,4,, s
定义第s层对第1层的组合一致性检验比率为
CR* CR ( p )
p2
CR*适当的小时,检验通过.
本例中:CI(3)=0.008,RI(3)=0.58, CR(3)=0.014,外加前 面的CR(2)=0.062,于是CR*=0.076,完全可以认为组 合一致性检验通过.即组合权向量w(3),可以当作最 终决策的依据.
接引例 准则层对目标层的两两比较
用aij 表示因素Ci , C j 对目标O的影响之比
因此有
1 aij , a ji
记
1 A (aij ), aij 0, aij . a ji
称A为成对比较矩阵.满足上面关系的矩阵也称为 正互反矩阵. 下面是某人得到的成对比较矩阵: 3 1 1/ 2 4 3 2 1 7 5 5 A 1 / 4 1 / 7 1 1 / 2 1 / 3 1 1 / 3 1 / 5 2 1 1 / 3 1 / 5 3 1 1 注 换一个人得到的成对比较矩阵可能与上面这个 差别很大.同一个人作两次判断时也可能有些差别.
层次分析法的基本步骤:
1.建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上,将有关因素按照不同 的属性自上而下地分解成若干层,同一层的因素(7个 左右)之间尽量相互独立,一方面受下一层因素的作用, 同时又支配上一层.最上层为目标层,最下层为方案层. 2.构造成对比较矩阵 3.计算权向量并作一致性检验 4.计算组合权向量并作组合一致性检验
w ( 2)
w1( 2) w w ( 2) 5
用同样的方法我们构造出第三层(方案层)对第二层 (准则层)的每一个成对比较矩阵,结果如下:
2 2 1 B1 1 / 2 1 3 1 / 2 1 / 3 1 1 3 4 B4 1 / 3 1 1 1 / 4 1 1 1 1 // 3 1 / 8 B2 3 1 1 / 3 8 3 1 1 1 1 / 4 B5 1 1 1 / 4 4 4 1 1 3 1 B3 1 1 3 1 / 3 1 / 3 1 2 3 1 B1 1 / 2 1 3 1 / 3 1 / 3 1
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3
1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
发现:矛盾之处多多.
若因素对目标影响能够准确度量,则应该有
aij a jk aik ,i, j, k
比较尺度
进行成对比较时,建议同一层的因素个数在7±2,两 两比较的等级分成5种明显的等级以及4个过渡等级: aij=1,3,5,7,9分别表示Ci与(比)Cj相同的影响,影响稍 强,影响强,影响明显的强,影响绝对的强 五种情形. aij=2,4,6,8分别表示介于相邻的两个等级之间.
这种做法有心理学上的支持, 也由实验得到验证.
其次,你会就每一个将这3个地点进行对比,譬如P1景 色最好,P2次之;P2费用最低,P3次之;居住等条件P3 最好,P1次之.最后,你将这两个层次的比较进行综合, 决定选择其中一个为最佳地点.
一般的问题跟上面的引例相类似,整理成如下步骤:
1. 将决策问题分成三 个层次:最上层为目标 层,最下层为方案层;
目标层
选择目的地
2.通过相互比较确定各 个准则对于目标的权 准则层 重以及各方案对于每 一准则的权重.要量化. 3. 将上面两层的权重 进行综合,最终确定方 案层对目标层的权重.
景 费 色 用
居 住
饮 旅 食 途
方案层
P1
P2
P3
成对比较矩阵和向量
前面说过,这些因素的量化是不容易的,人们凭自己的经 验和知识进行判断.如果我们只是简单地作定性的结果, 当然不容易被人接受. 层次分析法的做法:一是不把所 有的因素放在一起比较,而是两两相互对比;二是对比采 用相对尺度,以尽可能地减少性质不同的因素相互比较 的困难,提高准确度.
附:用matlab求矩阵的特征值和特征向量 〉〉B4=[1,3,4;1/3,1,1;1/4,1,1],[V,D]=eig(B4) V= -0.9255 0.9255 0.9255 -0.2803 -0.1401 - 0.2427i -0.1401 + 0.2427i -0.2547 -0.1273 + 0.2205i -0.1273 - 0.2205i D= 3.0092 0 0 0 -0.0046 + 0.1663i 0 0 0 -0.0046 - 0.1663i >> d=0.9255+0.2803+0.2547,v=[0.9255,0.2803,0.2547]/d d = 1.4605 v =0.6337 0.1919 0.1744
( 3)
w
W
( 3)
w
( 2)
, 这里W
( 3)
[ w1 ,, w5
( 3)
( 3)
]
推广:若一个层次分析的决策系统共有s层(设第一层 只有1个因素).则第2层对第1层的权向量为w(2),第3层 对第1层的组合权向量为
w ( 3 ) W ( 3 ) w ( 2 ) , 这里W ( 3 )为第3层对第2层的 权向量(列向量)组成的矩阵
一个满足上式的正互反矩阵称为一致阵. 性 质 设A为n阶一致阵,则R(A)=1,且特征值为0和n;
A的任一列向量为A相应于n的特征向量.
若A为一致阵,则A的每一列中的分量的大小反映了该 因素的影响大小,归一化后可表示各个因素对上层的 影响的权重,故称为权向量.
若A不是一致阵,但是在不一致的容许范围内,则用成 对比较矩阵A的最大特征值λ的特征向量w(归一化) 作 为权向量. 这一方法称为特种根法.
一致性比率CR
一致性检验: 当CR<0.1时,一致性检验通过,此时A的不一致性程度在容 许范围之内;当CR>0.1时,一致性检验没通过,A需调整.
CI CR RI
本例旅游目的地的选择:准则层对目标层的成对比较矩 阵A如前,我们用Matlab计算得A的最大特征值为 5.2793 ,其相应的特征向量为(0.4639, 0.8348, 0.0940, 0.2077, 0.1896)T,归一化后为w=(0.2592, 0.4664, 0.0525, 0.1160, 0.1059)T,因此
本节介绍T.L. Saaty等人20世纪70年代提出的一种处 理这种问题的实用方法,称为层次分析法. 下面我们先看一个例子,从中引出层次分析法的 基本步骤
引例 假期旅游目的地的选择
假设有P1,P2,P3共3个旅游胜地供你选择,而你会根 据景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则 去反复比较那3个候选地点. 首先,你会确定这些准则在你的心中各占多大的比重, 如果你经济宽绰,醉心旅游,自然是特别看重景色条 件,而平素简朴或手头拮据的人,则会优先考虑费用, 而中老年人则更关注居住、饮食、旅途条件.
n 0.2793 CI 0.0698 n 1 4
而从上面的表中我们有 RI(5)=1.12,故 CI 0.0698 CR 0.062 0.1, RI 1.12 结论:一致性检验通过.向量w可作为准则层(第二层) 对目标层(第一层)的权向量.
组合权向量
为了记号连贯起见,我们记
一致性检验
当我们用上面的比较尺度做法得到了成对比较矩阵,但 是它一般不是一致阵,为了特征值的特征向量作为权向 量,我们需要成对比较矩阵的不一致程度在容许的范围 内.问题:如何界定? 定理:设A是成对比较矩阵,则其最大特征值λ≥n;当 λ=n时, A是一致阵. 由此定理以及λ连续依赖于aij的事实可知, λ比n大得 越多,则A的不一致程度越严重,因此定义A的一致性 指标为