222用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)方差标准差讲解

好”．
• [错因分析] 这种评价是不合理的，尽管平 均分是反映一组数据平均水平的重要特征， 但任何一个数据的改变都会引起它的变化， 而中位数则不受某些极端值的影响．本题中 的5个成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98 ；中位数是95，较为合理地反映了小明的数 学水平，因而应该用中位数来衡量小明的数 学成绩．
A．因为他们平均分相等，所以学习水平一样
B．成绩平均分虽然一样，方差较大的，说明潜 力大，学习态度端正
C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差 小的成绩稳定
D．平均分相等，方差不等，说明学习不一样， 方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低
• [答案] C
2．在某次测量中得到的A样本数据如下： 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88，若样本B数据 恰好是样本A都加上2后所得数据，则A、B两 样本的下列数字特征对应相同的是( )
6×(100－80)2]＝510×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋
14×100＋6×400)＝172.
s
2
乙
＝
1 50
×(4×900
＋
4×400
＋
16×100
＋
2×0
＋
12×100
＋12×400)＝256.
因为 s2甲＜s2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分， 其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙 组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角 度看，甲组成绩总体较好．
均数与方差的公式可得，
519＋10＋11＋x＋y＝10 15[9－102＋10－102＋11－102＋x－102＋y－102]＝2
化
简
得
x＋y＝20 x－102＋y－102＝8
，
解
得
x＝8 y＝12
或
x＝12 y＝8
，所以 xy＝96，故选 D.
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
[答案] D
[解析] B样本数据恰好是A样本数据加上2后 所得的众数、中位数、平均数比原来的都多2 ，而标准差不变．
3．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是2， 则xy＝( ) A．98 B．88 C．76 D．96 [答案] D
[解析] 本题考查样本平均数与方差的计算公式，由平
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
性质归纳：kan b的平均数和方差：
已知a1，a2，，an的平均数是3，方差是2． 则a1 b，a2 b，，an b的平均数是3 b， 方差是2． ka1，ka2，，kan的平均数是3k，方差是2k 2．
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与 平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显 然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以 得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计 策略.
课程讲授
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量 是标准差．
s
1 n
[(
x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)2
]
在刻画样本数据分散程度上，两者是一致的！
如 试比较以下两组样本数据的分散程度 101，98，102，100，99 1 ，3 ，5 ，7 ，9
经验总结: 标准差用来描述样本数据的分散程度。
标准差
方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应 用中，标准差常被理解为稳定性。
[解析] (1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为
70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s
2
甲
＝
1 2＋5＋10＋13＋14＋6
×[2×(50
－
80)2
＋
5×(60
－ 80)2 ＋ 10×(70 － 80)2 ＋ 13×(80 － 80)2 ＋ 14×(90 － 80)2 ＋
x甲 7
x乙 7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率
0.3
0.2
0.1
频率
4 5 6 7 8 9 10
(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
发现什么？
环数
为此，我们还 需要从另外一 个角度去考察 这两组数据！
环数
直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散， 乙成绩相对集中(如图示)．因此，我们还需要从另外的 角度来考察这两组数据．例如：在作统计图，表时提到 过的极差．
25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
数学应用：
例1、已知有一个样本的数据为1，2，3， 4，5，求平均数，方差，标准差。 解：平均数x 3,
方差S 2 1 (1 3)2 (2 3)2 (3 3)2 (4 3)2 (5 3)2 5 2.
标准差S 2.
例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为 了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各 抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36
S
.
n
方差、标准差是样本数据到平均数的一种
平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。 在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1, x2 , xn , 平均数是 x
1、方差（标准差的平方）公式为：
s2

1 n
[(x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)2 ]
2Fra Baidu bibliotek标准差公式为：
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的 人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为 24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时 ，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一 角度看，乙组成绩较好．
1．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等， 但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况 是( )
3.对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的 平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差， 则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代 表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由 此可见抽样方法的重要性.
4.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如 从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本 就有20种可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计 思想，没有惟一答案.
问题提出：
有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 74 84 75 97 57 47 98 190 97 104 乙 95 56 76 87 77 67 87 68 87 97
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
2.2.2用样本的数字特征估计总体 的数字特征（2） 方差、标准差
学习目标 1.明确标准差、方差等数字特征的意义，深刻 体会它们所反映的样本特征。 2.会用样本的数字特征估计总体的的数字特征， 初步体会样本的数字特征的随机性
复习回顾
一.什么是一组数据的众数、中位数及平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：


假设样本数据是x1,x2,...xn ,x 表示这组数据的平均数，xi到 x
的距离是
-
xi - x (i = 1,2,… ,n).
， ：
-
于是
样本数据x1,
x2,
x
到
n
x
的“平均距离”是



x1 x x2 x xn x
2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体 的平均数.
当堂训练：一次数学知识竞赛中，两组学生成 绩如下表：
分数 50 60 70 80 90
100
人 甲组 2 5 10 13 14
6
数 乙组 4 4 16 2 12
12
• 已经算得两个组的平均分都是80分，请根据 你所学过的统计知识，进一步判断这两个组 这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
解:用计算器计算可得:


x甲 25.4005, x乙 25.4008;
s甲 0.038, s乙 0.074
由于s甲 s乙，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度
高得多。于是可以作出判断：甲生产的零件的质量
比乙的高一些。
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个 角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都 是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总 体的平均数与标准差.
中位数：把数据从小到大排列，若数据个数为奇数 个，最中间的数据就是中位数；若数据个数为偶数 个，则最中间两位数据的平均数就是中位数。
平均数：各数据总和除以数据个数所得的商．
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高 矩形的中点的横坐标。
2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方 图的面积相等！
课程小结
1、方差（标准差的平方）公式为：
s2

1 n
[(x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)2 ]
2、标准差公式为：
s
1 n
[(
x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)2
]
方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离。它用来描述样本数据的分散程度。在实 际应用中，标准差常被理解为稳定性。
• [正解] 小明5次考试成绩，从小到大排列为 45,93,95,96,98，中位数是95，应评定为“ 优秀”．
新课引入
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据 中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但 受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数 的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、 中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际 情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状 况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的 离散程度.
3、将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形 底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平 均数.
小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是 96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45 分，原因是他带病参加了考试．期末评价时， 怎样给小明评价？
[错解] 这五次数学考试的平均分是
96＋98＋955＋93＋45 ＝ 85.4 ， 则 按 平 均 分 给 小 明 一 个 “ 良