2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．如图，点A、B、P为⊙O上的点，若∠AOB＝30°，则∠P的度数是（）
A．15°B．20°C．30°D．60°
3．下列说法正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；②长度相等的两条弧是等弧；③三角形的外心到三角形
各顶点的距离相等；④三点可以确定一个圆．
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．抛物线y＝，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是（）A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．都有最低点
5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．以x＝为根的一元二次方程可能是（）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0 7．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）
A．B．
C．D．
8．兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）＝28.8
B．28.8（1+x）2＝20
C．20（1+x）2＝28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝28.8
9．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（）
A．0≤x≤3B．x＞3C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3 10．如图，ABCD，DEFG都是正方形，边长分别为m，n（m＜n）．坐标原点O为AD的中点，A，D，E在y轴上，若二次函数y＝ax2的图象过C，F两点，则＝（）
A．+1 B．+1 C．2﹣1 D．2﹣1
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，7）关于原点对称的点的坐标是．
12．方程x2＝x的解是．
13．半径为6的圆内接正六边形的边心距为．
14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．
15．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变最x和对应函数值y1，y2的部分对应值如表：
x…﹣1 0 2 4 …
y1…0 1 3 5 …
x…﹣1 1 3 4 …
y2…0 ﹣4 0 5 …
当y1≥y2时，自变量x的取值范图是．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则DE长为．
三．解答题（共56分）
17．（1）解方程：3x（x﹣2）＝2x﹣4；
（2）计算：．
18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0，且a，b为常数）的图象经过点（2，1）和（3，0）．（Ⅰ）试求这条抛物线的解析式；
（Ⅱ）若将抛物线进行上、下或左、右平移，请你写出一种平移的方法，使平移后的抛物线顶点落在直线y＝x上，并直接写出平移后抛物线的解析式．
19．如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC≌△BDE，其中点A，B，C的对应点分别是B，D，E，连接CE．求证：四边形ABEC是平行四边形．
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2﹣m＝0
（1）当m＝4时，求出这个方程的解
（2）试证明：方程总有两个不相等的实数根
22．为了充分利用空间，在确定公园的设计方案时，准备利用公园的一角∠MON两边为边，用总长为16m的围栏在公园中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区城②③为矩形，而且这三块区城的面积相等．
（Ⅰ）设OB的长度为xm，则OE+DB的长为m．
（Ⅱ）设四边形OBDG的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
23．在等边△ABC中，以BC为弦的⊙O分别与AB，AC交于点D和E，点F是BC延长线上一点，CF＝AE，连接EF．
（1）如图1，BC为直径，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，EF与⊙O交于点G，⊙O的半径为1，BC的长为π，求BF的长．
24．已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE＝BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AB'E'，点B、E的对应点分别为B'、E'．（Ⅰ）如图1，当α＝30°时，求证：B'C＝DE；
（Ⅱ）连接B′E、DE′，当B'E＝DE''时，请在图2中补全图形，并求出α的值；
（Ⅲ）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B'E'上任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．
25．已知抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3），（m为常数，﹣1≤m≤4），A（﹣m﹣1，y1），是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．
（Ⅰ）当m＝1时，求出这条抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若无论m取何值，抛物线与直线y＝x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；
（Ⅲ）当1＜PH≤6时，试比较y1，y2之间的大小．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．如图，点A、B、P为⊙O上的点，若∠AOB＝30°，则∠P的度数是（）
A．15°B．20°C．30°D．60°
【分析】利用圆周角定理解决问题即可
【解答】解：∵∠P＝∠AOB，∠AOB＝30°，
∴∠P＝15°，
故选：A．
3．下列说法正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；②长度相等的两条弧是等弧；③三角形的外心到三角形
各顶点的距离相等；④三点可以确定一个圆．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据确定圆的条件，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理判断即可．
【解答】解：①在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故不符合题意；
②在同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧；故不符合题意；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；故符合题意；
④不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故不符合题意；
故选：D．
4．抛物线y＝，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是（）A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．都有最低点
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线y＝，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是对称轴都是y轴，故选项B正确；
y＝的开口向上，y＝﹣2018x2+2019的开口向下，y＝2018x2的开口向上，故选项A错误；
在y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，在y＝﹣2018x2+2019中，当x＞0时，y随x的增大而减小，在y＝2018x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C 错误；
抛物线y＝和y＝2018x2有最低点，抛物线y＝﹣2018x2+2019有最高点，故选项D错误；
故选：B．
5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，
故选：B．
6．以x＝为根的一元二次方程可能是（）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0 【分析】根据公式法即可求出答案；
【解答】解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为﹣b，常数项为c，
故选：C．
7．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．
C．D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选：B．
8．兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）＝28.8
B．28.8（1+x）2＝20
C．20（1+x）2＝28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝28.8
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2＝28.8，
故选：C．
9．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（）
A．0≤x≤3B．x＞3C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共
点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝3，∠P′OC＝45°，
OP′＝3，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3，
同理可得：
过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3≤x＜0，
综上所述：﹣3≤x≤3．
故选：D．
10．如图，ABCD，DEFG都是正方形，边长分别为m，n（m＜n）．坐标原点O为AD的中点，A，D，E在y轴上，若二次函数y＝ax2的图象过C，F两点，则＝（）
A．+1 B．+1 C．2﹣1 D．2﹣1
【分析】根据题意得出C（m，m），F（﹣n，n+m），将C点坐标代入y＝ax2，求出a ＝，则抛物线解析式为y＝x2，再将F（﹣n，n+m）代入y＝x2，整理得出方程m2﹣2mn﹣n2＝0，把m看作常数，利用求根公式得出n＝（1±）m（负值舍去），即可求得＝+1．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点，
∴C（m，m）．
∵抛物线y＝ax2过C点，
∴m＝am2，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x2，
将F（﹣n，n+m）代入y＝x2，
得n+m＝×（﹣n）2，
整理得m2+2mn﹣n2＝0，
解得n＝（1±）m（负值舍去），
∴＝1+，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，7）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣7）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（﹣2，7）关于原点对称的点的坐标是：（2，﹣7）．
故答案为：（2，﹣7）．
12．方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
13．半径为6的圆内接正六边形的边心距为3．
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，AB＝6，过O作OG⊥AB于G；
∵此多边形是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，∠AOG＝＝30°，
∴OG＝＝＝3．
故答案为：3．
14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为26 ．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26．
15．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变最x和对应函数值y1，y2的部分对应值如表：
x…﹣1 0 2 4 …
y1…0 1 3 5 …
x…﹣1 1 3 4 …
y2…0 ﹣4 0 5 …
当y1≥y2时，自变量x的取值范图是﹣1≤x≤4 ．
【分析】根据待定系数法求出两个函数的解析式即可求解．
【解答】解：根据表格中的数据可知：
（﹣1，0）、（0，1）代入一次函数y1＝kx+m中，
得m＝1，﹣k+1＝0，解得k＝1，
所以一次函数解析式为y1＝x+1．
（﹣1，0）与（3，0）是对称点，
抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
所以设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将（1，﹣4）代入，得
a＝1，
所以抛物线解析式为y2＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
解法一：
当y1＝y2时，即x+1＝x2﹣2x﹣3．
解得x1＝﹣1，x2＝4．
所以两个函数的交点坐标为（﹣1，0）（4，5）；
解法二：
观察表格中的数据可知：．
两个函数的交点坐标为（﹣1，0）（4，5）．
所以当y1≥y2时，自变量x的取值范图是﹣1≤x≤4．
故答案为﹣1≤x≤4．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则DE长为．
【分析】构造平行四边形，根据勾股定理，求出梯形上底长，再根据梯形面积等于三个三角形面积和求解即可．
【解答】解：如图：
过C点作CF∥AB交AD于点F，∵AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，∴CF＝AB，BC＝AF，
设BC＝AF＝a，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴AD＝CD＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a，
∵AB＝BC+AD，
∴CF＝AB＝a+4．
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得
（a+4）2＝（4﹣a）2+42，解得a＝1，
∴BC＝1，AB＝5．
作EH⊥AB于点H，∵∠EAB＝45°，
∴∠AEH＝45°，
∴AH＝EH＝AE．
设DE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△ADE中，AE＝，S△ADE＝AD?DE＝2x．在Rt△BCE中，S△BCE＝BC?CE＝（4﹣x）．
在Rt△ABE中，S△ABE＝AB?EH＝．
S梯形ABCD＝CD（BC+AD）＝10．
S梯形ABCD＝S△ADE+S△BCE+S△ABE，
即10＝2x+（4﹣x）+．
整理得：7x2+192x﹣112＝0，
解得：x＝或x＝﹣28（舍去）．
所以DE的长为．
故答案为．
三．解答题（共9小题）
17．（1）解方程：3x（x﹣2）＝2x﹣4；
（2）计算：．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）∵3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
∴3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得x＝2或x＝；
（2）原式＝?＝．
18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0，且a，b为常数）的图象经过点（2，1）和（3，0）．（Ⅰ）试求这条抛物线的解析式；
（Ⅱ）若将抛物线进行上、下或左、右平移，请你写出一种平移的方法，使平移后的抛物线顶点落在直线y＝x上，并直接写出平移后抛物线的解析式．
【分析】（Ⅰ）将点（2，1）和（3，0）代入，利用待定系数法即可求得；
（Ⅱ）根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣3，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）将（2，1），（3，0）代入解析式，
得：，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣3；
（Ⅱ）∵y＝x2﹣3，
∴顶点坐标（0，﹣3）；
向左平移3个单位后抛物线的顶点为（﹣3，﹣3）落在直线y＝x上，则此时抛物线的解析式为：y＝（x+3）2﹣3，即y＝x2+6x+6．
19．如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC≌△BDE，其中点A，B，C的对应点分别是B，D，E，连接CE．求证：四边形ABEC是平行四边形．
【分析】根据全等三角形的性质可得AC＝BE，∠A＝∠DBE，根据平行线的判定可得AC ∥BE，再根据平行四边形的判定即可求解．
【解答】证明：∵△ABC≌△BDE，
∴AC＝BE，∠A＝∠DBE，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形．
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），
B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
【分析】（1）分别作出点A、B绕点O逆时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据AB所扫过的面积＝S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，可得线段AB、BO扫过的图形的面积之和＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB＝S扇形A1OA，据此可得．【解答】解：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，OA＝＝，
∵AB所扫过的面积＝S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，
BO扫过的面积＝S扇形B1OB，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和
＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB，
＝S扇形A1OA，
＝，
＝π．
21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2﹣m＝0
（1）当m＝4时，求出这个方程的解
（2）试证明：方程总有两个不相等的实数根
【分析】（1）把m＝4代入mx2﹣（m+2）x+2﹣m＝0中，解方程即可得到结论；
（2）利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况即可．
【解答】解：（1）把m＝4代入mx2﹣（m+2）x+2﹣m＝0中得，4x2﹣6x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝；
（2）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4m（2﹣m）＝2（m﹣1）2+2，
∵2（m﹣1）2≥0，
∴2（m﹣1）2+2＞0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
22．为了充分利用空间，在确定公园的设计方案时，准备利用公园的一角∠MON两边为边，用总长为16m的围栏在公园中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区城②③为矩形，而且这三块区城的面积相等．
（Ⅰ）设OB的长度为xm，则OE+DB的长为（16﹣3x）m．
（Ⅱ）设四边形OBDG的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【分析】（Ⅰ）根据三角形和矩形的面积得到EG?OE＝CF?EF＝CF?OF，得到EG＝DE＝CF ＝OB＝x，于是得到结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OE+DB＝16﹣3x，得到OE＝DB＝8﹣1.5x，根据矩形的面积公式即可得到结论；
（Ⅲ）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，S△OEG＝S矩形CDEF＝S矩形OBCF，
∴EG?OE＝CF?EF＝CF?OF，
∴EF＝OF＝OE，
∴EG?OE＝OE?CF，
∴EG＝DE＝CF＝OB＝xm，
∴OE+DB＝（16﹣3x）m，
故答案为：（16﹣3x）．
（Ⅱ）由（1）知OE+DB＝16﹣3x，
∴OE＝DB＝8﹣1.5x，
∴y＝＝﹣x2+12x，
∵
∴0＜x＜．
（Ⅲ）∵y＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣）2+16，
∵﹣＜0，且0＜x＜，
∴抛物线开口向下
∴当x＝时，y有最大值，最大值是16平方米．
23．在等边△ABC中，以BC为弦的⊙O分别与AB，AC交于点D和E，点F是BC延长线上一点，CF＝AE，连接EF．
（1）如图1，BC为直径，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，EF与⊙O交于点G，⊙O的半径为1，BC的长为π，求BF的长．