用构造法证明不等式
- 格式：pdf
- 大小：93.84 KB
- 文档页数：1
当前位置：文档之家 › 用构造法证明不等式
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 ３ 已 知 ａ １ ６＞ １ 且 ＝ ２ 求 证 ： ＜ 。 ： ＞ 一 Ⅱ １
，
， ，
八 、 造 几 何体 构
证 ： 不 式。 一 一‘ ，ｎ｝ｎ） ＞ 明构 等 （｝（ ） 即６ （ 造 一） ＞ 一 舶 １ ６ ０ ０ 以＋｝ ），ｎ＜ ， 。＜ （ ：即舶１ 所 ６ ＋ １ 。
南 。
证明：构造向量 ： 一 （ ｖ可
、１ ／
，— 一 ） ： 、 ，云 （／
、 １ｖ ／一２
，
） ，由向量数量积性质 （ ． ａ『．６Ｊ，得 ４ 三 ）≤ｌ ｆ ｚ ≤
（ － （２ ） 以 ＋ ≥ １－ ） ＋ ， 南 － ・ 所 壬 叫
Ｊ
证 明 ： Ｄ ｌ得 Ｖ ａ ＞ ， 弋 ａ 一 ＞ ， 原 不 等 式 等 价 于 由 ， １即 ｖ ／ １０故
一
０。
＞ 。 构 造 以 １为 首 项 ，
为 公 比 的 等 比数 列 ％， 则
证 明 ： Ｐ ａｂ ， 设 （ ， ） 由题 意 知 点 Ｐ是 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 与 圆 ＋ ＋ ＝ — ＝ — ｌ ｃ 的公 共 点 ， 是 圆心 ｏ ｏ ０ 到 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 于 （ ，） ＋ ＝ — 的距 离 不 大 于该 圆 的半 径 ， 即
七 造 解 析 几 何 模 型 构
。
＜
图 １
二 构 造数 列
例 ２ 已知 ｎ １ｎ ， ∈Ｎ， 证 ： Ｉ 一 ＜ ＿ ： ＞ ， ≥２ ｎ 求 ＿ １旦 ｌ
ｎ
例 ７ 已 知 Ⅱ ｂ ｃ∈Ｒ， ＋ ＋ ＝ ，Ｚｂ＋ １ 求 证 ： ＜ ＜ ： ，， ａ ｂ ｃ ｌ ａ ｃ＝ ， ＋ 一１ ｃ
≥
四 、 造 方 程 法 构
特 号＿— 且想理，／ 一ａ的 ｃ 点到茎—— 仅＋．— ＼ 容时 一— 证余 —＼ 当 易取 ＼ ７ ．弦 Ａ—： 明定 ＋ ０式 ／ ｌ 『结 』 １等 ｆ． 构 联于／ ： 从 三 一 个 Ｃ Ｌ 根
例 ： 。＞。＋１＋Ｃ ，证一＜０ ４ 知 ６， ｃ，６２求 ： ｃ 已 ｃ＋ ＝ ２＝ ６ ＋１ ｝ ＜
（ ， ． ） 为 减 函数 所 以－ ） （ ，． 为 减 函数 ， ０ 一 一 上 ｂ 厂 在 一 ） （ 上 又 ＜
二 ｌ，
Ａ Ｂ 中 ， 有 ｌｃ Ａ Ｉ＜ ＡＤ —口
Ｂ
Ｄ
Ｃ
所 以厂 ） （
） 。
ＩＣ Ｂ ， ／ 一 ／ Ｂ － Ｄ Ｉ即、ｉ 、 ｌ ｂｌ ｎ ， — 故原不等式成立。
＝ 一 ，
， 造 直 角 三 角 形 ， 图 构 如
， Ａ曰 ＝１曰Ｄ ＝ ＡＣ ＝ ． ｂ．
由． Ｘ １ ； 。 ￣ ， 得 ＝ ２＞ －
二 厶
，
ｌ ， ｌ一 由于 ） ＝ 即ｘ＜ ， 在 ＞
，
二
、１ ， ／ ＋ Ｄ＝ｘ ｌｂ ， Ｃ＝ ／ ＋ Ｂ ｎ在
实 践 讲 堂
２ １ 年 第２ （ １８ ０２ 期 总第 ３ 期）
有 砦 不 等 式 问题 如 果 从 正 面证 明 ． 常 会 很 麻 烦 ， 至 无 常 甚 从 下 手 ． 是 如 果 转 换 角 度 ， 不 等 式 的 结 构 和 特 点 人 手 ， 妙 但 从 巧
４
＝
２
，
即 ＋ ≥ 。 寺‘ 南
Ｉ ６ｆ 。
） 的
：
、
构 造 函数
．
例 １ 已知 函数 厂 ） ｚｂ ＋ （ ， 常 数 ）方 程 ： （ ｎ． 俯 由 （） 、
Ｖ丽
１ 所 示
两 个 实 数 根 是 ２且 满 足 ｌ ２１设 Ｏ ｔｘ， 证 ， ） Ｉ ， ＞ ， ＜＜ ｌ求 （ 。 证 明： 构造 函数 Ｆ ） （－＝ ２（一 ）＋ ， （＝ｘ ｘ ｘ ｂ １Ｘ Ｃ 其图像 的对称轴为 ｘｆ ） ＋
令ｆ （ ）
ｆ ０ △＞
一 １一 ） ｃ 一 ， 令 。 ｂ ＥＲ， 及 ａ＞ ｃ 得 （ ｃ ＋ ｃ ， ６＞ ，
ｌ ｌ ２解 １ ０ ｛）＞０ ｃ ， 。 －ｃ 触 ＿ ａ ＞ ＋ ＜ ｃ
五、 构造 向量 法
例 ：任 实 ） 足 ＜ ｌ＜求 ：ｌ ５ 意 数 、满 Ｉ １ｙ １ 证 设 ， ， Ｉ， ， ＿ Ｊ
、 ２ ／
、 一１ ／ｎ
％ （ ： ｖ 一 ＞ ，￣ ） １Ｓ－ １
Ｖ － ａ ２
，问题转化 为证 明不等式 ｓ＞
≤
， 以一『 ｃ ０ 所 ¨ ＜ １＜
。
０
ｎ 即 ａ＋ 铂＋ …＋ ｎ 由 于 １ 所 以 不 等 式 成立 。 ， ｔ 时 … 。 ， 三 、 造 不 等 式 构
证 明 ： ａ ｂ ｌｃ 得 ａ＋ （＋ ） ２ｂ （一 ） ２ｂ ｌ ｃ， 由 ＋ ＝ — ， ２ｂ： ｎ ６ ＝ ａ ＝１ ｃ － ａ ＝ — 。 － ｚ
所 以 ａ ＝ ２Ｃ， ｂ ｃ一 因此 ， 造 以 ａ 构 ｂ为 根 的 方 程 一 １ ｃ） ｃｑ ＝ （ － ＋ ｃ ０， ２
ｎｂ Ｒ ≠ ， 证 ： （） （）＜ ， ∈ ６ 求・ Ｉ 。－ ｂ ｌ ｆ ｆ
Ｊ（ ） ｂ
地 构 造 与之 相 关 的数 学 模 型 ． 问 题 转 化 ． 可以 使 思 路 简 洁 、 将 就
清晰． 问题 也 会 很 容 易 解 决 。
一
六 、 造 三 角 形 构
例 ６ 设－ ： ／ ： 厂 ） 、 （
，
， ，
八 、 造 几 何体 构
证 ： 不 式。 一 一‘ ，ｎ｝ｎ） ＞ 明构 等 （｝（ ） 即６ （ 造 一） ＞ 一 舶 １ ６ ０ ０ 以＋｝ ），ｎ＜ ， 。＜ （ ：即舶１ 所 ６ ＋ １ 。
南 。
证明：构造向量 ： 一 （ ｖ可
、１ ／
，— 一 ） ： 、 ，云 （／
、 １ｖ ／一２
，
） ，由向量数量积性质 （ ． ａ『．６Ｊ，得 ４ 三 ）≤ｌ ｆ ｚ ≤
（ － （２ ） 以 ＋ ≥ １－ ） ＋ ， 南 － ・ 所 壬 叫
Ｊ
证 明 ： Ｄ ｌ得 Ｖ ａ ＞ ， 弋 ａ 一 ＞ ， 原 不 等 式 等 价 于 由 ， １即 ｖ ／ １０故
一
０。
＞ 。 构 造 以 １为 首 项 ，
为 公 比 的 等 比数 列 ％， 则
证 明 ： Ｐ ａｂ ， 设 （ ， ） 由题 意 知 点 Ｐ是 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 与 圆 ＋ ＋ ＝ — ＝ — ｌ ｃ 的公 共 点 ， 是 圆心 ｏ ｏ ０ 到 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 于 （ ，） ＋ ＝ — 的距 离 不 大 于该 圆 的半 径 ， 即
七 造 解 析 几 何 模 型 构
。
＜
图 １
二 构 造数 列
例 ２ 已知 ｎ １ｎ ， ∈Ｎ， 证 ： Ｉ 一 ＜ ＿ ： ＞ ， ≥２ ｎ 求 ＿ １旦 ｌ
ｎ
例 ７ 已 知 Ⅱ ｂ ｃ∈Ｒ， ＋ ＋ ＝ ，Ｚｂ＋ １ 求 证 ： ＜ ＜ ： ，， ａ ｂ ｃ ｌ ａ ｃ＝ ， ＋ 一１ ｃ
≥
四 、 造 方 程 法 构
特 号＿— 且想理，／ 一ａ的 ｃ 点到茎—— 仅＋．— ＼ 容时 一— 证余 —＼ 当 易取 ＼ ７ ．弦 Ａ—： 明定 ＋ ０式 ／ ｌ 『结 』 １等 ｆ． 构 联于／ ： 从 三 一 个 Ｃ Ｌ 根
例 ： 。＞。＋１＋Ｃ ，证一＜０ ４ 知 ６， ｃ，６２求 ： ｃ 已 ｃ＋ ＝ ２＝ ６ ＋１ ｝ ＜
（ ， ． ） 为 减 函数 所 以－ ） （ ，． 为 减 函数 ， ０ 一 一 上 ｂ 厂 在 一 ） （ 上 又 ＜
二 ｌ，
Ａ Ｂ 中 ， 有 ｌｃ Ａ Ｉ＜ ＡＤ —口
Ｂ
Ｄ
Ｃ
所 以厂 ） （
） 。
ＩＣ Ｂ ， ／ 一 ／ Ｂ － Ｄ Ｉ即、ｉ 、 ｌ ｂｌ ｎ ， — 故原不等式成立。
＝ 一 ，
， 造 直 角 三 角 形 ， 图 构 如
， Ａ曰 ＝１曰Ｄ ＝ ＡＣ ＝ ． ｂ．
由． Ｘ １ ； 。 ￣ ， 得 ＝ ２＞ －
二 厶
，
ｌ ， ｌ一 由于 ） ＝ 即ｘ＜ ， 在 ＞
，
二
、１ ， ／ ＋ Ｄ＝ｘ ｌｂ ， Ｃ＝ ／ ＋ Ｂ ｎ在
实 践 讲 堂
２ １ 年 第２ （ １８ ０２ 期 总第 ３ 期）
有 砦 不 等 式 问题 如 果 从 正 面证 明 ． 常 会 很 麻 烦 ， 至 无 常 甚 从 下 手 ． 是 如 果 转 换 角 度 ， 不 等 式 的 结 构 和 特 点 人 手 ， 妙 但 从 巧
４
＝
２
，
即 ＋ ≥ 。 寺‘ 南
Ｉ ６ｆ 。
） 的
：
、
构 造 函数
．
例 １ 已知 函数 厂 ） ｚｂ ＋ （ ， 常 数 ）方 程 ： （ ｎ． 俯 由 （） 、
Ｖ丽
１ 所 示
两 个 实 数 根 是 ２且 满 足 ｌ ２１设 Ｏ ｔｘ， 证 ， ） Ｉ ， ＞ ， ＜＜ ｌ求 （ 。 证 明： 构造 函数 Ｆ ） （－＝ ２（一 ）＋ ， （＝ｘ ｘ ｘ ｂ １Ｘ Ｃ 其图像 的对称轴为 ｘｆ ） ＋
令ｆ （ ）
ｆ ０ △＞
一 １一 ） ｃ 一 ， 令 。 ｂ ＥＲ， 及 ａ＞ ｃ 得 （ ｃ ＋ ｃ ， ６＞ ，
ｌ ｌ ２解 １ ０ ｛）＞０ ｃ ， 。 －ｃ 触 ＿ ａ ＞ ＋ ＜ ｃ
五、 构造 向量 法
例 ：任 实 ） 足 ＜ ｌ＜求 ：ｌ ５ 意 数 、满 Ｉ １ｙ １ 证 设 ， ， Ｉ， ， ＿ Ｊ
、 ２ ／
、 一１ ／ｎ
％ （ ： ｖ 一 ＞ ，￣ ） １Ｓ－ １
Ｖ － ａ ２
，问题转化 为证 明不等式 ｓ＞
≤
， 以一『 ｃ ０ 所 ¨ ＜ １＜
。
０
ｎ 即 ａ＋ 铂＋ …＋ ｎ 由 于 １ 所 以 不 等 式 成立 。 ， ｔ 时 … 。 ， 三 、 造 不 等 式 构
证 明 ： ａ ｂ ｌｃ 得 ａ＋ （＋ ） ２ｂ （一 ） ２ｂ ｌ ｃ， 由 ＋ ＝ — ， ２ｂ： ｎ ６ ＝ ａ ＝１ ｃ － ａ ＝ — 。 － ｚ
所 以 ａ ＝ ２Ｃ， ｂ ｃ一 因此 ， 造 以 ａ 构 ｂ为 根 的 方 程 一 １ ｃ） ｃｑ ＝ （ － ＋ ｃ ０， ２
ｎｂ Ｒ ≠ ， 证 ： （） （）＜ ， ∈ ６ 求・ Ｉ 。－ ｂ ｌ ｆ ｆ
Ｊ（ ） ｂ
地 构 造 与之 相 关 的数 学 模 型 ． 问 题 转 化 ． 可以 使 思 路 简 洁 、 将 就
清晰． 问题 也 会 很 容 易 解 决 。
一
六 、 造 三 角 形 构
例 ６ 设－ ： ／ ： 厂 ） 、 （