测试题二
一、（15分）
（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；
（2）证明：T=是X上的一个拓扑.
二、（15分）
(1)叙述完备格的定义；
（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.
三、（10分）设，，求分别在数直线T) 及可数补空间T)中的闭包和内部.
四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.
五、（10分）设T ), W) 是两个拓扑空间，,,
(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是T W连续的当且仅当W, T
六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.
七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；
（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的.
答案
一、（15分）（1）T称为集合X上的拓扑，若T满足：
(a)T,T;
(b)T T, T;
(c)A T A T.
（2）证明：因是可数集，故T,T.T，则是可数集，从而
=是可数集,即T; A T,A,是可数集，于是是可数集，从而
A=是可数集，即A T.，因此T=是X上的一个拓扑.
（3）可数补拓扑是的不是.
由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间. 对，则且
，因此它是空间.
二、（15分）
(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.
(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D
表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.
三、（10分）
解：在数直线T)中，;可数补空间中，
.
四、（15分）
（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。
（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.
五、（10分）
（1）,则称在点T W连续的.
（2）证明（必要性） W,设. 则，由条件，存在
.于是T.
（充分性）,则T,从而，且,故是T W 连续的.
六、（10分）
(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.
(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在
，则是X中开集组成的F的
开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.
由的任意性知F是闭集.
七、（15分）
（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：
（a）
（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则 B B是X的可数开
集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有
，这样 ,B是X的可数基.
八、（10分）
证明：设，，则
同理设则＝
＝.
测试题三
一、（每题3分，共24分）
1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.
2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.
3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.
4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.
5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.
6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.
7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.
8.可分空间一定满足公理
二、（20分）设是一个度量空间。证明下述两个结论等价：
1）是可分得。2）的拓扑有一个可数拓扑基。
三、（20分）证明：任一紧度量空间是可分的。
四、（每题18分，共计36分）
a)如果和都是的开集，，并且与都道路
连通，则与也都是道路连通的.
b)若的每个紧致子集都是闭集，则中的序列的极限是惟一的.
答案
一、是非1、√ 2、√ 3、ⅹ4、√5、√ 6、√ 7、√ 8、ⅹ
二、证明：1）2). 由于是可分的，故有一个可数的稠密集合。证明
是的一个可数拓扑基。
事实上，由于是可数集，映射显然是单全射。故是可数集。现设是任一开集。
于是使得。现在设使得。由于在中稠密，故存在使得
。从而
设。那么
此即表明，从而，并且。于是是的元素的并。故是
的一个可数的拓扑基。
2）1）设是的一个可数拓扑基。，任取。那么是可数基。为了证明此可数集在中稠密，只需证明对的任一开集，。
这是显然的。因为是拓扑基，故至少存在使得。于是。因此是的一个可数稠密集，即是可分的。
三、证明：，故。的紧性表明存在有限个使得
。
令，。则是的一可数集。
下面证明在中稠密，也即。为此设。于是存在使得。从而存在使得
。于是。此即表明，因此。
四.
a) 如果，和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都道路连通.
证明下证是道路连通的.
，因道路连通，故有中的道路使，易见
设数集的下确界为，则，
因为是的开集，所以有使，由的定义知，存在使
，作道路
因道路连通，故存在道路
使
因此
是
中的从
到
道路. 这表明中的点
在
中的连通分 支
，因道路连通, 故
，从而
, 于是
, 即
是道路连通的. 同理可证
是道路连通的.
b) 若X 的每个紧致子集都是闭集，则X 中的序列的极限是惟一的
证明 首先，单点集总是紧致的，从而
满足公理，假如的一个序列有两个不同的极限, 则
是包含
的开集，它必定包含了
的几乎所有项，也就是说
只有有限项为
，作子集
，则
紧致，从而是闭集，是
的开邻域，它最多只能含
的有限多项，从而
.
测试题四
一、（20分）证明：T= {
}{}
:U X X U ?-? 是可数集构成 X 上的拓扑；并说明该拓扑是 1T 的还是 2T 的.
二、（20分）设 X ， Y 是两个拓扑空间， :f X Y →.证明以下两个条件等价： 1） f 连续； 2）对于 Y 的任何一个子集 B ， B 的内部的原象包含于 B 的原象的内部，即
()()(
)
1
1
f
B
f
B --?
.
三、（20分） 1、叙述完全正则空间的定义； 2、证明：每一个完全正则空间都是正则空间。
四、（20分） 1） X 中任一既开又闭的连通子集都是 X 的连通分支. 2）如果 X 只有有限个连通分支，那么 X 的每个连通分支都是既开又闭的.举例说明如果 X 有无限个连通分支，结论未必成立.
五、（20分） 1、叙述紧致空间的定义； 2、证明：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.
答案
一、证明：因 X X -=?是可数集，故 X ∈T, ?∈T. ?,U V ∈T ，则 ,X U X V --是可数集，从而 X U V - =
()()X U X V -- 是可数集,即 U V ∈ T; ?A ?T, A ?∈A, X A -是可数集，于是 ()X A - 是可数集，从而
X - A= ()X A - 是可数集，即 A ?T.，因此T= {}{}:U X X U ?-? 是可数集是X 上的一个拓扑.
可数补拓扑是 1T 的不是 2T .
由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是 2T 空间. 对 ,,x y R x y ∈≠，则 {}()y R y N x ?-∈且 {}()
x R x N y ?-∈，因此它是 1T 空间.
二、 证明： 1） ?2） ()1
f
B -开，又 ()()1
1
f B f
B --?
。所以
()()()
1
1
f
B f B --?
2） ?1） U 开，
()()()(
)
1
1
1
f
U f
U
f
U ---=
=
，所以
()()()
1
1f
U f U --=。
三、证明：设 C 为 X 的既开又闭的连通子集， A 为 X 的连通分支且 C A ?，则 C 在子空间 A 中也是既开又闭的。因为 A 连通且 C ≠?，故必有 C A =，即 C 是 X 的连通分支。
1） 设
1
n i
i X U C ==，其中
()i C i ?为 X 的连通分支。由于 ,i i C ?闭于 X ，从而 1j ?=， 2,,n 。
1n
i
i U C =也闭于 X ，又因不同的连通分支不相交，故
j i
i j
C U C ≠= 开于 X ，即 j C 是既开又闭的 (
)1,2,,j n ?= 。
当 X 有无限个连通分支时，结论未必成立。例如 X = 作为 1E 的子空间。 x ?∈ ， {}x 为连通分支，但不是 的
开子集。
四、1、设 X 是一个拓扑空间。如果对于任意 x X ∈和 X 中任何一个不含点 x 的闭集 B 存在一个连续映射
[]:0,1f X →使得 ()0f x =以及对于任何 y B ∈有 ()1f
y =，则称拓扑空间 X
是一个完全正则空间。
2、证明：设 X 是一个完全正则空间。设 x X ∈， B 是 X 中的一个不含点的 x 闭集。则存在连续影射
[]:0,1f X →使
得
()0
f x =和对于任何 b B ∈。于是
1
10,2f
-??
?? ?
???
???和 1
1,12f -??
?? ?
??????分别是点 x 和闭集 B 的开领域，并且它们无交。
这表明 X 是一个正则空间。
五、 1、设 X 是一个拓扑空间。如果 X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个紧致空间. 2、设 Y 是紧致空间的一个闭子集，如果 A 是 Y 的一个覆盖，它由 X 中的开集构成，则 {}
Y 'B =A 是 X 的一个开
覆盖，设 1B 是 B 的一个有限子族并且覆盖 X ，则 {}
1Y 'B -便是 A 的一个有限子族并且覆盖 Y ，这证明 Y 是的 X 一
个紧致子集.
测试题五
一、(20分) 1.叙述拓扑空间的定义;
2.证明：对无穷集 X ,集族T G
X G cn
\:{=为可数集 }{}φ?为拓扑;
3.在 R X =且上述拓扑下，求 -
A A o ,，并做出说明，其中
}
:1{
N n n
A ∈=.
二、(20分) 1.叙述 1T 空间的定义；
2.证明： ,(X T )为 1T 空间 }{}{,x x X x =∈??-
； 3.说明有限补空间 ,(R T F )是 1T 空间，但不是 2T 空间.
三、（15分）
1.叙述正则空间的定义；
2.证明： ,(X T )为正则空间 ),(),(,x N V x N U X x ∈?∈?∈??使得 U V ?-
.
四、(10分) 叙述拓扑空间上连续函数的定义，并给出函数连续的两个充要条件.
五、 (15分) 叙述度量空间的定义并证明度量空间为第二可数空间的充要条件为它是可分空间.
六、(10分) 叙述紧空间的定义并写出 ,(X T )为紧空间的两个充要条件.
七、(10分) 叙述连通空间的定义，并给出空间 ,(X T )为连通空间的三个充要条件.
答案
一. (20分)
1设 X 是一个集合， T P ?, X 称 X 为上的一个拓扑,若 T 满足下面的三条：
(1) X T ∈, T φ∈;
(2) U,V T ∈, U V T ??∈; (3) A T A T ????∈.
2.集族满足上述的三条开集公理，
3. A A ,A -
==? 二. (20分)
1.空间 X 称为 1T 空间 y x ,??且 y x ≠,存在 )(),(y N V x N U ∈∈使 U y ?且 V x ?;
2.设 X 是 1T 空间，对每个
x y ≠，则存在
V x y N V
?∈),(于是 ,}{-?x y 因此 -
=}{}{x x ；
反之，由每个单点集是闭集，对每个 X y x ∈,且 y x ≠，则 )(}{\),(}{\y N x X x x N y X y ∈?∈?，即 X 是 1T 的；
3．由有限补空间 ,(R T F )的任意两个非空开集之交不空知它不是 2T 空间; R y x ∈?,且 y x ≠，则
)(}{\),(}{\y N x R x x N y R y ∈?∈?，即 X 是 1T 的.三. （15分）
1. 设 ,(X T )是拓扑空间.称 X 为正则空间 F ??闭于 F x X ?,，存在 )(),(F N V x N U ∈∈使 φ=?V U ;
2. ?设 X 是正则空间， )(x N U ∈，由 U X x \?闭于 X ，存在 )\(),(U X N G x N V ∈∈使得 ?=?G V ，于是
U G V V c
???-
；
),(\),(,x N F X x F x X F X x ∈∈∴??∈??由已知，存在 ;\),(F X V x N V ?∈-
令 )(\F N V X U ∈=-
，则
φ=?V U ，故 X 是正则空
四. （15分）
1.设 ,(X T ,(),Y U )是两个拓扑空间，若对 ,][),()),((,V U f x N U x f N V X x ?∈?∈?∈?则称 f 是T-U 连续的;
2.(a) ∈?V U, ∈-)(1
V f T ;
(b) ∈?V B , ∈-)(1
V f T .
五. （15分）
(1) ρ是集 X 上的一个度量 ),0[:+∞→??X X ρ满足下面的度量公理：
),(),(),()3();,(),()2(;0),()1(y z y x z x x y y x y x y x ρρρρρρ+≤==?=；
(2)必要性是显然的，下证可分度量空间 ),(ρX 是第二可数的.
设 }:{N i x A i ∈=是 X 的可数稠子集，对每个 N n ∈令B p }
:)1,
({A x n
x B i i ∈=ρ,则
B N n ∈?=B n 是 X 的可数开
集族;
下面说明B 是 X 的基.
事实上,对每个 )(,x N U X x ∈∈存在
U
n x B N n ?∈)1,
(,0
0ρ,因 A 是 X 的稠子集,有
),
21,
(0
n x B x i ρ∈这样 ,
)21,
(0
U n x B x i ?∈ρB 是 X 的可数基.
六. （10分） 1.拓扑空间 X 称为紧的 X ?的每个开覆盖有有限子覆盖；
2.(1) X 内每个具有有限交性质的闭集族具有非空交； (2) X 内每个网有聚点.
七. （10分）空间 X 称为连通空间：若这样的子集 B A ,不存在， B A ,满足 φ=?=?-
-
A B B A ； 充要条件： (1) X 没有由两个闭集组成的分划；
(2) X 没有由两个开集组成的分划； (3) X 的既开又闭的子集只有 .X ，φ
测试题六
一、(20分)1.叙述拓扑空间的定义；
2.证明：对无穷集 ,X 集族T F G X G /:{=为有限集 }{}φ?为拓扑；
3.在 R X =上述拓扑下，求 A ,A -
，并做出说明，其中 }2{}1,0?=）（A . 二、(20分)1.叙述
T 空间的定义；
2.证明： ,(X T )为 0T
空间 ,}{}{.,-
-
=∈??y x X y x 则 y x =；
说明： ))(,(L L σ空间是 0T 空间，但不是 1T 空间。（ L 为多于一点的偏序集）.
三、(20分) 1.叙述正规空间的定义； 2.证明： ,(X T )空间为正规空间 A ??闭于 ,X ),(A N W ∈?则
)(A N U ∈?使得
U ?
-
.
四、.(20分) 1.叙述网的定义；
2.证明: 若拓扑空间 ,(X T )是 2T 的，则 X 内每个网至多有一个极限点.
五、(20分) 1.叙述Urysohn 定理；2.叙述全正则空间的定义； 3.说明 45.33,,T
T T 空间之间的关系.
答案
一、 (20分) 1设 X 是一个集合， T P ?, X 称 X 为上的一个拓扑,若 T 满足下面的三条：
(1) X T ∈, T φ∈; (2) U,V T ∈, U V T ??∈; (3) A T A T ????∈.
2.集族满足上述的三条开集公理，
3. A A ,A
-
==?
二、 (20分) 1,空间 X 称为 0T 空间 y x ,??且 y x ≠,存在 )(x N U ∈U y ?或存在 )(y N V ∈V x ?;
2.设 X 是
T 空间且 -
-
=}{}{y x ，若 y x ≠可设存在 )(x N U ∈U y ?即 φ=?}{y U 由定理 -
?}{y x 与假设矛盾；
反之 若 ,(X T )不是 0T 空间,则存在 y x X y x ≠∈.,，但是 U y x N U ∈∈?),(且 V x y N V ∈∈?),(于是得
-
-
∈∈}{,}{x y y x ，从而 -
-
=}{}{y x 由条件知 y x =，矛盾.
(3) y x L y x ≠∈?,,,可设 y x /≤，这样 y L ↓\是 x 的邻域，不含有 y ，从而 ))(,(L L σ是 0T
空间；
对任意 ,,L y x ∈若 y x ≤由 t S cot 开集是上集，则 x 的每个邻域是 y 的邻域，因此一般来说 ))(,(L L σ不是 1T 空间
三、(20分) 1. 设 ,(X T )是拓扑空间.称 X 为正规空间 H F ，??闭于 φ=?H F X ,，存在
)(),(F N V H N U ∈∈使 φ=?V U ; 2. ?设 X 是正规空间， )(A N W ∈， A 为闭集，由 φ=?c
W A ，存在
)(),(c
W N V A N U ∈∈使得 ?=?U V ，于是 W V
V
U c
c
???--
；
X F X H ????,均为闭集， )(\H N F X H ∈?由已知，存在 ;\),(F X V F N V ?∈-
令 )(\F N V X U ∈=-
，则 φ=?V U ，故 X 是正规空间.
四、(20分) 1, 设 ）（≤,D 是一个定向集， A 是任意集，每个映射 A D →:ξ称为 A 内的一个网, D m m m m D m ∈==∈?)(),(,ξξξξ
2证明； ,(X T )是 2T 的， ξ是 X 内任一网且 ξlim ,∈y x ，若 y x ≠，则 )(),(y N V x N U ∈∈?使 φ=?V U ，显然不能同时终在 V U ,内，矛盾，故 y x =.
五、(20分) 1 拓扑空间 ,(X T )是正规的 ?对任意非空闭集 B A ,，若 φ=?B A ，存在连续映射 ]1,0[:→X f 使
}.1{)(}.0{)(==B f A f 2.空间 X 称为全正则空间 B ??闭于 B x X ??,，存在连续映射 ]1,0[:→X f 使 }.1{)(,0)(==B f x f (3) 4T 的是 6.3T 的， 6.3T 的是 3T 的；反之不成立
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B = ； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
考试科目编号： 01 数学分析02 高等代数 03 解析几何04 实变函数 05 复变函数06 泛函分析 07 常微分方程08 偏微分方程 09 微分几何10 抽象代数 11 拓扑学12 概率论 13 数理统计14 数值分析 15 数值代数16 信号处理 17 离散数学18 数据结构与算法 01 数学分析（150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社，2003年。 04 实变函数（50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年。 05 复变函数（50 分）
考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声, 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 11 拓扑学（50 分） 考试参考书： 1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。 12 概率论（50 分） 考试参考书： 1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。 2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。
拓扑学的性质及在建筑形态中的应用摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。 abstract：this article focuses on the nature of the topology, in particular, is described mobius strip and klein due to bottle the two surfaces in architectural design. look forward to the topological theory to guide the modern architectural form, in order to promote the development of architectural morphology. 关键字：拓扑学建筑形态莫比乌斯环克莱因瓶 中图分类号：o189.3文献标识码：a文章编号： keywords： topologyarchitectural formmobius ringklein bottle 正文： 在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态
东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路
连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）
1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。
拓扑学在建筑中的应用 数学与系统科学学院 蒋玉莹 09304011
空间组织的清晰性 “对我们而言，清晰地解释每个项目的内在关系是十分重要的……以最简洁与直接的方式，而非通过图形或者形式来表现概念。评判一个方案是否简洁，概念必须得以清晰阅读。”（妹岛和世，2004） “通常，体量上的透明与轻巧并非最终目的，我们致力于将各构成部分以一种清晰的方式来组织。”（SANAA，2005） 妹岛和西泽是我接触建筑拓扑学首先出现在我眼前的两位建筑师。因为是首次接触到建筑拓扑学，所以评论家的观点对我有着非常重要的影响。评论家反复地将妹岛和西泽的建筑学冠以简洁、朴素（austerity）、纯粹几何的特征。话虽如此，在我看来还是该定义这些特征在他们作品中的含义。总的来说，热衷简洁的建筑师常被称为极简主义者（minimalist）。10多年前，Atan Allen就认为妹岛不应被归类为本质主义者的极简主义（essentialist minimalism），本质主义者们总想着去除作品中不必要的成分（component）以显现理想形式。实际上，妹岛和西泽都不能被称为极简主义者，如开篇的引言，他们并非像要构筑理想形式，而是要让概念——空间或者构成要素的组织——明晰。 这两位建筑师的作品也常被冠以“非物质性”（immateriality）、“轻巧”、“透明”。然而，就前两个特征而言，应该说他们的作品看起来是“非物质的”与“轻巧”的，而非真正的非物质。虽然常使用透明的玻璃，他们总是强调物质上的透明性并非他们设计的最终目的。“透明性意味着创造各种关系，它并非只是被看穿。透明性也意味着清晰性，不仅在视觉方面，更指概念方面。” 妹岛和西泽在一些访谈与出版物中表达过一些观点，其中，追求清晰的空间组织并清晰地展现出来是最明确的设计目的，这使得他们以简单方案的方式来做项目，只画线条，没有厚度，也没有对物质的期待，线条勾勒出空间轮廓、明确总平面。 在方案中，他们用“最简单与直接的方式”来组织基本的空间关系，从而呈现出关于拓扑学（topological issue）议题的基本组织形式：群集或分区（clustering or compartmentalisation）、集中或分散（concentration or dispersal）、紧凑或分裂（compactness or breakup）、缝隙或封闭（aperture or closure）、室外或室内、限制与联系、连续与断裂。他们想象的便是这些有关空间限定与关系的几何学基础议题，而非几何本身。妹岛和西泽作品可被看作是建筑拓扑学的指南手册。 群集与分区的非层级性特征 “在阿尔梅勒剧院，每一种材料，都给予同等的重视”。 “在日本传统建筑中，每一部分都有着相同的权重”。 “我们努力设计一个没有等级性的平面——从头到尾。我们的平面重视表现出自由的移动……光线散布在每个角落也表示从等级性中释放出来”。
习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈
数学专业考研三大方向 数学专业考研有三大方向：基础数学、概率与统计精算、数学工程的科学与工程计算系。这三大方向的开设院校及研究生方向大家都了解吗。正值择校定专业的关键时期，下面详细为大家解析。 数学专业考研三大方向 1.基础数学(应用数学) 专业概况：数学系一般开设基础数学、应用数学两专业，而这两个专业方向基本是相通的，都是为培养数学和其他高科技复合型人才打下基础。基础数学学科较多地涉及：代数、拓扑、几何、微分方程、动力系统、函数论等，它的专业方向和课程设置覆盖面比较宽，理论知识所占的比重相对较大。应用数学则与其他学科综合交叉。 设有本专业的科研院校： 北京师范大学、北京邮电大学、清华大学、北京大学、中国人民大学、南京大学、吉林大学、复旦大学、武汉大学、西北大学、中国石油大学、浙江大学、中山大学、北京科技大学、上海交通大学、西安交通大学、北京理工大学、长安大学、北京科技大学、山东大学、大连理工大学。 专业背景：要求考生具备基础数学、概率论、微积极分分析、计算机理论、统计分析等学科知识。 研究方向：微分动力系统、非线性分析、复分析与几何、拓扑学、代数数论与代数几何、图论、组合数学、常微分方程、微分几何、数学物理、信息科学、计算数学、泛函分析、偏微分方程、几何分析与变分学 就业前景：硕士毕业后，因占有数学基础强的优势，利于跨专业考经济、金融、会计等热门专业的博士研究生;也可以在相关企业、事业单位和经济、管理部门从事统计调查、统计信息管理、数量分析等开发、应用和管理工作，或在科研、教育部门成为从事研究和教学工作的高级专门人才。 2.概率论与数理统计(概率与统计精算) 专业概况：概率论与数理统计是20世纪迅速发展的学科，主要研究各种随机现象的本质与内在规律，以及自然、社会等学科中不同类型数据的科学的综处理和统计推断方法。随着人类社会各个体系的日益庞大、复杂、精密以及计算机的广泛使用，概率统计在信息时代
拓扑学发展史及其应用 【摘要】 【关键字】拓扑学、 【正文】 一、什么是拓扑学 拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起 源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology 原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入， 当时主要研究的是出于数学分析的需要而产 生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研 究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变 量。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分 支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在 连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形， 形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许 割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。 学科方向 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑 拓扑学 已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。 数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。[英topology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图
形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 拓扑学由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十
研究生课程设置 1.计算数学计算数学专业:研究方向:1.偏微分方程数值解; 2.软件工程方 法;3.最优化方法类课程编学学授课学任课教课程名称类型备注别号时 分期师 1次/ 马克思主义理论 3 公年共1次/必第一外国语 3 年修 1次/课专业外语 1 年 1次/ 泛函分析(I) 3 秋年 1次/ 拓扑学(I) 3 秋年 1次/ 偏微分方程 3 春公年共1次/任选2-4基抽象代数 3 秋年门础 1次/课现代微分几何 3 春年 1次/ 测度与概率论 3 秋年 1次/ 实分析与复分析 3 秋年 数值代数 3 秋专 数值逼近 3 春业任选3-4基偏微分方程数值解门 3 秋 础(i) 课数值软件方法 3 秋 偏微分方程数值解 3 (II) 专 流体力学 3 业 近代数值方法 3 选修最优化方法 3 课流体 力学计算方法 3 专业讨论班 3 2.概率统计 概率统计:研究方向:随机过程;随机过程在金融保险中的应用;数理统计;信 息论 类课程编学学授课学任课教课程名称类型备注别号时分期师 1次/ 马克思主义理论 3 公年共1次/必第一外国语 3 年修 1次/课专业外语 1 年 1次/ 泛函分析(I) 3 秋年 1次/ 拓扑学(I) 3 秋年 1次/ 偏微分方程 3 春公年共1次/任选2-4基抽象代数 3 秋年门础 1次/课现代微分几何 3 春年 1次/ 测度与概率论 3 秋年 1次/ 实分析与复分析 3 秋年 1次/ 随机过程 3 春年
1次/ 随机分析 3 秋年 1次/ 高等数理统计 3 秋年 1次/ 线性模型 3 春专年业1次/任选3-5基时间序列分析 3 秋年门础 1次/课调和分析 3 春年 1次/ 信息论 3 春年 1次/ 编码理论 3 春年 1次/ 密码学 3 春年 非参数和非线性统 3 计 高等多元统计 3 可靠性统计 3 抽样调查 3 生物统计 3 试验设计 3 统计计算 3 专 统计质量控制 3 业 选风险理论 3 修小波分析基础 3 课随机 微分方程 3 精算数学 3 Levy过程 3 金融工程 3 随机过程在金融保 险 3 中的应用 专业讨论班 3 3.生物信息学 类课程编学学授课学任课教课程名称类型备注别号时分期师 1次/ 马克思主义理论 3 公年共1次/必第一外国语 3 年修 1次/课专业外语 1 年 1次/ 泛函分析(I) 3 秋年 1次/ 拓扑学(I) 3 秋年公 1次/共偏微分方程 3 春任选2-4年基门础1次/ 抽象代数 3 秋课年 1次/ 现代微分几何 3 春年 测度与概率论 3 秋 1次/ 年 1次/ 实分析与复分析 3 秋年 生物信息中的数学 1次/ 3 秋问题年
聊城大学 2010 年硕士研究生招生专业目录
学院、专业、 学院、专业、研究方向及代码 招生 人数 考试科目及代码 备注
001 商学院 (联系电话：0635-8238183，联系人：马中东) 020201 国民经济学
01 国民经济运行与宏观调控 02 体制改革与经济增长 03 经济发展与社会保障
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①101 思想政治理论②201 英语一③303 数学三④801 西方经济学
专业复试科目：政治经济学。 同等学力加试科目：①经济 学说史②发展经济学
020205 产业经济学
01 产业组织理论与政策 02 公共物品与公共产业 03 农业现代化与农村发展 04 企业战略与管理
8
①101 思想政治理论②201 英语一③303 数学三④801 西方经济学
专业复试科目：政治经济学。 同等学力加试科目：①经济 学说史②发展经济学
002 思政与马克思主义学院 (联系电话：0635-8238182，联系人：魏宪朝)
030203 科学社会主义与国际共产主义运动 01 二十世纪世界社会主义共产主义运动 02 当代西方社会民主党 03 苏联与当代俄罗斯 04 中国特色社会主义理论与实践 030206 国际政治 01 政党政治研究 02 大国关系研究 03 国际组织研究 030501 马克思主义基本原理 01 马克思主义基本理论及其中国化研究 02 马克思主义党建理论与实践 03 马克思主义理论与科学发展观研究 04 马克思主义经济理论研究 030504 国外马克思主义研究 01 西方马克思主义研究 02 国外社会主义思潮
12
①101 思想政治理论②201 英语一③601 世界现代史 ④802 政治学
专业复试科目：科学社会主 义原理。同等学力加试科目： ①当代世界政治经济与国际 关系②毛泽东思想概论
12
①101 思想政治理论②201 英语一③601 世界现代史 ④802 政治学
专业复试科目：国际政治学 概论。同等学力加试科目： ①当代世界政治经济与国际 关系②毛泽东思想概论
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①101 思想政治理论②201 英语一③602 马克思主义 哲学④802 政治学
专业复试科目：马克思主义 基本原理。同等学力加试科 目：①政治经济学②毛泽东 思想概论
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①101 思想政治理论②201 英语一③602 马克思主义 哲学④802 政治学
专业复试科目：马克思主义 基本原理。同等学力加试科 目：①政治经济学②毛泽东 思想概论
030505 思想政治教育 01 高校思想政治教育与管理工作研究 02 思想政治教育原理与方法 03 思想政治教育与中国传统文化 040102 课程与教学论 01 思想政治课程与教学研究
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①101 思想政治理论②201 英语一③602 马克思主义 哲学④802 政治学
专业复试科目：马克思主义 基本原理。同等学力加试科 目：①政治经济学②毛泽东 思想概论
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①101 思想政治理论②201 英语一③311 教育学专业 基础综合④—无
专业复试科目：思想政治教 育原理。同等学力加试科目： ①马克思主义哲学②思想品 德修养与法律基础
《点集拓扑学》教案(40学时) 第一章 序言与分析学初步 §1-1 拓扑学的几何与分析两大背景 拓扑学是数学中一个重要的、基础分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)。后来，集合论的建立，导致了人们对抽象空间的分析学研究，并以此为背景建立了点集拓扑学理论。 一、以几何学研究作为发展背景 被流传为拓扑学产生萌芽的哥尼斯堡七桥问题 1736年，欧拉在彼得堡担任教授时，解决了一个 “七桥问题”，并认为是拓扑学产生的萌芽。 当时普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？” 图1 七桥问题 欧拉将“七桥问题”简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，证明了这是根本办不到的。一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。 “七桥问题”是一个几何问题，但不是传统的欧氏几何问题，它与度量度无关，仅与连接方式有关。 几何学的其他例子 ① 欧拉的多面体公式与曲面的分类 欧拉的研究发现，不论什么形状的凸多面体（解释凸多面体），其顶点数v 、棱数e 、面数f 之间总有 2=+-f e v 的关系。由此可证明正多面体只有五种。 对于非凸多面体（如图2呈框形，则不管框的形状如何），总有 0=+-f e v 这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。 D
习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈
2020考研中国科学院大学应用数学考研招生情况、分数线、参考书目、录取名单 一、数学科学学院简介 中国科学院大学（简称国科大）数学科学学院前身为1978年成立的中国科技大学研究生院（北京）数学教学部，2002年9月更名为中国科学院研究生院数学系，2006年6月与中国科学院数学与系统科学研究院联合组建成立中国科学院研究生院数学科学学院，院长和副院长分别由数学与系统科学研究院的院长和分管教育的副院长担任。2014年由数学与系统科学研究院承办科教融合数学科学学院，现任院长为席南华院士。数学科学学院下设6个教研室，分别为分析数学教研室、几何与拓扑教研室、代数与数论教研室、计算数学与计算机数学教研室、概率论与数理统计教研室、运筹学与控制论教研室。 国科大数学科学学院的专任教师每年招收硕士研究生20名左右（含推免生），培养方向有分析、代数、几何、概率论、数理统计、应用数学、运筹学与控制论、应用统计专业学位硕士以及一些交叉学科的若干个研究方向。 二、中国科学院大学应用数学专业招生情况、考试科目 三、中国科学院大学应用数学专业分数线
四、中国科学院大学应用数学专业考研参考书目 616数学分析 现行（公开发行）综合性大学（师范大学）数学系用数学分析教程。 801高等代数 [1] 北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷. [2] 复旦大学蒋尔雄等编《线性代数》，人民教育出版社，1988. [3] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社，1997. 五、中国科学院大学应用数学专业复试原则 最后的复试成绩综合考虑以上“业务能力、英语听力和口语、综合素质和思想品德”四个方面的成绩，复试成绩满分100分，其中业务能力占50％，英语听力和口语占30％，综合素质和思想品德占20％。
扑 学 奇 趣
拓 扑 学 奇 趣
一、 什么是拓扑学 拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支， 其中拓扑 变换在许多领域均有其用途。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为 数学理论的三大支柱。 拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观的说，关于图形的几何性质探讨， 不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是 其内容却与几何学的范畴不尽相同， 多数的讨论都是围绕在那些与大小、 位置、 形状无关的性质上。 例如，曲线(绳子、电线、分子链?)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。如果曲线是闭合的， 则它可以是“缠绕”得很复杂的。两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。立体及它 们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。这种变形 不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们 把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的 形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。 A. 拓扑同胚与等价性质 拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。 一个几何图形的性质， 经由一拓扑变换作用后维持 不变，该性质称为图形的拓扑性质。下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。 任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。然而， 在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。 如果我们把一个橡皮制的物体 X 任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形 状的物体 Y，我们称这两个物体 X 和 Y 在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说， 在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物 体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。 例如，任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。所以这个延 伸、伸缩变换是一种同胚变换，因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。 拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。 网络、 欧拉定理、 曲面、 向量场、 四色问题、结、覆盖等，都是拓扑学研究的重要课题。 B. 不可思议的拓扑变换 法国著名数学家庞加莱(Poincaré, 1854～1912)以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出 图1中的两个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个， 您认为可能吗？
庞加莱的变换魔术：请注意图2的变换!在拓扑上，只要不破坏原有结构，任意伸缩变形是被 允许的，因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。
庞加莱的奇怪想
2019第3期下（总第295期 ） Z HONG GUO NONG CUN JIAO YU 基于非标准分析在拓扑学中的应用分析 黄兵昌 当前，非标准分析已经广泛应用在微分学、 分析学、代数几何学和拓扑学等学科中，而且在拓扑学中取得了重大的突破。为了阐明拓扑学的概念与本质，本文将会通过非标准分析的概念与兴致，结合现时国内外的发展状况，通过对拓扑学展开应用分析，希望能够为非标准分析厘清有关拓扑学运用的一些研究成果与数学学术界的研究贡献。 一、什么是非标准分析 非标准分析是数学家A.Robinson 于1960年发现的。当时，由于在微积分创建初期，牛顿和 Leibnizi 对于无穷小的解释 “小于所有正实数而又不等于0”比较含糊，由于缺乏科学的理论基础，导致数学学科领域对于 “无穷”这个概念的争议不断。而正是这种争议不断的探究，推动数学家不断深入探究。经过探究分析，数学家A.Robinson 发现在分析学当中的无穷小和模型论研究的成果有着相通的内在联系。因此，他把实数域扩张成包括无穷小和无穷大数的超实数域*R ，继而建立了非标准分析的这门新的数学学科，从而使300年来对于无穷小的争议才能为学界所接受。 在通过运用模型论证实无穷小的这个分析方法的逻辑和严密性之后，A.Robin-son 开始致力于非标准分析的研究并通过荷兰皇家科学院在1961年发表论文《non-standard analysis 》，分享有关非标 准分析理论的研究成果总结，这也宣告非标准分析这门新数学学科的诞生。之后分 析学就被分成标准分析和非标准分析两种方法。 二、非标准分析在拓扑学领域中的运用（一）模糊拓扑空间的非标准分析 当前，国际与国内的学者都先对模糊集合及模糊集合的运算进行非标准的扩张，然后将非标准分析的概念结合到模糊数学之中，运用共点原理，将非标准扩大的模型导入到模糊数学之中，令非标准扩大的模型具备模糊运算的表达模式，继而可以得出关于模糊拓扑空间的定义，基于这个运算基础，应用转换原理，对模糊滤子的聚点、极限点以及模糊滤子的收敛性展开非标准刻画，研究模糊拓扑学的三种邻近结构:重域、 邻域与远域，根据结合非标准分析的单子有关知识，分析出了Q －单子、N －单子和R－单子的概念，更可推断出与它们相对应的逼近定理与相关关系，也对模糊拓扑空间中的Moore-Smith 收敛理论，紧性，分离公理等展开了非标准刻画，而这种刻画更加充分地展现出非标准分析的直观优点，从而使模糊拓扑学中既有的概念原理和研究成果的本质更加明朗化。 （二）一致拓扑空间的非标准分析 一致空间作为一种特殊的拓扑空间，它是拓扑空间与度量空间之间的纽带。学界利用非标准分析与格集的概念，为一致空间上函数的一致收敛展开了刻画，归纳了一致空间上函数的U －微连续性、U －等度连续性、U －*－和rs －连续性的概念，对上述四种非标准连续性相互之间存在的 关系展开研究。这些研究成果都为将来一致空间的研究奠定了非常重要的理论基础。 （三）线性拓扑空间的非标准分析 线性拓扑空间指的是拓扑空间的一种特殊的表现形式，空间E 它既是线性空间，也是拓扑空间，而且E 中的任意代数都能够按其拓扑连续运算，则可以称这类型的空间E 是线性拓扑空间。 同时，我们也可以视为这是线性距离空间的推广。学界通过对其进行研究，总结出已有的结论，从而使线性拓扑空间的理论能够更为容易理解和接受，为线性拓扑空间的长远发展作出研究贡献。 非标准分析学科的建立是数学研究史上的重要发现之一，虽然经过长时间的发展已取得了许多非常重要的研究成果，但是，有关非标准分析应该如何更有效地运用自身的模型，又应该如何更好利用它来进行研究数学学科现存的各式各样的问题，这就仰赖数学界的众多学者一同对非标准分析进行更深层次的研究，相信通过学界的共同努力科研探究，非标准分析将会对各学科的发展将会产生更大的影响。 作者简介： 男（1984.1--）,广西崇左,硕士研究生,主要从事一般拓扑学及其应用的研究。 (通联：广西城市职业学院） 本文先阐述有关非标准分析诞生的背景与当前国内国际学术界有关非标准分析在拓扑学的应用，然后对有关非标准分析在模糊拓扑空间、线性拓扑空间与一致拓扑空间的应用展开论述，从而得出有关运用非标准分析的方法作为基础研究拓扑学，使拓扑学的概念、本质更加明朗 。 40