信号与系统第三章 连续系统的频域分析

bn

2 T
T
0 f (t) sin(n1)tdt
若将式（3-1）中的同频率项加以合并，
式中
又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：

f (t) a0 An cos(n1t n ) （3-2） n1
例3-1 如图3-2所示的周期矩形波信号， 求其傅里叶级数。
2．周期信号的指数级数表示
现在介绍傅里叶级数的另一种形式——指数形式。 根据欧拉公式
式（3-2）可表示为
则周期信号又可表示为
式（3-3）称为傅里叶级数的复指数形式，为复系数。可以证明，复系数 可以通过信号确定，即
例3-2 如图3-5所示周期矩形信号，试求其指 数形式的傅里叶级数。
图3-5 周期矩形信号的波形
前10次谐波的傅里叶系数的幅度和相位如下表：
3.1.2 周期信号的频谱
1．周期信号频谱的特点
为了直观地反映周期信号中各频率分量的分布情形， 可将它们各分量的振幅和相位用图形表示出来，这就是所 谓信号的“频谱图”。频谱图中谐波分量的振幅随频率变 化的关系称为振幅谱，谐波分量的相位随频率变化的关系 称为相位频谱。
3）掌握傅里叶变换的性质，熟悉信号的时域 特性和频域特性的对应关系。
4）熟悉连续系统的频域分析方法。
第3章 连续系统的频域分析
重点及难点 ：
1）傅里叶变换的性质。 2）连续系统的频域分析。
第3章 连续系统的频域分析
前面讨论连续系统的时域分析时，以阶跃函数 和冲激函数作为基本信号，将任意输入信号表示为 冲激分量的连续和（积分），并利用卷积方法求取 系统的响应。本章将以正弦函数（正弦函数和余弦 函数可统称为正弦函数）为基本信号，分析工程上 常用的周期和非周期信号的一些基本特性。由于本 章在进行信号与系统分析时所用的独立变量是频率， 故称为频域分析。
a0
式中
，称为 f (t) 的基波频率； n1 称为 n 次谐
波； a0 为 f (t) 的直流分量； an 和 bn 为各余弦分量和正
弦分量的幅度。式（3－1）就是三角形式的傅里叶级数。
由数学分析知，各傅里叶系数为
a0

1 T
T
f (t)dt
0
an

2 T
T
0 f (t) cos(n1)tdt
信号的振幅频谱可以通过频谱分析仪直接测试得 到。图3-8为频谱分析仪的原理及两个测试结果。
3.1.2 周期信号的频谱
2． 双边频谱与信号的带宽 前面的分析是将周期信号分解为三角傅里
叶级数后得到的单边频谱图，这是因为其谱线 只出现在频率的正半轴。如将周期信号展开成 指数傅里叶级数，由于存在负频率，其频谱图 的谱线在频率的负半轴同时存在，故称为双边 频谱。现以周期矩形脉冲为例加以说明。
下面通过实际数据研究傅里叶级数是如何应用 的。图3-6（a）是实测的气温曲线。该曲线用每天 的平均气温表示，一年中共有365个数据构成。将
f (t)视为一个周期函数的一个周期段，则可以用 n
次谐波来逼近 f (t) ，如图3-6（b）～（g）所示。
根据分析计算，前10次谐波的傅里叶系数的幅度
和相位如下表：
矩形波傅里叶级数可改写为式（3-2）的形式，即
由此可画出其频谱图如图3-7所示
周期信号的振幅谱具有以下特点： 1）频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代
表一个谐波分量。这样的频谱称为不连续频谱或离 散频谱。
2）频谱图中的谱线只能在基波频率 1 的整数
倍频率上出现。
3）频谱图中各谱线的高度，一般而言随谐波次 数的增高而逐渐减小。当谐波次数无限增高时、谐 波分量的振幅趋于无穷小。
f (t) a0 a1 cos1t b1 sin 1t a2 cos 21t b2 sin 21t an cos n1t bn sin n1t
或：

f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
（3-1）
2）当
处，有
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4）曲线呈现衰减振荡型，位于坐标原点附近的“主瓣”宽度
为2π。
的波形如图3-10所示。
图3-10 Sa(x)函数图形
图3-11 Sa(x)函数频谱图形
图3-12 ｜Fn｜幅度谱的频谱图
结果就逐渐逼近周期锯齿波 f (t) 。
下面讨论一般周期信号的傅里叶级数表示方法。 周期信号是定义在（-∞，∞）区间内，每隔一定周期按 相同规律重复变化的信号。它们可一般地表示为
f (t) f (t kT) (k 0, 1, 2,)
当周期信号满足狄里赫利条件时，则它可用傅 里叶级数表示为：
第3章 连续系统的频域分析 3.1 周期信号的频域分析 3.2 非周期信号的频谱 3.3 连续系统的频域分析法
第3章
连续系统的频域分析
学习要点：
通过本章的学习，应达到以下要求：
1）了解周期信号的频谱，弄清信号频谱（离 散谱和连续谱）的概念。
2）掌握信号的傅里叶级数和傅里叶变换分析 法，对一些常用信号能进行频谱分析。
图3－9所示为周期矩形脉冲信号，它的脉冲宽
度为 ，高度为A，周期为T，基波角频率
，
f (t) 的一个脉冲可表示为
复系数 由此可以写出的表达式为
（3－5） （3－6）
观察 的表达式，它是形如
的函数，称为“取样
函数”，通常记为
，它是在通信理论中应用很广
的重要函数。它的特点如下：
1）
是偶函数，因为它是和的乘积。
图3-2 周期矩形波信号
图3-3（a）为矩形波（方波）的直流（此例为零）、基 波、三次谐波和五次谐波各分量的波形，
图3-3（b）为以上各分量的合成波形。可见，所取的谐波
。 分量越多越接近原来的方波
图3-4（a）为周期三角波的谐波分解的波形。
图3-4（b）为周期三角波的谐波合成的波形。
3.1.1 傅里叶级数
3.1 周期信号的频域分析 3.1.1 傅里叶级数 3.1.2 周期信号的频谱
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3.1.1傅里叶级数
1．周期信号的三角级数表示 把非正弦周期信号分解为傅里叶级数（Fourier Series） 是法国科学家傅里叶所做的重大贡献。为了便于理解用傅里叶 级数表示周期信号的思想，不妨首先观察图3-1所示的锯齿波 的变化过程。随着不同频率的三角函数的项数不断增加，合成