随机型时间序列预测方法

第
6
章
随机型时间序列预测方法
6.1 随机型时间序列预测模型 6.2 ARMA模型的相关分析 6.3 模型的识别 6.4 ARMA序列的参数估计 6.5 模型的检验与预报
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预测与决策


第
6
章
随机型时间序列预测方法
6.1 随机型时间序列预测模型 6.2 ARMA模型的相关分析 6.3 模型的识别 6.4 ARMA序列的参数估计 6.5 模型的检验与预报
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引言
随机型时间序列预测技术建立预测模型的过程可分为四 个阶段。

第一阶段：根据建模的目的和理论分析，确定模型的基 本形式； 第二阶段：进行模型识别，即从一大类模型中选择出一 类实验模型； 第三阶段：用已有历史数据对所选择的模型进行参数估 计； 第四阶段：检验得到的模型是否合适。

若合适，则可以 用于预测或控制；若不合适，则返回到第二阶段重新选择模 型。

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引言
确定基本模型形式
模型识别(选择一个试验性模型)
参数估计(估计试验性模型参数)
不合适 诊断检验 合适 利用模型预测 图6.1 时间序列分析建模流程
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6.1 随机型时间序列预测模型
本节讨论时间序列的几种常用模型。

从实用观点来看， 这些模型能够表征任何模式的时间序列数据。

这几类模型是： 1）自回归(AR)模型； 2）移动平均(MA)模型； 3）自回归移动平均(ARMA)模型； 4）求和自回归移动平均(ARIMA)模型； 5）季节性模型。

非平稳时间序列 平稳时间序列
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6.1 .1 时间序列
1、随机过程 随机过程：是定义在概率空间 {Ω, h, P} 上的一族随机变量
{X n , n ∈ T } 。

随机过程的现实：定义在T上的函数 过程 {X n , n ∈ T }的现实或样本轨道。

{X . ( w), w ∈ Ω} 称为随机
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6.1 .1 时间序列
2、随机时间序列 随机时间序列是指
{ X n | n = o, ±1, ±2,L , ± N ,L}
n ∈ T ，T为时间集合，对每个n，Xn都是一个随机变量。

以
下简称为时间序列。

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6.1.1 时间序列
3、时间序列平稳性 定义5.1 满足： 时间序列 { X n | n = 0, ±1, ±2,L} 称为平稳的，如果它
(1)对任一n，E(Xn)=C，C是常数； (2)对任意的n和k，
E ( X n + k − C )( X n − C ) = γ k
其中 γ k 与n无关。

γ k 称为时间序列 { X n } 的自协方差函数，ρ k = γ k / γ 0 称为自相 关函数。

显然 ρ−k = ρk , k ≥ 0
γ −k = γ k , k ≥ 0
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6.1 .1 时间序列
4、时间序列平稳性 不失一般性，对一个平稳时间序列 { X n | n = 0, ±1, ±2,L}， 可以假设它的均值为零。

若不然，运用零均值化方法对序列进行一次平移变换， ' ' 亦即令 X n = X n − C , n = 0,1, L ，则 {X n }是一个零均值的平稳 序列。

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6.1.1 时间序列
5、白噪声 定义 白噪声 {ε n } （1） E (ε n ) = 0 （2） E (ε nε n + k ) = σ ε δ k 0
2
δk0
满足上述两个条件，则 {ε n } 是白噪声序列，均值为0，方差 为 σ ε2 ，且互不相关。

⎧1, k = 0 =⎨ ⎩0, k ≠ 0
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第
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章
随机型时间序列预测方法
6.1 随机型时间序列预测模型 6.2 ARMA模型的相关分析 6.3 模型的识别 6.4 ARMA序列的参数估计 6.5 模型的检验与预报
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6.2 ARMA序列的相关分析
1、自协方差函数和自相关函数 设{ X n } 是一个零均值的平稳时间序列， 自协方差函数定义为：
γ k = γ − k = E[ X n X n −k ]
自相关函数定义为：
k≥0 k≥0
ρ k = ρ −k = γ k / γ 0
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6.2.1 AR序列的自相关函数
设{ X n } 满足AR(p)模型，则称 { X n } 为AR(p)序列，
X n = ϕ1 X n−1 + ϕ2 X n−2 + L + ϕ p X n− p + ε n X n X n −k ⇓ 同乘以Xn-k = ϕ1 X n−1 X n−k + ϕ2 X n−2 X n−k + L + ϕ p X n− p X n−k + ε n X n−k
⇓ 取期望 E( X n X n−k ) = ϕ1E( X n−1 X n−k ) + ϕ2 E( X n−2 X n−k ) + L + ϕ p E( X n− p X n−k ) + E(ε n X n−k ) ⇓ E (ε n X n −k ) = 0 γ k = ϕ1γ k −1 + ϕ2γ k −2 + L + ϕ pγ k − p , ⇓ 同除以ρ0 ρ k = ϕ1ρ k −1 + ϕ2 ρk −2 + L + ϕ p ρ k − p , k >0 k >0
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性 例： AR(1)
ρ k = ϕ1 ρ k −1 = ϕ1 (ϕ1 ρ k − 2 ) = L = ϕ 1k ρ 0 = ϕ 1k , ρ 0 = 1
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性 例： AR(2)
X n = ϕ1 X n−1 + ϕ 2 X n−2 + ε n
ρ k = ϕ1 ρ k −1 + ϕ 2 ρ k −2
取k=1,2,可求得
ϕ1 ρ1 = 1 − ϕ2 ϕ12 ρ2 = + ϕ2 1 − ϕ2
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性 例： AR(2)
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性 例： AR(2)
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性 问题：对于一般的AR(p)序列，其自相关函数序列是否随着k 增大，其绝对值越来减小？
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性
ρk = ϕ1ρk −1 + ϕ2 ρk −2 + L+ ϕ p ρk − p ,
k >0
Φ(B)ρk = 0, k > 0 (1) 若 Φ ( λ ) = 0 的根互不相同，为 λ1 , λ 2 , L , λ p ，则通解为
− ρ k = c1λ1 k + c 2 λ− k + L + c p λ− k , k > 0 p 2
c 其中， 1 , c 2 , L , c p为常数，由下式确定：
ρ0 = 1
−k c1 + c2 + L + c p = 1 ⎧ ⎨ k − c1 ( λ1k − λ1− k ) + c2 ( λ2k − λ2− k ) + L + c p ( λ p − λ p k ) = 0, k = 1,2,..., p − 1 ⎩
ρ
= ρk
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6.2.1 AR序列的自相关函数
2、AR(p)序列自相关性质—“拖尾”性 (2) 若 Φ ( λ ) = 0 有根 λ1 , λ2 ,L, λs ，重数分别为 r1 , r2 , L , rs，则通 解为
ρ k = (c1,1 + c1, 2 k + L c1,r k
1
r1 −1
)λ
−k 1
+
−k 2 rs −1
(c 2,1 + c 2, 2 k + L + c 2,r2 k
r2 −1
)λ
+ L + (c s ,1 + c s , 2 k + L + c s ,rs k
可证明存在正常数g1,g2使
)λ
−k s
ρ k ≤ g1e − g k , k ≥ 0
2
40
亦即ρk随k的增加按指数形式衰减，呈“拖尾”状。

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。