一类变系数偏微分方程的解法

一
ｍ ｚ （ ｔ ） — —— Ｌ— —— 一
０ ［ ｅ ｘ ｐ （ ｆ ２ ｍ （ ｔ ） ｄ ｔ ） （ ． ｒ ， ） ］
＝０
合并 同类 项得
Ａ Ｃ Ｍ ＝ ｍ 。 （ ） ［ ｅ ｘ ｐ （ ｆ Ｓ ｍ ｚ （ ｔ ） ｄ ￡ ） ］ ｕ ０ ［ ｅ ｘ ｐ （ ｆ Ｓ ｍ ： （ ￡ ） ｄ ￡ ） ］ （ 丁 ， ） Ｏ ｍ ｌ （ ｔ ） ｅ ｘ ｐ （ ｆ ５ ｍ （ ） ） Ｏ ｍ ， （ ） ｅ ｘ ｐ （ ｆ Ｓ ｍ ２ （ ） ）
＝
一
｛ 【 （ ｃ 一 。 ） 一 ２ （ ２ 口 一 ｃ ） 丁 ＋ ］ ）
其中７ ｌ 是 关 于 ， ． ｒ的函数．
＋ 当 ａ＝ｂ＝ｃ 时， Ⅱ （ ， ）＝ａ一 ２ （ 一 ） － ２ ． ６ 其中 ａ ， ｂ ， ｃ 是实数且满足文献［ ２ ］ 和［ ３ ］ 中的 条 件． 一 证明类似文献［ ２ ］ 和［ ３ ］中的证明， 略． ｍ
求解 方程 Ｄ ｕ ＝０的问题 …．
本文研究 变 系数 偏微 分方 程
（ ａ ３ Ｏ － Ｖ ＋ｍ 。） Ｖ Ⅲ
－ － －
㈤ （ ２
＝ｏ
ｌ
３ 证 明过 程
２
的求解， 其中 （ ｉ ＝１ ， ２ ） 为ｔ 的任意函数．
＋
２ 定 义 和 引理
为 了证 明方程 （ １ ）给 出定 义 ２ ． １和引理 ２ ． １ ．
作者简介： 宋杨 （ １ ９ ８ ８ 一） ， 女， 吉林公主岭人 ， 吉林师范大学数学学院在读硕士研究生
第 ５期
棠 杨 ： 一类 变 系数 偏微 分方程 的 解 法
７ ８ ７
￣ ｅ ｘ ｐ （ Ｊ （ ￡ ） ） ｕ （ 丁 ， ） ］ ——Ｌ ＿一
一
即
㈤ ［ ｅ ｘ ｐ （ 引 旁 ＋ ６ ｔ ）
将（ ３ ）代 入方程 （ ２ ）得
ｅ ｘ ｐ （ Ｉ ２ ｍ ： （ ｔ ） ｄ ｔ ） （ ， ） ］
ＡＣｕ ＝ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
的解 ， Ｂ＿ ￣ ａ ｕ
，
，
∈ ， 则 有
引理 ２ ． １ 设Ⅱ （ ， ）Ｅ Ｘ， 是常系数 Ｋ Ｄ Ｖ方
程
＋６ ｕ ｕ ｆ＋ 搿 ０
ａ ｕ
＝ Ｃ ＝ ｅ ｘ ￣ （ ｆ ２ ｍ （ ￡ ） ｄ ￡ ） （ 丁 ， ） ＝ ｅ ｘ ｐ （ ｆ ｍ （ ￡ ） ） （ ３ ） 丁 ＝ （ ｚ ） ｅ ｘ ｐ （ ｆ ３ ｍ ￣ （ ￡ ） ｄ ￡ ） ｄ ｆ
缸
（ ２ ）
定义 ２ ． １ 设 是线性 空 间 ， Ａ， ， Ｃ， Ｄ是从 到 的算子 ， 对任 意 ∈Ｘ， Ａ Ｃ （ ）＝Ａ （ Ｃ ｖ ） ， Ｂ Ｄ（ ） ＝Ｂ（ Ｄ ｖ ） 如果 对 Ｖｖ∈Ｘ， Ａ Ｃ （ ）＝Ｂ（ Ｄ ｖ ） ， 则称 Ａ Ｃ ＝Ｂ Ｄ ．
【 （ ｃ － ０ ） ｝ （ － ２ （ 。 ＋ ６ ＋ ｃ ） ． ｒ百度文库＋ ， ） 】
其中ｌ ＂ ｔ 为实 数． 当 ０ ＜ｂ≠ ｃ时 ，
（ ， ）＝口＋（ ｃ—ａ ） ｓ ｅ ｅ ｈ 令
＝
＋
ｍ
０ （ 其中 Ｃ ｋ ｅ ｒ Ｄ］ｋ ｅ ｒ Ａ ， ｋ ｅ ｒ 表示算子的核） ， 对 般 微分方 程 的求 解 ， 转 化 成 对 下 面 问题 的解 决 ： 给定算子 Ａ构造算子 Ｄ和使 Ｃ ｋ ｅ ｒ Ｄ ＝ｋ ｅ ｒ Ａ如何 构 造变换 ｔ ， ＝Ｃ ｕ ， 把求 解 方程 Ａ ｖ＝０的 问题 约化成
张鸿 庆教授 在 １ ９ ７ ８年提 出 了关 于微分 方程 求 解 的“ Ａ Ｃ ＝Ｂ Ｄ”模式 及其应 用 ， 这里 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ均 为微 分算子 ． “ Ａ Ｃ ＝Ｂ Ｄ”的基 本 思想方 法 为 ： 已知 Ａ ｖ＝０ 和Ｄ ｕ＝０ ， 寻 找适 当的变换 口＝Ｃ ｕ ， 使 得 Ｄｕ
Ｖｏ １ ． ３ １ Ｎ ｏ ． ５
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５—０ ７ ８ ６— ０ ２
一
类 变 系数 偏 微 分 方 程 的 解 法①
宋 杨
（ 吉林师范大学数学学院 。 吉林 四平 １ ３ ６ ０ ０ ０ ）
［ ｅ ｘ ｐ （ ｆ Ｓ ｍ ㈤ 丁 ， ） 詈 ＝ ０
Ａ Ｃ ＝ ｍ 。 （ ｆ ） ［ ｅ ｘ ｐ （ ｆ Ｓ ｍ ： （ ￡ ） ｄ ￡ ） ］ ｕ ａ 打
２ ｍ （ ｆ ） ［ ｅ ｘ ｐ （ ｆ ２ ｍ ： （ ｔ ） ｄ ￡ ） （ ， ） ］
摘
要： 运用Ａ Ｃ ＝Ｂ Ｄ的 思想 ， 将 一类 变 系数偏微 分 方程线 性化 ， 并利 用行 波 法将 方程 约化 成
常微分方程求出方程的行波解．
关键 词 ： 偏 微分 方程 “Ａ Ｃ ＝Ｂ Ｄ” 法 行 波法
中图分类 号 ： ０ １ ７ ５ ． ２
文献标 识码 ： Ａ
１ 问题 的提 出
当 ａ ＜ｂ＜ｃ 时， Ｍ （ ． ｒ ， ）＝ｂ＋（ ｃ—ｂ ） ｏ ｎ
＋ｍ１ （ ） ——— ．—＿ ———一
ｇ ［ ｅ ｘ ｐ （ Ｉ ２ ｍ ￣ （ ｔ ） ｄ ｔ ） （ 丁 ， ） ］
＋６ ｍ １ （ ￡ ）
① 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ８—２ ６
第３ １ 卷 第 ５期
２ ０ １ ３ 年 ０ ９月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）