高中数学：求函数值域的10种常见方法

求函数的值域（常用）

一、用非负数的性质

例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x2+2;（2）y=5+21x(x≥-1).

练1：函数2()1fxxx的最小值是_________________．

练2：求函数21yxx的值域．

练3：求函数的值域。

练4：（1）232xxy （2）]8,5[,452xxxy （3）2234xxy

]2,1[x,5x2xy2二、分离常数法

对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

例1：求下列函数的值域：（1）y=21xx（2）y=2211xx.

练1：求下列函数的值域：（1）13222xxy（2）3214222xxxxy

三、利用函数单调性

已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．

例1：求函数y=3x+x3的值域.

练1：求函数122xxy()0x的值域.

练2：求函数xxy213的值域.

四、利用判别式

特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,ayyx且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值．

例1：求函数y =234xx的最值．

练1：利用判别式方法求函数222231xxyxx的值域．

五、利用换元法求值域

有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．

例1：求函数的值域。

练1：求6log62log2222xxy的值域.

1xxy练2：设02x≤≤，求函数1()4321xxfx的值域.

练3：求函数y=2x-5+154x的值域．

练4：求函数xxy213的值域.

六：判别式法

例1：求函数的值域。

七、利用数形结合

数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．

例1：若62xxy,求y的最大、最小值．

练1：求函数342xxy的值域．

22x1xx1y练2：求函数186122xxxy的值域．

练3：若（x+21y）(y-21x)=0,求x-y的最大、最小值．

八、利用已知函数的有界性．

例1：求函数y=25243xx的值域.

练1：求函数的值域。

练2：（1）]1,3[,2415xxxy （2）①1212xxy ②2sin1sinxxy

八、利用反函数

例1：求函数y=值域。

1e1eyxx6x54x3练1：求函数y=2xxee(x＞0)的值域．

考点吗、求值域综合性题目．

例1：求下列函数的值域：

⑴34xyx ⑵25243yxx ⑶12yxx．

练1：求下列函数的值域：

（1）242(14)yxxx；（2）2sin2sinxyx；（3）22436xxyxx．

练2：求下列函数的值域⑴1yxx；⑵3yxx．

练3：求下列函数的值域：

（1）2432yxx； （2）12yxx；

（3）221223xxyxx； （4）35yxx；

练4：求下列函数的值域：

（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；

（4）41yxx；（5）21yxx；（6）|1||4|yxx；

（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；（9）1sin2cosxyx。

巩固练习

1、求函数])8,1[(4log2log22xxxy的值域.

2、已知0,2x，求函数12()4325xxfx的值域.

2、函数342xxey的值域.

4、求函数421,[3,2]xxyx的值域.

5、①1xxy ②12xxy ③xxy212

6、①]2,3[,12141xyxx ②5log1 )27)(log9(log333xxxy，其中

③122xxy ④122xxxxy

6、求值域：

（1）xxy212 （2）xxy5.0log4

（3）xxy4 （4）]9,2[ ,14xxxy