最新北京科技大学-学年度第1学期高等数学A试题及答案
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装 订 线 内 不 得 答 题
自
觉
遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不
作 弊
7．设设||3)(2
3
x x x x f +=，则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为 【 】．
（A ） 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3
8．积分
=+⎰
-
xdx x x 2sin )sin (2
2
4π
π
【 】
(A) 3/4 (B) 0 (C) 4/3 (D) 1
9．下列不等式正确的有 【
】
（A ） ⎰⎰<1
2
10
sin sin dx x
xdx ， （B ）
⎰⎰<1
2
10
c o s c o s dx x
xdx ，
（C ）
⎰⎰>π
π
π
π
22s i n 2
dx e dx e x x
， （D ）
⎰
⎰
<
π
π
2
2
3s i n s i n x d x x d x
10．设y
x z =， 则=dz 【 】
(A ) )(ln dy x y xdx x y
+
(B ) )(ln dx x y
xdy x y + (C ) )(l n dy x y xdx y x
+ (D ) )ln (ydx dy x
x x y +
三、计算题（每小题9分，共63分）
11．dx e x
a x a x x
x ⎰+∞
-→=+-1
2
0)(lim ，求a 的值。
12、求dx x x x ⎰
-+2
2
2)1(
13．计算⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+-+-∞→222222291
391291191lim n n n n n n 。
14．求直线⎩
⎨⎧=++-=--+010
1:z y x z y x L 在平面0:=++∏z y x 上的投影直线L '
15． 求不定积分⎰
-dx x
x
1arcsin
16．设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2
2
)
1(21
)1ln(t arctgt y t x 求
.,22dx y d dx dy
17．0)1
1
(
lim 2=--++∞→b ax x x x ，求a ，b 的值。
四、证明题（7分）
)(x f = 是在区间]1 ,0[上任一非负连续函数。
)1 ,0(0∈x ，使得在区间 ] ,0[0x 上以)(0x f 为高的矩形面积，等于在区间
)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积。
)(x f y =在)1 ,0(内可导， 并且x
x f x f )
(2)(->'，证明（1）中的)1 ,0(0∈x 是
北京科技大学 2007--2008年 第 一 学期
答案：
一、（1）分子分母有理化得34，（2）)(230x f '（3）22x - （4）1-x （5）π3
2
二、（6）C （7）C （8）C （9）B （10）B
三、计算题
11解：dx e e e x a x a im l x a x
x ⎰+∞
---→===+-1
1420)(，则4=a
12．解：dx x x dx x x x ⎰⎰--+=-+2
22
2
)1(1)1(2)1(，令t x sin 1=-
原式ππ
π
4
3
cos )2sin 211(22
2
=++
=
⎰-
tdt t
13．解⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+-+-∞→222222291
3912911
91lim n n n n n n =2
1
)(911lim n
i n i n -∑∞
=∞→=
⎰
-1
2
11dx x = arcsin
10
3
x = arcsin
3
1
14．解：过直线L 做平面ππ⊥'，交线为L '，
直线L
的方向向量{}2,2,01111--=--=k j s ，取{}1,1,0
，{}1,1,011-==j n ，
取L 上一点{}0,1,0，01 ,0)1(:=--=--'z y z y 即π，投影直线⎩⎨⎧=--=++'0
10
:z y z y x L
15．解法1：；令 tdt t dx t x x t cos )(sin 2,)(sin ,arcsin
2===则
]
cos cos [2cos 2sin 2cos sin 2cos ⎰⎰⎰⎰
--=-==tdt t t t td tdt t tdt t t
t
原式＝]
=C x x x ++--2arcsin
12
解法2：原式=]arcsin 1arcsin 1[21arcsin 2x d x x x x d x ⎰
⎰--
--=--
C
x x x x
d x x ++--=+--=⎰2arcsin 122arcsin 12
16. )1(2
t t dx
dy ++-=，
t t t dx y d 2)1)(21(222++-=
17．解：01
)()1(lim )11(
lim 22=+-+--=--++∞→∞→x b
x b a x a b ax x x x x ，1=a ，1-=b 18. 解：18
四、证明题 19．（10分）证明：
（1）令⎰-=1
)()(x dt t f x x g ]1 ,0[∈， 并且)(x g 在)1 ,0(可导，0)1()0(==g g 。 由罗尔定
理知，存在)1 ,0(0∈x ，使得0)(0='x g 。
⎰-='1
)()()(x dt t f x xf x g ， 代入0x 得到⎰=1
00
)(x dt t f x ， 命题成立。