恒定磁场基本方程

2-2-5稳恒磁场基本方程

因磁场也是矢量场，在第一章中，我们知道，矢量场的基本性质可由它的散度和旋度方程描述。下面我们导出磁场的基本方程。对于电流密度分布为J 在空间P (r )点产生的磁通密度为：

3

(()d 4V V R

μπ

'

')⨯=

'⎰

J r R

B r (2-2-20)

用戴尔算符∇点乘上式两边，注意到积分是对源坐标变量，而戴尔算符是对场变量运算。因此，我们有：

03

33

d d d 444V V V V V V R

R

R

μμμπ

ππ'

''

'⨯'⨯∇=

∇'=

∇'='∇⨯

'⎰

⎰⎰

J R J R

R B J

又因为

3

1()0R

R

∇⨯

=∇⨯-∇

≡R

因此，

()0∇=B r

(2-2-21a)

上式称为磁场中的高斯定理微分形式。上式表明磁场的散度总是为零，即磁场不存在散度源。磁场是一无散场。

磁通密度B 通过一有向面积s 的通量称为磁通，记为ψ。则

d s

ψ=

⎰

B s

磁通的单位为韦伯(Wb)。正因为此定义，B 称为磁通密度。

由散度定理，式(2-2-21a)的积分形式为：

d 0s

=⎰ B s (2-2-21b)

上式称为磁场中的高斯定理积分形式。上式说明，稳恒磁场通过任一封闭面的总磁通总是零，即磁场是一管量场。或说，磁场线总是闭合的，没有起点和终点。此称为磁通连续性原理。

取式(2-2-20)的旋度得：

3

(()d 4V V R

μπ

'

')⨯∇⨯=

∇⨯'⎰

J r R

B r

注意积分和算符∇的运算是对不同的变量，上式右边：

3

3

2

2

(d d 441()d 4()d 4[()]d 41[()]d 4V V V V V V V V R

R

V R V R

V R R

V R

R

μμπ

π

μπ

μπ

μπ

μπ

'

'

'

'

'

'

')⨯'⨯∇⨯'=

∇⨯

'=∇⨯-'⨯∇'

'=∇⨯∇⨯'

''=∇∇-∇'

1=

∇'∇-'∇

'

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

J r R J R J J J J J J

因为R = r – r '及11R

R

∇

=-∇'

、2

14()R

πδ∇=-R ，我们得：

3

00(d ()d d 4441

()d d ()

44V V V V V V V V R

R

V V R R

μμμπδπ

π

π

μμμππ'

'

'

''

')⨯1∇⨯'=

∇-'∇'

'+

'4(-')'

'=∇-∇''+∇∇'''+⎰

⎰⎰

⎰⎰ J r R J J r r J J J r

上式右边第一项可转为封闭面积分，因电流是局限在s '包围的体积V '内，此面积分为零。换句话说，电流源是分布在在s '包围的有限体积V '内，上式右边第一项的积分区域可扩展到J (r ') = 0的区域，转为封闭面积分时，因在面上电流为零而积分为零。第二项积分中，对于稳恒电流有0

t

ρ∂'∇''=

-≡∂J ，因此也为零。因此，我们得到磁场B 的旋度为：

0()()μ∇⨯=B r J r

(2-2-22a)

上式称为稳恒磁场安培定律的微分形式。利用斯托克斯定理，上式的积分形式为：

0d d l

s

I

μμ==⎰⎰

B l J s (2-2-22b)

式中I 为按右手螺旋规则通过s 面的总电流。上式表明，真空中稳恒磁场的磁通密度围绕一闭合曲线的环量等于曲线所包围的电流I 乘以真空中的磁导率μ0。因此，上式又称为安培环路定律。

方程(2-2-21)和(2-2-22)即为稳恒磁场的基本方程。