求函数的值域（常用）
一、用非负数的性质
例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2
+2;（2）
≥-1).
练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．
练2：
求函数y =
练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y
（3）2234x x y -+-=
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=
二、分离常数法
对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．
例1：求下列函数的值域：（1）y=21
x x ++（2）y=2211x x -+.
练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3
214222++++=x x x x y
三、利用函数单调性
已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3
的值域.
练1：求函数122+-
=x
x y ()0>x 的值域.
练2：求函数x x y 213--=的值域.
四、利用判别式
特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =
234
x x +的最值．
练1：利用判别式方法求函数222231
x x y x x -+=-+的值域．
五、利用换元法求值域
有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数
的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.
1x x y -+=
练2：设02x ≤≤，求函数1()432
1x x f x +=-+的值域.
练3：求函数的值域．
练4：求函数x x y 213--=的值域.
六：判别式法
例1：求函数的值域。
七、利用数形结合
数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．
练1：求函数342
+-=x x y 的值域．
22
x 1x x 1y +++=
练2：求函数186122+-++=
x x x y 的值域．
练3：若（求x-y 的最大、最小值．
八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=
25243
x x -+的值域.
练1：求函数的值域。
练2：（1）]
1,3[,241
5--∈+-=x x x y （2）①1212+-=x x y ②2sin 1sin +-=x x y
八、利用反函数
例1：求函数y=值域。
1e 1
e y x x +-=6x 54
x 3++
练1：求函数y=2x x
e e -+(x ＞0)的值域．
考点吗、求值域综合性题目． 例1：求下列函数的值域：
⑴34x
y x +=- ⑵25
243y x x =-+ ⑶y x =-．
练1：求下列函数的值域：
（1）242(14)y x x x =-+-≤≤；（2）2sin 2sin x
y x -=+；（3）
22436x x y x x ++=+-．
练2：求下列函数的值域⑴1y x x
=+；⑵y x =+．
练3：求下列函数的值域：
（1）4y =； （2）y x =+
（3）221223
x x y x x -+=-+； （4）y =；
练4：求下列函数的值域：
（1）232y x x =-+；（2）y =（3）312
x y x +=-；
（4）y x =+（5）y x =+（6）|1||4|y x x =-++；
（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）1sin 2cos x y x -=-。
巩固练习
1、求函数])8,1[(4log 2log 22
∈⋅=x x x y 的值域.
2、已知[]0,2x ∈，求函数12()4
325x x f x -=-⋅+的值域.
2、函数342-+-=x x e
y 的值域.
4、求函数4
21,[3,2]x x y x --=-+∈-的值域.
5、①1-+
=x x y ②12--=x x y ③x x y 212--=
6、①]2,3[,12141-∈+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x x ②5log 1 )27)(log 9(log 333≤≤=x x x y ，其中 ③1
22+=x x y ④122+--=x x x x y
6、求值域：
（1）x x y 212--= （2）x x y 5.0log 4+-=
（3）x x y 4+
= （4）]9,2[ ,14∈-+=x x x y。
